GARCH模型与应用简介.doc

GARCH模型与应用简介目录0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介)21. ARCH与GARCH模型71.1. 概述71.2 ARCH(p)模型.91.3. GARCH(Generalized ARCH) 模型:132. GARCH模型的参数估计162.1. 概述162.2. ARCH模型的参数估计162.2.1. 最小二乘法估计162.2.2. 极大似然估计212.3. GARCH模型的参数估计252.3.1. 极大似然估计252.3.2. 最小二乘估计273 模型检验273.1. 条件异方差性检验283.2. ARCH模型检验303.3. GARCH模型阶数检验324. GARCH模型的应用334.1. 在(自)回归分析中的应用334.2. 在区间预报中的应用354.3. 在风险预测中的应用384.4. 在风险分位值中的应用425. 实例436 某些新进展466.1 某些改进模型476.1.1. b-GARCH模型476.1.2 指数GARCH模型:476.1.3. 多元GARCH模型:486.2. GARCH模型的重尾概率特性496.3. 对VaR的改进51参考文献51附录（SAS）：510. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介)考察严平稳随机序列yt, 且E|yt|. 记其均值Eyt=m,协方差函数gk=E(yt-m)(yt+k-m). 其条件期望(或条件均值): E(ytyt-1,yt-2,)j(yt-1,yt-2,), (0.1)依条件期望的性质有Ej(yt-1,yt-2,)=EE(ytyt-1,yt-2,)= Eyt =m. (0.2)记误差(或残差): et yt -j(yt-1,yt-2,). (0.3)由(0.1)(0.2)式必有: Eet=Eyt-Ej(yt-1,yt-2,) =Eyt-Eyt=0, (0-均值性) (0.4)及Eet2=Eyt -j(yt-1,yt-2,)2 =E(yt-m)-j(yt-1,yt-2,)-m2 (中心化) =E(yt-m)2+Ej(yt-1,yt-2,)-m2-2E(yt-m)j(yt-1,yt-2,)-m =g0+Varj(yt-1,yt-2,)-2EE(yt-m)j(yt-1,yt-2,)-myt-1,yt-2,( 根据 Ex=EExyt-1,yt-2, ) =g0+Varj(yt-1,yt-2,)-2Ej(yt-1,yt-2,)-mE(yt-m)yt-1,yt-2,( 再用 Exy( yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2,=y( yt-1,yt-2,) Exyt-1,yt-2,;并取x= (yt-m), y( yt-1,yt-2,)=j(yt-1,yt-2,)-m;由(0.1)(0.2)可得 )=g0+Varj(yt-1,yt-2,)-2Ej(yt-1,yt-2,)-m2 =g0-Varj(yt-1,yt-2,). (0.5)即有: g0=Var(yt)=Var(j(yt-1,yt-2,)+Var(et). (0.6)此式表明, yt的方差(=g0)可表示为: 回归函数的方差(Var(j(yt-1,yt-2,), 与残差的方差(Var(et)之和. 下边讨论et的条件均值与条件方差.为了符号简便, 以下记Ft-1=yt-1,yt-2,.首先考虑et的条件均值: E(etFt-1)=Eyt-j( yt-1,yt-2,) Ft-1=E(yt Ft-1)- Ej( yt-1,yt-2,) Ft-1= j( yt-1,yt-2,)- j( yt-1,yt-2,)=0. (0.7)再看条件方差:Var(etFt-1)=Eet- E(etFt-1)2 Ft-1 = Eet2 Ft-1 (用(0.7)式) S2(yt-1,yt-2,). (0.8)此处S2(yt-1,yt-2,)为条件方差函数. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,), 它不一定是常数! 依(0.3)式, 平稳随机序列yt总有如下表达式:yt = j( yt-1,yt-2,)+et, (0.9) 其中j(yt-1,yt-2,)被称为自回归函数, 不一定是线性的. et可称为新息序列, 与线性模型的新息序列不同, 除非yt是正态序列. 顺便指出, 满足(0.4)式的et为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于yt是严平稳随机序列, 且E|yt|0. (1.2)换句话说, 考虑如下的(0.9)模型yt=et, (1.3) 它的标准化的模型(0.12)为 yt=S(yt-1,yt-2,)et. (1.4)请注意, 这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型. 