具抑制剂和坏死核的血管化肿瘤生长模型的稳态解.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 1-5 3 3 7.2 0 2 3.4.0 0 1*收稿日期:2 0 2 2-1 1-1 0基金项目:国家自然科学基金(1 2 2 3 1 0 4 7,1 2 1 6 1 0 4 5,1 1 8 6 1 0 3 8);江西省自然科学基金(2 0 2 3 2 B A B 2 0 1 0 1 0).通信作者:王泽佳,女,1 9 7 9-,博士,教授,博士生导师;研究方向:偏微分方程;E-m a i l:z e j i a w a n g j x n u.e d u.c n.具抑制剂和坏死核的血管化肿瘤生长模型的稳态解*王泽佳,刘 倩,温立书(江西师范大学数学与统计学院,3 3 0 0 2 2,南昌市;九江实验中学,3 3 2 0 0 0,江西省九江市;沈阳航空航天大学理学院,1 1 0 1 3 6,辽宁省沈阳市)摘要:研究在抑制剂作用下含坏死核的血管化肿瘤生长模型自由边界问题.假设肿瘤是球对称形状,利用幂级数方法证明了在一定条件下模型稳态解的存在唯一性.关键词:肿瘤模型;血管化;坏死核;稳态解中图分类号:O 1 7 5.2 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1-5 3 3 7(2 0 2 3)0 4-0 0 0 1-0 80 引 言在过去的几十年里,包括G r e e n s p a n1,2在内的许多学者利用偏微分方程组自由边界问题刻画了肿瘤的生长过程,其研究结果为肿瘤的治疗提供了有价值的参考.本文主要研究在抑制剂作用下含坏死核的血管化肿瘤模型,假设肿瘤是球对称形状,该模型可用如下偏微分方程组自由边界问题描述:c1t=1r2rr2r-(+1)H(-0),0r0,(1)c2t=1r2rr2r-2H(-0),0r0,(2)r(R(t),t)+(R(t)-)=0,t0,(3)r(R(t),t)+(R(t)-)=0,t0,(4)(r,t)=0,(r,t)=0,0r(t),t0,(5)r(t),t)=0,r(t),t)=0,t0,(6)ddt43 R3(t)=R(t)(t)(-)-v1r2dr-(t)0v2r2dr,t0,(7)其中(r,t)、(r,t)、(t)、R(t)分别表示肿瘤内的营养物浓度、抑制剂浓度、肿瘤死核半径、肿瘤半径,c1、c2分别表示肿瘤细胞吸收营养物、抑制剂与增长时间的比值3,4,通常c1、c21.H(x)为H e a v i s i d e函数,即当x0时,H(x)=1;当x0时,H(x)=0.正常数反映了肿瘤血管化程度,越大血管化程度越高.特别地,当=时表示肿瘤完全被血管包围5,此时R o b i n边值条件(3)转化为D i r i c h l e t边值条件,即(R(t)=,(8)第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 0月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l.4 9 N o.4O c t.2 0 2 3 其中、分别为肿瘤周围组织中的营养物浓度和抑制剂浓度,0、0为初始时营养物和抑制剂浓度,为肿瘤细胞生长强度,v1为抑制剂对肿瘤细胞的抑制强度,表示肿瘤细胞有丝分裂所需的营养物浓度阈值,v2表示坏死细胞的分解率.对于问题(1)(7)的无坏死核情形,当v2=0且在D i r i c h l e t边值条件下,C u i6得到了解的存在唯一性与渐近性态.对于问题(1)(7)的含坏死核但无抑制剂作用情形,满足D i r i c h l e t边值条件(1)时,C u i和F r i e n d m a n7得到了径向对称解的存在唯一性;满足R o b i n边值条件(3)时,W e i和S h e n g8证明了径向对称稳态解的存在唯一性.据我们所知,含坏死核且具有抑制剂作用的血管化肿瘤模型自由边界问题目前还未见研究.受以上研究工作的启发,本文研究问题(1)(7)稳态解的存在唯一性.本文安排如下:在第1节中,求解营养物浓度函数和抑制剂浓度函数的显式解,并将问题(1)(7)化简;在第2节中,给出证明本文主要定理所需的预备引理,即引理2.1引理2.8;在第3节中,给出本文主要定理,即定理3.1及其证明.1 问题的化简假设(s,s,s,Rs)是问题(1)(7)的稳态解,则满足以下方程组:1r2rr2sr-(s+1s)H(s-0)=0,0rrs,(9)1r2rr2sr-2sH(s-0)=0,0rrs,(1 0)sr(Rs)+(s(Rs)-)=0,(1 1)sr(Rs)+(s(Rs)-)=0,(1 2)s(r)=0,s(r)=0,0rs,(1 3)sr(s)=0,sr(s)=0,(1 4)Rss(s-)-v1sr2dr-v233s=0.