具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1667-1680http:/具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支杨纪华*马亮（宁夏师范学院数学与计算机科学学院宁夏固原7 56 0 0 0)摘要：研究具有尖点环的非光滑微分系统在n次多项式非光滑扰动下的极限环分支问题.首先把扰动微分系统的一阶Melnikov函数M(h）表示成几个具有多项式系数的生成积分的线性组合，并用数学归纳法证明这些多项式的系数是相互独立的常数然后应用M(h）的渐近展式得到从原点和尖点环附近分支出极限环个数的下界.关键词：极限环；Melnikov函数；尖点环；渐近展式.MR(2020)主题分类：34C07;34C05文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-16 6 7-141引言缓慢变化后的突发行为普遍存在于自然和人工系统中，通常由非光滑的数学模型来描述，如机械工程中的碰撞振动系统、含有可控开关的电路系统、神经网络等1-3因此，这方面的研究倍受非线性科学界的关注.非光滑系统不仅可以产生经典的分支（如Hopf 分支、极限环分支、同宿轨分支、异宿轨分支等），而且会产生只有非光滑系统才能具有的更复杂的分支，如边界碰撞分支4,5、擦边分支6 等在过去的几十年中，人们对推广光滑系统的经典分支方法来研究非光滑系统做出了许多贡献例如,Kukucka 研究了非光滑系统中同宿解的存在性问题，并证明了扰动系统中存在同宿解7 Li和Huang研究了一类平面扰动非光滑Filippov系统的同宿轨分支和 Hopf 分支8 如果一个系统对由直线或曲线分割的两个或多个不同区域中的连续向量场有不同的定义，则称该系统为切换系统.切换系统是一类非光滑系统。本文主要研究切换系统的极限环分支问题.据我们所知，研究这个问题主要有三种方法：广义Melnikov函数法、广义平均法和计算李亚普诺夫常数法例如，文献9给出了相应的广义一阶Melnikov函数公式应用这些方法,Llibre等证明从三次等时多项式系统的周期轨分支出12 个极限环10.Li等11构造了一个具有15个极限环的切换立方系统.Guo等12 构造了三次切换系统，并证明该系统存在18 个从中心分支的小振幅极限环。这是在这种三次切换系统中获得的小振幅极限环最大数目的一个最新的下限.文献13利用Melnikov函数方法，通过扰动具有广义同宿或双同宿环的分段哈密尔顿系统来考虑同宿分轨支问题.文献14】也用这种方法给出了切换微分系统中同宿环附近极限环个收稿日期：2 0 2 2-11-2 2；修订日期：2 0 2 3-0 5-17E-mail:基金项目：国家自然科学基金(12 16 10 6 9)、宁夏自然科学基金(2 0 2 2 AAC05044)和宁夏高等学校一流学科建设（教育学学科)(NXYLXK2021B10)Supported by the NSFC(12161069),the Natural Science Foundation of Ningxia(2022AAC05044)and the Construction of First-class Disciplines of Higher Education of Ningxia(pedagogy)(NXYLXK2021B10)*通讯作者Jcientia中图分类号：0 17 5.12文献标识码：A1668数的一些充分条件.文献15通过扰动具有尖点和幂零鞍点的广义异宿环的分段三次多项式系统，研究一类n次非光滑微分多项式系统极限环个数的下界问题.本文考虑下面非光滑扰动微分系统i=y+ef+(a,y),(9=-?+2-1+eg+(a,y),其中f+(a,y)=Zajay,g+(r,)=Zb,ng,i,j,n e N.数学物理学报30,j=4a3-2+eg-(a,y),nVol.43 A 0,(1.1)ni+j=0当=0时，系统（1.1)的哈密尔顿函数为H+(,!和H一当=0时，系统（1.1）有一族分段光滑的周期轨Ih=(a,)|H+(a,)=h,0)U(r,y)H-(r,u)=h,a0)t UTr,其中h=号h,h(0,).当h0时,Ih趋于原点；当h时,Ih趋于过尖点（1,0)和鞍点(-学,0)的尖点环，见图1.i+j=032+,03-24+2,0.(1.2)(1.3)X图1当=0时，系统(1.1)的相图本文主要研究系统（1.1）极限环个数的下界问题.