我们不可能泛泛地讨论它. 再请回看对鞅差序列et的限制的历程, 以下我们要讲的恰好是:“et=S(yt-1, yt-2, )et，但et为i.i.d. N(0,2)序列,而且S(yt-1, yt-2, )为有限参模型, (1982-).再新的内容, 我们也将提到. 至此, 大家完全明白我们将要讨论什么样的序列.为说明该序列的某些特征, 先看一看序列et的自协方差函数序列: ge(k)=Eet+ket= EE(et+ketet+k-1,et+k-2,) = EetE(et+ket+k-1,et+k-2,) = Eet0=0, k1.可见, 平稳鞅差序列也是白噪声. 根据自协方差序列做平稳序列的建模和谱分析时, 除了判断j(yt-1,yt-2,)=0外, 几乎无话可说. 换句话说, 相关性分析和谱分析不能对(1.4)式的序列作出更深刻的分析. 为了进一步获得它的深入的结构特征, 必须引入新的概念和新的方法.1.2 ARCH(p)模型. (ARCH- Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)在金融界, 大量的数据序列呈现不可预报性, 相当于前面的(0.9)或(0.12)式中的j(yt-1,yt-2, )=0, 于是有兴趣研究(1.4)模型. Engle(1982)首先提出并使用了如下的有限参数模型: yt=S(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, (1.5) ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, (1.6)a00, ai0, i=1,2,p.其中et为i.i.d.的序列, etN(0, 1), 且et与yt-1, yt-2, 独立, 为了简化记号, 记ht=S2(yt-1, yt-2, ). 此模型被称为自回归条件异方差模型, 简记ARCH(p),其中p表示模型的阶数. 很明显, 此模型只是普遍适用的(1.4)式模型的子类, 因为, 在ARCH模型中对模型(1.4)添加了很多的人为限制. 为了增进对ARCH模型的了解, 我们将作几点明, 以代替严格的推理论述.其一, 限定et为i.i.d.序列! 这是很强的限制, 这是由于现有理论的基础所限. 其二, 限定条件方差有(1.6)式的简单形式, 即ht=S2(yt-1, yt-2, )=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2,是为了统计分析方便. 其三, 限定et服从正态分布, 是为了求极大似然估计方便. 限制 etN(0, 1), 而不用 etN(0, s2), 是因为et满足标准化的模型(0.11)式.其四, 限制 a00, ai0, i=1,2,p, 是为了保证条件方差函数ht=S2(yt-1, yt-2, )0. 限制 a00, 而不是a00, 这是为了保证模型(1.5)(1.6)有平稳解, 否则, 当a0=0时它没有平稳解! 这可从以下简单例子看出. 考查如下ARCH(1) 模型:ht=a1 yt-12,将它代入(1.5)式得yt=ht1/2 et=(a1 yt-12)1/2 et,将它两边平方得 yt2=a1yt-12et2,将它两边取对数得log(yt2)=log(a1)+log(yt-12)+log(et2), (1.7)记xt=log(yt2), c=log(a1), ht=log(et2)(仍为i.i.d.序列), 上式为xt = c+ xt-1+ ht,这不是熟知的一元AR(1)模型吗? 而且不满足平稳性条件! 所以, 没有平稳解. 从而模型(1.5)也没有平稳解.其五, 为使ARCH模型有平稳解, 对系数ai(i=1,2,p)还要加限制. 较早的限制(也是较强)是 a1+a2+ap0, ai0, i=1,2,p.易见, (1.5)式与(1.5)式是等价的. 其七, ARCH模型有不同的变形形式. 仿(1.7)式的做法, 即将(1.5)式两边平方, 再将(1.6)式代入其中可得yt2=htet2=(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)et2 =(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)(1+et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+(et2-1)(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ ht(et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ wt , (1.9)对序列yt2而言, 此式很像线性AR(p)模型, 其中wt=ht(et2-1)是一个平稳的鞅差序列, 因为Ewt|yt-1,yt-2, =Eht(et2-1)|yt-1,yt-2, = Ehtet2|yt-1,yt-2, -Eht|yt-1,yt-2, = htEet2|yt-1,yt-2, -Eht|yt-1,yt-2, (依(1.6)= ht - ht =0. (1.10)用(1.9)式和线性AR(p)模型的求解方法, 可得yt2的平稳解. 