(1 5)对任意给定的0sRs,通过直接计算可知问题(9)(1 3)的解为s(r)=0,0rs,Ars i n h(r-s)+sc o s h(r-s)-ks(r),srrs,(1 6)其中A=(+k)Rs2)(3sRs+Rs-)s i n h(Rs-s)+(sRs+(Rs-s)c o s h(Rs-s)-1,k=1-2,s(r)=0,0rs,Ars i n h(2(r-s)+2sc o s h(2(r-s),sr1;()A1()=3s i n h()+c o s h()-a1,A2()=(3+)s i n h()+c o s h()-2 a1,A3()=(-)s i n h()+c o s h()-a12;()g(,)=a1()2+a2()+a3()=0,f(,)=a2c o s h()-13s i n h()-a32c o s h(2)-12s i n h(2)+a213s i n h()-a312s i n h(2)-2a42+a23s i n h()-a32s i n h(2)-2a42-a43-a53.(2 0)因此,方程(1 8)、(1 9)可写为g(,)=0,(2 1)f(,)=0.(2 2)为了判断关于的一元二次方程(2 1)中系数A1(),A2(),A3()的符号,记B1()=s i n h()+c o s h(),B2()=+2s i n h()+12c o s h(),B3()=-12s i n h()+1c o s h().下面给出一些预备引理.引理2.18 当0时,B 1()、B 2()、B 3()0,且B1()B2()B3()1.3第4期 王泽佳,等:具抑制剂和坏死核的血管化肿瘤生长模型的稳态解 若给定,则方程(5)的正解存在情况如下.引理2.2()当1a1B3或a1B1时,方程(2 1)无正解;()当B3a1B2或B2a1B1时,方程(2 1)有唯一正解;()当a1=B2时,方程(2 1)有唯一正解.证明 当给定时,方程(2 1)转化为关于的一元二次方程,其中A1()、A2()、A3()可视为常数.()当1B2B3a1,则A1,A20、A30.令f1()=A12+A2+A3,则f 1()=2A1+A20,所以f1()f1(0)=A30,则方程(2 1)无正解.同理,当a1B1时,A2、A30、A10,方程(2 1)也无正解.()当B3a10、A30,则方程(2 1)有唯一正解=-A2+A22-4A1A32A1.当B2a1B1时,有A2、A30,则方程(5)有唯一正解=-A2+A22-4A1A32A1.()当a1=B2时,有A2=0、A30,则方程(5)有唯一正解=-A3A1.引理2.3 存在1、2、3满足0121即得.由引理2.2、引理2.3可知,当(1,3)时,才可能有正解.引理2.4 当(1、3)时,A 3()0.证明 当(1,3)时,A1()0,即 a1(-)s i n h()+c o s h().令t=,h1(t)=(t-)s i n h(t)+tc o s h(t),则h 1(t)=(-t)s i n h(t)+tc o s h(t)0,t0,故h1(t)h1(0)=0,进而有A 3()0.对给定的(1,3)时,由引理2.2()可知,此时方程(5)有正解().下面分别给出该解()当1、3时的极限分析.引理2.5 l i m1()0.证明 当1时,A1()0,由洛必达法则可知l i m1()=l i m1-A2()+A22()-4A1()A3()2A1()=l i m1A 1()A3()-A 2()A2()2A 1()A2().由于A2(1)0,且l i m1A 1()A3()-A 2()A2()0.引理2.6 l i m3()=0.证明 当3时,A1()、A2()0、A3()=0,则有l i m3()=l i m3-A2()+A22()2A1()=0.为了方便起见,以下用表示关于的导数.引理2.7 当(1,3)时,方程(2 1)的解()满足0,A 2()=(5+33)s i n h()+(2+22)c o s h()0.类似于引理2.4的讨论可知A 2()(3-3)s i n h()+2c o s h()0.则有K=A 1()2+2A 1()+A 2()+A 2()+A 3()0.进而有K=A 1()2+A 2()+A 3()l i m1(A 1()2+A 2()+A 3()=l i m1-A 1()a2()+A3()A1()+l i m1A 2()+A 3()=+,则K0与前述K0相矛盾.故当(1,2)时,0、A3()0,则A1()2+A3()=0,即2=-A3()A1().对两边求导则有2=A 1()A3()-A 3()A1()A21()=A 1()A3()A21()0,故0,A 2()0,A 3()=A2()0.故=-A 1()2+A 2()+A 3()A22()-4A1()A3()0,0,0.证明 由引理2.7可知当(1,3)时,0,=1+=0,=+0.3 主要结果及证明本节给出关于问题(9)(1 5)稳态解的存在唯一性定理.定理3.1 假设a2-a33a4,且a51C3(1)a21c o s h(1)-13s i n h(1)-a312c o s h(21)-122s i n h(21)-a431+C(1)a21s i n h(1)-a3122s i n h(21)-2a421+5第4期 王泽佳,等:具抑制剂和坏死核的血管化肿瘤生长模型的稳态解 C2(1)a2s i n h(1)-a322s i n h(21)-2a41,其中C(1)=1-s i n h(1)c o s h(1)c o s h(1)+s i n h(1)-1s i n h(1)-1c o s h(1).