我们首先得到系统（1.1）的一阶Melnikov函数 M(h）的代数结构，即M(h）可以表示成几个具有多项式系数的生成积分的线性组合，并用数学归纳法证明这些多项式的系数是相互独立的，这是证明这些系数相互独立的一个比较简单的方法.最后根据M(h）的渐近展式得到系统（1.1）在原点和尖点环附近的极限环个数.No.62Melnikov函数的代数结构由文献9 知系统(1.1)有分支函数F(h,e)=M(h)+O(e),其中g+(c,y)da-f+(r,y)dy+4M(h)g(ac,y)da-f-(a,y)dy,h E(o,:t3JTh是系统（1.1）的一阶Melnikov函数.如果M(h)0,hE(0,)，则当lel充分小时，从系统(1.1）的未扰动系统的周期环域中分支出极限环的个数不超过它在（0,3）中孤立零点的个数，并且M(h孤立零点的个数提供了系统（1.1）极限环个数的一个下界，见文献9,16.为了方便，记因为轨道I关于a轴对称，所以Ii,2i+1(h)=J,2j+1(h)=0.我们首先证明下面引理。引理 2.1 当h E(0,)时,M(h)=(2at i)0.(h)+(=0(2a)0.(h)+(+i=0(2）)J2,(h)+i=0其中(号),(1),()和(0)是可以由吨，和吨，表示的常数，且它们是相互独立的证由格林公式可得i+1h杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支ayidy,Ji,;(h)=agdy,h e(o,9)h/haiyida1669(2.1)JTh(时对 hl)1,(h)+(i=0(ZBrh)1.(h)i-0(0:ht)J3.(h),i-02i+1dyy(2thi)2.(h)i=0(2.2)(2.3)iyidaJTh由(2.1)、(2.3)和(2.4)式可得nM(h)=-i+j=1,j1n3(i+1)i，ji+j=1,j1nEi,jli,;(h)+i+j=0其中2+1,i+1n6+1i+1h4j6,nni,jJi,;(h),i+j=01in,li+jn,1,3+1,i=0,0jn,(2.4)i+j=0/T+hn4ai，13i+j=0aiyidyh1670显然，si；和ni是可以任意选取的常数.我们断言ni+j=0且（=0,1,2,，号)，（=0,1,2,，）和（=0,1,2,，2）是相互独立的.事实上，在H+（c,y）=h 中把看做y和h的函数，两端同时关于y求偏导数可得(2.6)yy(2.6）式两端同乘以iyji-1dy并沿着F积分可得Ii,;(h):-1Ii+3,j-2hi+3i+1类似地，H+（a,y）=h 两端同乘以ci-3yidy并沿着t积分可得I.,(h)=3hl-3,(h)-号1-3,+2(h)+31i-1;(h)3li-2,;(h),i 3,j 0.于是利用(2.7）和(2.8）式得到6iI.;(h)=2+3j+3 L2(j-1)Ii.j(h)2i+3j+3下面用数学归纳法证明断言由（2.9）和（2.10）式得于是,当 n=2,3 时有2i+j=03Si,jli,j(h)=i+j=0数学物理学报44(j+1)33i43aij(2)0(h)+(2 时m)1.(h)+(i=09+22Ii+1,j-2(h)2hIi-33hIi.j10.22(h)I3,0(h)=2hI0,0(h)-31,o(h)+312,0(h),(3h-1)I 1,(h).3311(g h60,2+0,)0,0(h)+1,1,(h)+2,0 2,0(h),232350,2+3351,2+263,0)h+0,0 I0,0(h)61,2 h+1,0-1,2-3,)1,(h)(2 0 3,.)2.(h),+Vol.43 A1in,li+jn,-1,j+1,i=0,0jn.(2t ht)12.(h),(2.5)j=0k=020.2(j-1)2 1i+2.-2(h),i 0,j 2.i+22i+j-一2(i-2)2i+2,-2(h),i 0,j 2.(2.10)i+1-24ho,o(h)42(2.7)(2.8),i 3,j 0,(2.9)(hi+22(2.11)No.6所以，当n=2,3时断言成立。假设当ik 1（k 4)时断言成立设k是偶数（如果k是奇数，可类似地证明)，在(2.10）式中取（,i)=(0,k),(2,k-2)，(k-2,2),在(2.9)式中取(i,j)=(k,0),得到Io,;(h)I2,k-2(h)I4,k-4(h)Ik-2,(h)Ih,o(h)其中直接计算可得行列式|=1.所以，当n=k（k 是偶数）时，由归纳假设和（2.12）式可得Zsagla(h)=(2athi)ni+j=0其中，和是常数.