但是, 从原理上说, 得到了yt2的解, 还不能说就得到了原序列yt的解. 好在当我们只关心yt的条件方差时, 有了yt2的解也足够用了. (1.9)式的变形方式是严格的, 可放心地使用它. 所谓使用它, 就是将原数据平方后得到 y12 , y22 , , yT2, 对它们建立AR(p)模型, 便得到参数a0,a1,ap的一种估计.如果对yt2=htet2两边取对数可得 log(yt2)=log(ht)+log(et2) =log(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)+log(et2)记x(t)=log(yt2), c=Elog(et2), ht=log(et2)-c, 于是上式可写成x(t)=c+log(a0+a1ex(t-1)+a2ex(t-2)+ap ex(t-p)+ ht. 于是又得到ARCH模型的另一种变形. 此式是关于序列x(t)的非线性自回归模型, 注意, 上式中的序列ht是i.i.d.的. 此外, ARCH模型还有别的表示方法, 不再一一介绍了.其八, 根据数据y1,y2,yT, 要作自回归条件异方差模型的统计分析, 包含两项内容, 首先是用假设检验方法, 判别这些数据是否有条件异方差条件性, 即, S(yt-1, yt-2, )=常数? 如果是否定回答, 第二项内容就是对ARCH模型未知参数的估计. 在第2节中, 我们将介绍参数的估计方法, 在第3节中, 介绍检验方法.1.3. GARCH(Generalized ARCH) 模型:在Engle(1982)提出ARCH模型后, 受到应用者的关注, 特别是金融界. 稍后几年, 也被时间序列分析理论研究所重视. 从前面对新息序列et限制条件的放宽过程可见, 提出ARCH模型, 无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓性的意义. 在对ARCH模型的理论研究和应用中, 人们自然会发问: 在(1.6)式中, yt的条件方差S2(yt-1, yt-2, ) ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, 只依赖于p个历史值, 能否考虑依赖全部历史值的情况? Bollerslev(1986)给出了回答, 他提出了如下的更广的模型, 即GARCH模型:yt=S(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, (1.11)ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+b1ht-1+bqht-q, (1.12)a00, ai0, i=1,2,p; bj0, j=1,2,q. (1.13)其中et为i.i.d.的N(0,1)分布, 且et与 yt-1, yt-2, 独立.对此GARCH模型作如下说明:其一, 利用(1.12)式反复迭代可得知, ht= S2(yt-1, yt-2, )确实依赖序列的全部历史值, 但是, ht仅依赖有限个参数.其二, 在1997年诺贝尔经济学奖, 被两位研究期权定价理论的Black-Scholes方程的学者获得. 从理论上人们发现, Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程, 对它进行等间隔离散化采样, 所得到的序列, 恰好满足GARCH模型. 于是, GARCH模型更被认可, 而且, 金融界特别偏爱GARCH模型.其三, 如前所述, (1.13)式的条件 a00, 仍不能放宽为a00. 而且, (1.13)式中的条件 ai0, i=1,2,p, 还应附加一个限制: a1+a2+ ap0, 否则如果全部 ai=0 (i=1,2,p)将导致(1.12)式的ht为常数(仍用迭代法可证明). 这一点未在文献中指出, 一个潜在原因是: 应用者默认p 1, 且ap0. 其四, 与对ARCH模型的说明中的其五很类似, 为使GARCH模型有平稳解, 对系数ai(i=1,2,p)和bj0, j=1,2,q. 还要加限制. 较早的限制(也是较强)是 a1+ap+b1+ bq p时ak=0; 当kq时bk=0, wt=ht(et2 1). 如前所述wt是平稳鞅差序列, 所以, 以上表达式说明, ht是由wt驱动的平稳ARMA序列. 以上模型不仅表达了GARCH模型的结构特性, 而且, 依此可借助于平稳ARMA序列建模方法, 得到GARCH模型参数的一种简单的估计方法. 关于GARCH模型的参数估计 和检验方法, 分别在第2节和第3节中介绍.2. GARCH模型的参数估计2.1. 