()若2,且0a2a3,则方程组(1 8)(1 9)存在唯一正解(,),且(1、3).证明 通过直接计算f(1),由已知条件可知f(1)=a21c o s h(1)-13s i n h(1)-a312c o s h(21-12s i n h(21)-a431+a213s i n h(1)-a312s i n h(21)-2a41C(1)2+a213s i n h(1)-a312s i n h(21)-2a421C(1)-a5C(1)30.(2 3)将式(1 9)写成如下形式f()3=d33a212c o s h()-133s i n h()-a3122c o s h(2)-1323s i n h(2)-a4+2a2s i n h()-a32c o s h(2)-2a4-a5.则f()3=322a212c o s h()-133s i n h()-a3122c o s h(2)-1323s i n h(2)-a4+2a2s i n h()-a32c o s h(2)-2a4+33a212c o s h()-133s i n h()-a3122c o s h(2)-1323s i n h(2)+2a2s i n h()-a32c o s h(2).令h()=a212c o s h()-133s i n h()-a3122c o s h(2)-1323s i n h(2)-a4,l()=a2s i n h()-a32c o s h(2)-2a4.6 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年 ()若20时,tc o s ht-s i n htt30,即tc o s ht-s i n htt3递增,故h()(a2-a3)122c o s h(2)-1323s i n h(2)-a4.由l i mt0tc o s ht-s i n htt3=13,可知h()a2-a33-a40.当t0时,s i n htt0,即s i n htt递增,故l()(a2-a3)s i n h(2)2.由l i mt0s i n htt=1,可知h()a2-a3-2a40,l()=h()+a4h()0、0,h()=a22+324s i n h()-333c o s h()-a322+3224s i n h(2)-323c o s h(2).当t0时,(t3+3)s i n ht-3tc o s htt40,即(t3+3)s i n ht-3tc o s htt4递增,故h()(a2-a3)22+3224s i n h(2)-323c o s h(2)=(a2-a3)122c o s h(2)-123s i n h(2)0.则f()3=322h()+2g()+33h()+2l()0.综上,方程组(1 8)(1 9)存在唯一正解(,).()若2,且0a2a3,当t0时,a2tc o s ht-s i n htt3(a2-a3)122c o s h(2)-1323s i n h(2)-a4a2-a33-a40.当t0时,a2s i n htt(a2-a3)s i n h(2)2 a2-a3-2a40,l()=h()+a4h()0,0.同理h()(a2-a3)22+3224s i n h(2)-3323c o s h(2)=(a2-a3)122c o s h(2)-1323s i n h(2)0,则f()30,故方程组(1 8)(1 9)存在唯一正解(,).7第4期 王泽佳,等:具抑制剂和坏死核的血管化肿瘤生长模型的稳态解 参考文献:1G R E E N S P AN HP.M o d e l s f o r t h eg r o w t ho f a s o l i d t u m o rb yd i f f u s i o nJ.S t u d i e s i nA p p l i e dM a t h e m a t i c s,1 9 7 2,5 1(4):3 1 7-3 4 0.2G R E E N S P AN HP.O n t h eg r o w t ha n ds t a b i l i t yo f c e l l c u l t u r e s a n ds o l i d t u m o r sJ.J o u r n a l o fT h e o r e t i c a lB i o l o g y,1 9 7 6,5 6(1):2 2 9-2 4 2.3B Y R N EM H,CHA P L A I N M AJ.G r o w t ho f n o n n e c r o t i c t u m o r s i n t h ep r e s e n c e a n da b s e n c eo f i n h i b i t o r sJ.M a t h e m a t i-c a lB i o s c i e n c e s,1 9 9 5,1 3 0(2):1 5 1-1 8 1.4B Y R N EH M,CHA P L A I N M AJ.G r o w t ho fn e c r o t i c t u m o r s i nt h ep r e s e n c ea n da b s e n c eo f i n h i b i t o