所以，当n=k时（2.5)式成立下面证明（i=0,1,2,号),（=0,1,2,，和（=0,1,2,，)的独立性，事实上，由归纳假设知，（i=0,1,2，)，（=0,1,2，2）和(k=0,1,2,，=3）是相互独立的，即可得雅克比矩阵杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支2(k-3)(3hI2,h;3k+12(k-5)(3hI4,k-6(h)3k-12(3hIk2k+52k(3hIk-3,02k+3103-k013k+14(5-k)001=3(3k:-1)000Io,0(h)+02(nSo,nn+12n.+En.02n+3(3h I n=3,0(h)+(Zath)0.(h)+(i016712(k:1)hIo,k-2(h)k+14(h)I3,k-3815,k-6(h)52(k2（hn-13k3(2k-33)hk一0000000(时)11,(h)+j=02(n-3)hlo,n-2(h)+E2,n-23hI23n+13nn一(时）)1,(h)+(3=0(2.12)-2,0(2k-40000002(2-k)工k(2k+5)01(2）k=0433(2n-3In-2,0(h)2n-4(2th)2,0(h),k=0(2.13)ASko,/n=2j*:.70n=2,lo,Sso,t/ns1672的行列式|A|不等于零，式中si,；的下标之和小于等于n一1.直接计算得雅可比矩阵亚20ABC2110n+10V其中 v=62,(n-3)!:=4数学物理学报+，Yn-312是一个常数，0 是行向量,B和C都是列向量.显然Vol.43 ASs(n=3j,to,S0,n,S2,n-2亚n+1所以，(=0,1,2,，号)，（=0,1,2,，)和（=0,1,2,)是相互独立的.类似地可以证明nni,jJi,;(h)=i+j=0且(),(,()和()是相互独立的.综上可得，(2.2)式成立，且(0 号),陆（0 ),(0 2)和8（0 i =3)是相互独立的.引理2.1 得证.13主要结果与证明首先给出一阶Melnikov函数M(h）在原点和尖点环附近的渐近展式.引理3.1当0 h1时，I1,o(h)和I2,0(h)的渐近展式为+80I1,0(h)=VhA1ahi,I2.0(h)=VhA2zih,i=1其中Aki(k=1,2;i=1,2,.)是实数.证因为0 h，-2 h V2 h,所以-1 号-3h0,因此可得下面的渐近展开式其中Al+0.(2ah)Jo,0(h)+i=0(2m)/2.(h)+(i=0+8033h=1,=(-1)(-+1),！(23)1.0(h)=0(Z0 ni)J3,(h),0=1+803二2i=0i=1,2,.;k=1,2.(3.1)No.6所以,当 0 h1时,I2,0(h)=2=-2 V2h+2(u-2i)+8=VhZA2ih,=1其中A2i=-2V23(2-2l)类似地可得I1,o(h）的渐近展式，且A1i=-2V23/(t2-1)dt,i=1,2,.证毕。引理3.2 当0 0.易知，当0-1时,，方程(3.3)存在唯一的C函数其中 K10=-1,K11=,碳.所以,当0 h1时,7,K12=K133381二16，K14=一杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支+803hdyi=00(t2 1)dt,i=1,2,.00+8J1,(h)=ZBijhi+1,j=0+80J2.(h)=VhZ B2;hi+1,j=0+80J3(h)=21B3;hj+2,j=022-24=22,a0,+80=0(2)=-2+0(2)=1522i+1,j=01673dyV2h3(3.2)(3.3)dy=ZBuihi+1,+80J.1(h)=2ZK1jj=0其中K1j是实数，B1,=2-2i+13j+2K15J+80V2hJ2.(h)=2 Z3K2jj=10V2h4(1 t2)i+2dt,j=0,1,2,.3+832hy8dy=VhZB2;hi+1,j=0j=0+801674其中 k2,是实数,Bz2,=2-2j-3jr2,+1 Jo(1t2)+1dt,j=0,1,2,.其中 k3,是实数,B3j=2-2j-3j+3,3+1 J(1 t2)+dt,j=0,1,2,.引理3.3当0 -h1时，I1,o(h)和I2,o(h)可展开为I1,(h)=p1la/+Zp1/ul,L2.(h)=p2lu/+p2k/lu/l,其中 u=h-,P1,p2,Pok，P1k 和 p2k(k0)是实数.证注意到下面的渐近展开式(1+a)=入ah,E-1,1,k=0其中 入=1,=-1)-(-),z1.即可得 1.(h）)的渐近展式。下面计算.0(h)和k！I2,o(h)的渐近展式。