数学分析(工科)下学期期末考试卷及答案2套.doc

姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！期末考试A数学分析 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 九 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五六七八九总分得 分评卷人一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1. 函数 在点(1,0)处的梯度 .2. 积分= .3幂级数的收敛域为 .4. 设数量场 ，则 . 5. 函数在条件下的极大值为 .二. 选择题(共5小题,每小题3分,共15分)注:本大题的每小题都有代码为A、B、C、D的4个备选答案,将正确答案的代码添在题末的括号中.1. 抛物线上与直线相距最近的点是 ( ) A. ; B. ; C. ; D. .2. 设区域,则二重积分 ( )A. ; B. ; C. ; D. .3. 设是常数，则级数 ( ) A. 绝对收敛; B. 发散; C. 条件收敛; D. 收敛与的取值有关.4. 设，则下列级数中肯定收敛的是 ( ) A. ; B. ; C. ; D. .5. 若和是非齐次线性方程的两个特解，则以下正确的是（ ）A. 是非齐次线性方程的解; B. 是非齐次线性方程的解; C. 是的解; D. 是的解. 三. 解答下列各题(本大题分2小题,每小题7分,共14分) 1. 设，其中是由确定的隐函数,求.2求曲面的平行于平面的各切平面. 四. 解答下列各题(本大题分2小题,每小题7分,共14分)1计算曲线积分，其中是连接自点到点的曲线段.2设是锥面被平面所截下的有限部分下侧，计算曲面积分.五. (本题8分) 将函数在上展开成余弦级数，并证明 六. (本题8分) 求幂级数的收敛域及和函数.七. (本题8分) 设，求证：.八. (本题8分) 证明函数在上的连续九. (本题10分) 设，其中为连续函数求姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！期末考试2007-2008学年第二学期工科数学分析试卷A 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 九 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五六七八九总分得 分评卷人三. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1. 函数 在点(1,0)处的梯度.2. 积分=.3幂级数的收敛域为 -2，6 .4. 设数量场 ，则 0 . 5. 函数在条件下的极大值为 1/4 .四. 选择题(共5小题,每小题3分,共15分)注:本大题的每小题都有代码为A、B、C、D的4个备选答案,将正确答案的代码添在题末的括号中.1. 抛物线上与直线相距最近的点是 ( C ) A. ; B. ; C. ; D. .2. 设区域,则二重积分 ( D )A. ; B. ; C. ; D. .3. 设是常数，则级数 ( B ) A. 绝对收敛; B. 发散; C. 条件收敛; D. 收敛与的取值有关.4. 设，则下列级数中肯定收敛的是 ( D ) A. ; B. ; C. ; D. .5. 若和是非齐次线性方程的两个特解，则以下正确的是（ D ）A. 是非齐次线性方程的解; B. 是非齐次线性方程的解; C. 是的解; D. 是的解. 三. 解答下列各题(本大题分2小题,每小题7分,共14分) 1. 设，其中是由确定的隐函数,求.解答：对两边关于分别求偏导数得所以2求曲面的平行于平面的各切平面.解答：设过曲面上的点处的切平面为满足要求的切平面，则（1）平面的法方向为；（2）由于切平面与平面平行，所以代入（2），得切平面为：，即四. 解答下列各题(本大题分2小题,每小题7分,共14分)1计算曲线积分，其中是连接自点到点的曲线段.解答：2设是锥面被平面所截下的有限部分下侧，计算曲面积分.解答：设为截面：，方向向上记为与所围成的封闭区域由高斯公式：所以五. (本题8分) 将函数在上展开成余弦级数，并证明 解答：先将函数偶延拓到，再作周期延拓，作Fourier级数展开，则所以 令，则，即六. (本题8分) 求幂级数的收敛域及和函数.解答： 幂级数收敛区间为： 注意到时，发散所以幂级数的收敛域是由于当时，所以，七. (本题8分) 设，求证：.解答：注意到 所以即八. (本题8分) 证明函数在上是连续的解答：设为任意取定的数，则，且广义积分是收敛所以，关于在上一致收敛由连续性定理知在上连续由的任意性可得：在上是连续的九. (本题10分) 设，其中为连续函数求解答：因为为连续函数，所以关于可微，从而可微 对两边关于求导数，可得同理，可微，对上式两边关于求导数，则 解上述方程，得：，其中是待定常数 由及的表达式知： 所以_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！期末考试B工科数学分析第二学期期中考试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共 4个 大题，满分100分，考试时间90分钟。题 号一二三四总分得 分评卷人一、计算题（每小题10分，共40分） 1. 求微分方程的通解. 2. 设 二阶可导,且满足方程求.解: 10分3. 设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数. 4. 设且满足方程求解: 两边对 求导,得到, 5分又 解得 10分二、计算下列积分（每小题10分，共30分）5. 计算，其中D是由曲线与直围成。解： 求交点作图知 2分 10分6. 计算三重积分，其中.由所确定解：由交线（舍去） 于是投影区域为，柱坐标下为 2分7. 计算三重积分.解 利用球面坐标,边界面的方程为: 2分则, .三、证明题（每小题10分，共20分）8. 设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在 4分2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。 10分9. 给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则 4分从而曲面在点处的切平面为， 8分显然时成立，故切平面均过。 10分四、应用题（共10分）10. 求椭球面在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解 令，设切点为，则，切平面方程为即， 2分从而该切平面在三个坐标轴上的截距分别为。由题意要求满足椭球面在第一卦限的一点，使最小。 4分令 6分可以验证与约束等价，从而拉格朗日函数正确。再令， 8分得，代入约束条件得进而。由问题的实际意义及所求得点的惟一性，得所求点为。 10分数学分析试卷第 17 页 共 17 页