r sJ.M a t h e m a t i c a lB i o s c i e n c e s,1 9 9 6,1 3 5:1 8 7-2 1 6.5F R I E DMANA,R E I T I CHF.A n a l y s i so f am a t h e m a t i c a lm o d e l f o r t h eg r o w t ho f t u m o r sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lB i-o l o g y,1 9 9 9,3 8(3):2 6 2-2 8 4.6C U IS,F R I E DMANA.A n a l y s i so f am a t h e m a t i c a lm o d e l o f t h ee f f e c to f i n h i b i t o r so nt h eg r o w t ho f t u m o r sJ.M a t h e-m a t i c a lB i o s c i e n c e s,2 0 0 0,1 6 4(2):1 0 3-1 3 7.7C U IS,F R I E DMAN A.A n a l y s i so fm a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h eg r o w t ho fn e c r o t i ct u m o r sJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 0 1,2 5 5(2):6 3 6-6 7 7.8S HE N H,WE IX,L I U C.E x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t a t i o n a r ys o l u t i o no fm a t h e m a t i c a lm o d e lo fn e c r o t i ct u m o rw i t ht h e t h i r db o u n d a r yJ.A c t aS c i e n t i a r u m N a t u r a l i u m U n i v e r s i t a t i sS u n y a t s e n i,2 0 1 8,5 7:1 4 0-1 4 4.S t a t i o n a r ys o l u t i o no fav a s c u l a r i z e dt u m o rm o d e lw i t hi n h i b i t o ra n dn e c r o t i cc o r eWANGZ e j i a,L I UQ i a n,WENL i s h u(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,J i a n g x iN o r m a lU n i v e r s i t y,3 3 0 0 2 2,N a n c h a n g;J i u j i a n gE x p e r i m e n t a lM i d d l eS c h o o l,3 3 2 0 0 0,J i u j i a n g,J i a n g x i;C o l l e g eo fS c i e n c e,S h e n y a n gA e r o s p a c eU n i v e r s i t y,1 1 0 1 3 6,S h e n y a n g,L i a o n i n g,P R C)A b s t r a c t:T h i sp a p e r i sc o n c e r n e dw i t haf r e eb o u n d a r yp r o b l e m m o d e l i n gt h eg r o w t ho fv a s c u l a r i z e dt u m o rw i t h i n h i b i t o r a n dn e c r o t i c c o r e,i nw h i c h t h e t u m o r i s s p h e r i c a l l ys y mm e t r i c a l.T h e e x i s t e n c e a n du-n i q u e n e s so f t h es t a t i o n a r ys o l u t i o no f t h em o d e l a r ee s t a b l i s h e du s i n gt h ep o w e rs e r i e sm e t h o d.K e yw o r d s:t u m o rm o d e l;v a s c u l a r i z e d;n e c r o t i cc o r e;s t a t i o n a r ys o l u t i o n8 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年