计算可得I1,0(h)=-2 V2令=3t+1,u=h-，则(3.6)式可化为I1,0(h)=-2 V2 V/3=-2V2/3容易验证-1(-t)-3u0,由(3.5)式可得I1,0(h)=-2V2/3(-t)2A(-t-3u)ndtk=0+80=-2V2/入入iuk=0+80-1)入=4V2V325-6kk:=0+8pilu+Zp1klu/k,k=0数学物理学报+8V2h3J3.(h)=2 ZK3j0j=1l.(h)=porlul,k=0+80k=0+80k=0+83h+(-t)V1+(-t)-3 udt.+80-3kdt一tul+4/22+81)k3k-2入5-6kk=0Vol.43 A+83du=ZBajhi+2,8y4+80j=031h3(3.4)(3.5)(3.6)t3dt(3.7)(3.8)No.6其中I2,o(h)的渐近展式可类似地得到.注3.1由正项级数的拉贝判别法可知级数引理3.4当0 -h1时，J1,o(h),J2,o(h)和 J3,0(h）的渐近展式为+8J0o,(h)=ooilul,i=0+80J1,o(h)=silul ln|ul+01+o1ilu1J2,(h)=2 l u+Z 2alul,+8+80J3,(h)=Zsailul|ul 03+Z03ilul/=1其中u=h,01,02,03,00i,01i,Q2i,03i,S1:和S3i 是实数.证类似于Io,o(h)可得 Jo,o(h)的展式.下面计算J1,o(h)、J2,o(h)和J3,o(h)的渐近展式.直接计算可得J1,0(h)=2V2t+2，u=h-，则(3.10)式可化为2杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支+8P1=4V/2V32(-1)入5-6kk=0V1-3h1675k=0,1,2,5-6k+80(-1)A绝对收敛.5-6kk=0+80=0i=0i=01433(3.9)1(3.10)2ValtV1+t-2uJ1,o(h)=2 V6dt.V1+V3t1(3.11)容易验证-1 t-2u0,-1V3t0,并注意到下面的渐近展开式(3.12)(1+2)-=x,(-1,1,+80k=0其中a=1,2=二(-1-1):(-1-k+1),由(3.5)、(3.11)和(3.12)式可得J1,0(h)=2V6+80=2V2入+3i0j=01.K!/ul8(2（uk=0+80F(Z(V3t)n)dtk=0ulti-2i+1dt)31676其中证毕。注3.22对固定的自然数i，由正项级数的拉贝判别法可知1中的级数以及1i中出现的三个数项级数都是绝对收敛的.下面的引理3.5可以由牛顿二项式定理直接得到.引理3.5当0 -h1时，可得下面的渐近展式Zathi=Zalul,=0i=0=22thi=Zlul,2=0i=0其中=h-,(=,1,),6(=,1,号),(=0,2,号)和d（i=0,1,2,，)是相互独立的，并且数学物理学报+80=2V2(1)i3i-入;入2 i-2luli 1n V3|ul=1+8+2V2+80j-2i+2i=0.j=0,j#2i-2+8i=100:=(1)V21 33i-;/2i-2,+8(-1):3入,?艺+i-2i+2j=001i=j#+1+80(-1);+13年;A?i-2j+2(j=02d=2(-1)Y23k-ik=iVol.43 A(-1)+13入;42ul1+2 3i-2-1|u+801+i0+803-2(-1)i+1入301=2j+2j=0i是偶数，j-ij=0i=0=8,hi=i=0=02土(3.13)i是奇数.-1=032d,lul,(-1)iYB士3k-1kk=i(3.14)=22Ci.#3k-ik=i命题3.1当0 h1时，M(h)的渐近展开式为M(h)=28clihi+C2ihi+1i=0i=0d=2-1）3k-ik=i8(3.15)No.6其中c1（=0,1,2，号）和c2i（i=0,1,2,，号）是相互独立的，并且2t 41.-+Zt 42.-+Ba.-1-+2V2a-2V2at,0 i k=0C1i=A1i-k+tA2,i-k+k=0k=0i-12 B1,-+2元 B3-1-k=0k=0C2in-112k=0证把(3.1）和(3.2)式带入(2.2)式即可得(3.15)式.下面证明当n是偶数时（n是奇数时可以类似地证明)，C1（i=0,1,2，号）和c2i（i=0,1,2，号）是相互独立的事实上，直接计算可得A:(oo,ai,.,(o,i,r-)2V2002V2.000000000上述矩阵的行列式为A=(1)-+1(2V2)2+1(所以C1（i=0,1,2，号）和C2i（i=0,1,2,，）是相互独立的.