概述在实际应用中, 人们拥有序列观测值y1,y2,yn , 如果要为它们建立GARCH模型, 将面对着下列问题: 为什么要建立GARCH模型? 用多少阶数的模型? 怎样获得模型的参数值? 回答了这些问题, 就解决了为GARCH模型建模的问题. 前两个问题将在下一节中讨论, 这一节只讨论模型的参数估计问题, 换言之, 讨论在模型阶数已知时, 如何根据观测值y1,y2,yn, 估计出GARCH(或者ARCH) 模型的参数. 在统计学中有多种方法可以用来解决这一问题, 这里只介绍两种估计方法. 一种是比较简单的方法, 另一种是熟知的极大似然估计方法. 前一种估计可能不如后者精细, 但是它可作为用迭代法求取后者时的初始值. 另外, 对ARCH和GARCH模型而言, 它们的参数估计方法的难易程度有明显差异, 所以, 我们将分别予以介绍.2.2. ARCH模型的参数估计2.2.1. 最小二乘法估计最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基于最小二乘原理。我们先指出在此可以使用此原理的依据， 为此不妨以ARCH（1）模型为例说明之。依(1.9)式知， 满足ARCH(1)模型的序列 yt必满足以下模型yt 2=a0+a1yt-12+ wt , (2.1)其中wt是鞅差序列，而且wt= ht(et2-1), 于是有E wt| yt-12=E ht(et2-1) | yt-12 = ht E(et2-1) | yt-12 = ht Eet2 | yt-12- ht = ht Eet2 - ht = ht - ht=0. (a.s.) (2.2)利用此式可得知， Eyt 2-a0-a1yt-122= E a0+a1yt-12+ wt -a0-a1yt-122 = E(a0- a0)+(a1- a1)yt-12+ wt 2= E(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + Ewt 2 +2 E(a0- a0)+(a1- a1)yt-12wt= E(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + Ewt 2 +2EE(a0- a0)+(a1- a1)yt-12wt| yt-12= E(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + Ewt 2 +2EE(a0- a0)+(a1- a1)yt-12Ewt| yt-12=E(a0- a0)+(a1- a1)yt-122+Ewt 2 (by(2.2)= E(a0-a0)+(a1-a1)yt-122 + Eht(et2-1)2= E(a0-a0)+(a1-a1)yt-122 + Eht2E(et2-1)2 Eht2E(et2-1)2=c. (依平稳性)易见，上式中的=号成立，当且仅当(a0-a0)=(a1-a1)=0. 此事实表明，minE(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=Eyt2-a0-a1yt-122. (2.3)此式表明，用所有可能的系数拟合(2.1)模型时，只有以其真系数拟合，才使拟合参差的方差最小！在实际应用时，我们没有(2.1)式中的确切的概率分布，但是，我们有序列 yt 2的观测数据y1,y2,yn , 根据统计学的基础性原理-大数定律，(2.3)式的最小化特征，用样本平均代替之， 随着样本个数的增加将近似成立。换言之，求解以下最小化问题之解， 即min(n-1)-1t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=(n-1)-1t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2, 显然, 此问题等价于如下的最小化问题mint=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2. (2.4)以其解(a0*,a1*)作为真参数(a0,a1)的估计，称它们为最小二乘估计。这就是使用最小二乘原理的依据。以上论述不难推广到一般的ARCH(p) 模型，除了符号的繁琐外，并无本质差异。这里只强调一点：对ARCH(1)使用最小二乘原理时，残差项wt与yt-1相互独立且Ewt=0是常见的条件，至少也要满足条件E wt| yt-12=0(a.s.)。这一点对一般情况也适用。现在介绍ARCH(p)模型参数最小二乘估计方法。首先重新写出(1.9)式yt2=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ wt , t=p+1,p+2,n. (2.5)在此特别强调足标t 的取值范围，只是为了模型中的yt-p都落在我们的数据序列中。