类似于命题3.1，应用引理3.3、引理3.4和引理3.5可以得到M(h）在尖点环附件的渐近展式命题3.2 当0 -h1时，M(h)的渐近展开式为M(h)=i=0+Vud4,2i-1lu+n|uldsalul,=1杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支i-1k=0k=0-12元 B2.-1-k;k=00i2-1元 B3,;-1-k,i k=0(c10,C11,*,C1号,C20,C21,*,2-+1￥0.”dilul+22d2alul+Zdalul80i=088i=01677+1.000:2V200B100B20.000.00B101,-1.00000B101(3.16)1678其中 u=h,d(i=0,1,2,),d2(i=0,1,2,),d3i(i=0,1,2,号),d4（i=1,3,5,21)和ds（i=0,1,2,，)是相互独立的，并且di=(-1)pibt,d2i=(-1)p2ct,dai=di+d2,2i-2,d4a=d2,2i-1,d2=Gii+2i,di+d2:+o2ci-1,0id5idii+d2i,(i-1k=0+1S1,i-kbk,i,2k=05Ti+oib,+0gdi,0ik=15Tki+01bi,d1k=15Tki，k=1Cpo,i-kat,0ik=0T1ipo,i-hat,i(k=0k=0T3i=P2,i-kct,i k=002.i-kCk,0ik=0T5i一2202,i-kCh,ik=0203.-2kdk,0 i 2k=0-3203,i-2kdi,i 2k=0证把（3.9）和(3.14)式带入（2.2）式即可得(3.16）式类似于命题3.1可以证明d1i(i=0,1,2,.,),d2i(i=0,1,2,),d3i(i=0,1,2,.,号),d4i(i=1,3,5,，2 -1)和ds（=0,1,2，是相互独立的./数学物理学报22,i+3,21i_1+12n-32n2i-+2,2p1,-bt,0 i_122k=0T2in-12+1P1,i-kbt,i2k=0n-22n2222n-3232Vol.43 ACS1i-kdk,0i2k=0d2”S1,i-kdk,ik=000,i-kak,0ik=0T4i=0o,i-kak,ik=02201,-2b%,0i2k=0S1i=01,i-2kb元,i 2_k=02+1No.6定理3.1扰动微分系统（1.1)在原点附近至少有n个极限环证由命题3.1可知，M(h)中的系数c1(i=0,1,2,号)和c2i(i=0,1,2,，)是相互独立的，所以，当n是偶数时，可以选取0 C10-C20 C11-C21 C12-C22 :C1,号-1-C2,C1,号-当n是奇数时，可以选取0C10-C20 C11-C21 C12-C22 :C1,2-C2,3因此，一阶Melnikov函数 M(h)在 h=0 附近有号+1=n个正的简单零点.由文献9 和16 可知,对任给的闭区间a,b C(0,),当 h Ea,b,且 e|充分小时,F(h,e)EC.由隐函数定理，系统（1.1)在原点附近存在n个极限环.1定理3.2 扰动微分系统（1.1）在尖点环附近至少有2 n+11个极限环.证由命题3.2 可知，M(h）中的系数d1（i=0,1,2,，),d 2（i=0,1,2,，di(i=0,1,2,，号),d4i(i=1,3,5,2-1)和 ds(i=0,1,2,，=3)是相互独立的，所以，当n是偶数时，可以选取0-dso d3o-dio ds1-d31 d20-d41 d11-d52 (-1)*d 3,(2 (-1)+1d 2.F2,当n是奇数时，可以选取0-d5o d3o-d1o ds1-d31 d2o-d41 d11-ds2杨纪华等：具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支1679因此，一阶Melnikov函数M(h)在h=附近有2 n+1个正的简单零点.所以系统(1.1）在尖点环附近存在2 n+1个极限环.1 Tse C,Bernardo M.Complex behavior in switching power converter.Proceeding of IEEE,2002,90(5):768-7812 Kember S,Babitsky V.Excitation of vibro-impact systems by periodic impulses.J Sound Vib,1999,227(2):427-4473】黄立宏，郭振远，王佳伏.右端不连续微分方程理论与应用.北京：科学出版社，2 0 11Huang L H,Guo Z Y,Wang F J.Theory and Application of Differential Equations with DiscontinuousRight-Hand Sides,Beijing:Science Press,20114 Zou Y,Kupper T,Beyn W.Generalized Hopf bifurcation for planar Filippov systems continuous at theorigin.J Nonlinear Sci,2006,16(2):159-1775 Simpson D,Meiss J.Andronov-Hopf bifurcation in planar,piecewise-smooth,continuous flows.Phys LettA,2007,371(3):213-2206 Virgin L,Begley C.Grazing bifurcations and basins of attraction in an impact-friction oscillator.PhysicaD,1999,130:43577 Kukucka P.Melnikov method for discontinuous planar systems.Nonlinear Anal,2007,66:2698-27198 Li L,Huang L.Concurrent homoclinic bifurcation and Hopf bifurcation for a class of planar Filippovsystems.J Math Anal Appl,2014,411:83-949 Liu X,Han M A.Bifurcation of limit cycles by perturbing piecewise Hamiltonian systems.Int J BifurcChaos,2010,20(5):1379-13901参考文献16801o Llibre J,Lopes B,Moraes J.Limit cycles for a class of continuous and discontinuous cubic polynomialdifferential systems,Qual Theory Dyn Syst,2014,13:129-14811 Li F,Yu P,Tian Y,Liu Y.Center and isochronous center conditions for switching systems associated withelementary singular points.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,2015,28:81-9712 Guo L,Yu P,Chen Y.Bifurcation analysis on a class of Z2-equivariant cubic switching systems showingeighteen limit cycles.J Differential Equations,2019,266:1221-124413 Liang F,Han M.Limit cycles near generalized homoclinic and double homoclinic loops in piecewise smoothsystems.Chaos Solitons Fractals,2012,45:454-46414 Liang F,Han M,Zhang X.Bifurcation of limit cycles from generalized homoclinic loops in planar piecewisesmooth systems.J Differential Equations,2013,255:4403-443615 Xiong Y,Han M.Limit cycles appearing from a generalized heteroclinic loop with a cusp and a nilpotentsaddle.J Differential 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function;Cuspidal loop;Asymptotic expansion.MR(2020)Subject Classification:34C07;34C05