依前所述，未知参数a=(a0，a1，a2, , ap)t的最小二乘估计a*，就是如下的最小值问题的解，即mint=2n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2: a0,a1,ap=t=2n(yt 2-a0*-a1*yt-12-ap*yt-p2)2, (2.6)取最小二乘估计a*= (a0*,a1*, ap*)t 。欲给出(a0*,a1*, ap*)t的表达方式，既可用分析方法，又可用代数方法。现在使用后一方法,为此将(2.5)式改写成Y=Xa+W， (2.7)其中Y=(yp+12,yp+22,yn2)t, W=(wp+12,wp+22,wn2)t,X=.当以a=(a0,a1,a2,ap)t 为自由参数向量时, 于是有t=p+1n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2=|Y-Xa|2= (Y-Xa)t (Y-Xa) = YtY - YtXa - atXtY +atXtXa =(XtXa-XtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY) + YtY(XtY)t (XtX)-1(XtY)YtY(XtY)t(XtX)-1(XtY),其中用到了以下的矩阵性质 (XtXa-XtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY)0.由前一式可知, (2.6)式的最小值解必满足XtXa-XtY=0. 现在求解XtXa-XtY=0, 即XtXa=XtY, 其解为a*=(XtX)-1XtY. (2.8)注意, 上式右边的矩阵X和向量Y, 都是由已知数据量组成的, 计算(XtX)-1和(XtX)-1XtY, 有许多软件可供使用. 当然,也可以自行编程序计算之. 自回归模型(1.9)的系数的最小二乘估计, 被(2.8)式明显的表达出, 而且便于计算. 这一优越性是自回归模型所特有的, 因此, 自回归模型在时间序列分析中问世最早. 类似地, Engel(1982)最先引入的条件异方差模型, 又是自回归型的条件异方差模型-ARCH模型, 也是基于这一便于使用的优点. 稍后几年才由Bollerslev(1986)提出更一般的GARCH模型.在时间序列分析中, 自回归模型系数的最小二乘估计, 有很多优良性质, 这已经被研究得很完美了. 但是, 将它用于ARCH模型系数估计, 这些优良性质不一定具有了. 在此, 我们仅指它的优缺点. 其优点是: 易理解, 易计算; 缺点是: 欠精细, 缺少某些优良性质. 欠精细是相对极大似然估计而言的, 详见后文. 缺少某些优良性质, 是指在使用最小二乘估计方法时, 还需要条件E(yt2)20,a10,ap0; (yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)0=t=2n(yt 2-a0+-a1+yt-12-ap+yt-p2)2, (2.9)取估计a*= (a0+, a1+, ap+)t 。这里叙述此方法的目的有三点可言, 其一, 这是最有效的保证估计的分量都是非负的;其二,有多种方法可获得ARCH模型系数的估计;其三,除了最小二乘估计,都不易计算, 比如(2.9)式的求解问题, 就是典型的优化求解问题, 其计算的复杂性可想而知.2.2.2. 极大似然估计对于序列y1,y2,yn , 如果它们的联合分布的形式已知, 其中只有有限个参数未知, 那么, 寻求合适的参数值, 使得其分布在这些观测值y1,y2,yn处达到最大值, 称其为极大概率估计方法. 其合理性是不言而喻的. 相对其它方法, 可算是精细些. 当然, 其前提是联合分布的形式已知的. 简而言之, 如果已知联合分布密度函数时, 使用上述的极大概率估计方法, 应改为寻求合适的参数值, 使得其分布密度函数在这些观测值y1,y2,yn处达到最大值, 称其为极大概率密度估计方法. 此情况有更广的应用背景, ARCH模型数估计就属于此情况. 再进一步, 如果已知联合分布密度函数呈现指数形式, 改为寻求合适的参数值, 使得其分布密度函数的对数函数(此函数被称为似然函数), 在这些观测值y1,y2,yn处达到极大值, 称其为极大似然估计方法. 用极大化似然函数代替分布密度函数, 只是讨论和应用时有方便之处, 并无本质区别. 极大化似然方法是统计学中熟知的, 重要的方法.依上所述, 使用极大似然估计方法, 有两个关键步骤: 一是, 找出y1,y2,yn的联合分布密度函数, 它仅依赖有限个未知参数, 由此易得其似然函数; 二是, 寻找使似然函数达到极大值的参数, 即参数的极大似然估计. 一般说来, 第一步仅是细心的推理, 第二步是精心的计算, 而且常常要使用近似的迭代算法. 以下介绍ARCH模型参数的极大似然估计, 就要对此两步作具体叙述.第一步: 根据ARCH模型的假定, 再使用条件概率密度的公式可得知, y1,y2,yn的联合分布密度函数f(y1,y2,yn)= f(Y), Y=(y1,y2,yn)t,有以下表达式 f(Y