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二次型的几何分类及其应用
田金慧
内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用

1 导言

在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。

本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。

2 二次型及其标准型

所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
定义2.1 在数域上，含有个变量的二次齐次函数

（1）
称为元二次型，简称二次型【2】。
当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型。本文仅讨论实二次型。
若取，则于是（1）式可写成
（2）
其中，，，为实对称矩阵，称为二次型的矩阵也把

叫做对称矩阵的二次型；同时的秩也称为二次型的秩。
定义2.2 仅含有平方项的二次型
（3）
称为二次型的标准形。
对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换
（4）
将其化为标准型。
定理2.1 任意元实二次型都可经正交变换化为标准形

其中是的矩阵的特征值。
例2.1 利用正交变换化二次型

化为标准型。
解 二次型的矩阵为

特征多项式为：

所以的特征值为。
当时，解得线性无关的特征向量，单位化得

。
当，解得线性无关的特征向量，单位化得。
令

则为正交矩阵。
于是，正交变换，即

化二次型为标准型

二次型变换前后的几何描述如图1。

图1 二次型变换前（左图）、后（右图）

3 二次型的分类

对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。
3．1 正定二次型和负定二次型
定义3.1.1 设实二次型，
（i） 如果对于任意一组不全为零的实数,都有
，
称该二次型为正定二次型，且称矩阵为正定矩阵。
（ii） 如果对于任意一组不全为零的实数,都有
，
称该二次型为负定二次型，且称矩阵为负定矩阵。
二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。

图2 一元、二元正定二次型

图3一元、二元负定二次型
定理3.1.1 对于实二次型，下列条件等价：
（i） 是正定的；
（ii） 的标准型是；

（iii） 存在可逆实矩阵，且；
（iv） 存在可逆实矩阵，使得；
（v） 的全部特征值皆大于零；
（vi） 的各级顺序主子式皆大于零，即
。
定理3.1.2 对于实二次型，下列条件等价：
（i） 是负定的；
（ii） 的标准型是;
（iii） 存在可逆实矩阵，使得；
（iv） 的全部特征值皆小于零；
（v） 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即
。
例3.2.1 判别二次型的正定性。
解 二次型的矩阵为

根据定理3.1.1，知为正定二次型。
的几何描述如图4。

图4 的三维切面图
例3.1.2 判别二次型的正定性。
解 二次型的矩阵为

根据定理3.1.2，知为负定二次型。
的几何描述如图5。

图5 三维切面图
3．2 半正定二次型和半负定二次型
定义3.2.1 设实二次型，
（i） 如果对于任意一组不全为零的实数，都有
，
称该二次型为半正定二次型，且称矩阵为半正定矩阵。
（ii） 如果对于任意一组不全为零的实数，都有
，
称该二次型为半负定二次型，且称矩阵为半负定矩阵。

二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。

图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）
定理3.2.1 对于实二次型，下列条件等价：
（i） 是半正定的；
（ii） 的标准型是；
（iii） 存在可逆实矩阵，且；
（iv） 存在实矩阵，使得；
（v） 的全部特征值皆大于或等于零；
（vi） 的所有主子式皆大于或小于零。
定理3.2.2 对于实二次型，下列条件等价[3]：
（i） 是半负定的；
（ii） 存在实矩阵，使得；
（iii） 的全部特征值皆小于或等于零；
（iv） 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，即
。
3．3 不定二次型

定义3.3.1 设实二次型，如果既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。
例3.3.1 判定二次型

的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。

图7 时的几何图形
例3.3.2 判定二次型

的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。

图8

4 二次型理论在二次曲面分类上的应用

4．1 理论分析
二次曲面方程的一般形式[4]为
（5）
令，，，则上述方程可以写为
（6）
其中就是一个二次型。
由于是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得

这里，，为的特征值（均为实数）
作正交变换，其中，式（6）化为
（7）
令，则（7）式化为
（8）
1） 若都不为零，配方得：
（9）
那么，经过平移后式（9）可简化为
（10）
其中。
下面对（10）式进行讨论。
（i）
由（10）式得

令，则有
（椭球面）
其几何图形如图9。

图9
（ii）
仿上（10）式可化为
（虚椭球面）
其中。
（iii）
仿上（10）式可化为
（点）
其中。
（iv） 中两正一负，
不妨设，仿上（10）式可化为

（单叶双曲面）
其中。
（v） 中两正一负，
不妨设，仿上（10）式可化为
（双叶双曲面）
其中。
（vi） 中两正一负，
不妨设，仿上（10）式可化为
（二次锥面）
其中。其几何图形如图10。

图10
2） 若中有且仅有一个为零
不妨设，这时二次曲面（8）就变成

从而，
（11）
若，则

平移后得
（12）
再令

则(8)式变为
（13）
于是又得到下面两类二次曲面:
（i）
由（13）式得

令，则有
（椭圆抛物面）
其几何图形如图11。

图11
（ii）
仿上（13）式可化为
（双曲抛物面）
其中
再若（11）式中，这时可把（11）式平移后得
（14）
其中。
这样，又可得五类二次曲面：
（iii）
由（14）式得

若令，则有
（椭圆柱面）
（iv）
其几何图形如图12。

图12

仿上（14）式可化为
（虚椭圆柱面）
其中
（v）
仿上（14）式可化为
（直线）
（vi）
仿上（14）式可化为
（双曲柱面）
其中，其几何图形如图13。

图13
（vii）
仿上（14）式可化为
（两相交平面）
3） 若中有且仅有两个为零

不妨设，此时（5）就变为

配方得
（15）
若，作变换

代入（15）式得
（16）
这样又得到一类曲面。
（i） 由（16）式得，令，则有
（抛物柱面）
若，那么（16）式就变成

平移后得
（17）
于是可得到最后三类二次曲面：
（ii）
这时（17）式可化为
（一对平行平面）

其中
（iii）
这时（17）式可化为
（一对虚的平行平面）
（iv）
这时（17）式可化为
（一对重合的平面）
4．2 应用实例
例4.2.1 判别方程所代表的二次曲面的类型。
解 方程左边为一三元二次型，不妨设，则的矩阵

易求得的特征值为。
由（8）式知所求曲面的标准方程为

因此，该曲面是单叶双曲面，如图14。

图14二次曲面变换前（左图）、后（右图）
例4.2.2 判别方程所代表的二次曲面的类型。

解 记
，，
则原方程可写为

的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：
，；，，
令

则有
，
作正交变换，其中，则（9）式化为

即

配方，得

作平移变换， ，，得

这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个顶点在原点，旋转轴为轴的圆锥面，如图15。

图15二次曲面变换前（左图）、后（右图）

5 二次型理论在多元函数极值问题中的应用

5．1 理论分析
定义5.1.1 设元函数在的某邻域内有一阶、二阶连续偏导数，称为函数在点处的梯度；称

为在处的海塞矩阵。
定理5.1.1（极值的必要条件） 设元函数，其中对各自变量具有一阶连续偏导数，

是的一个驻点，则在处取极值的必要条件是。
定理5.1.2（极值的充分条件） 设函数在电的某邻域内有一阶、二阶连续偏导数，且,则:
(i) 当为正定矩阵时，在处取得极小值；
(ii) 当为负定矩阵时，在处取得极大值；
(iii)当是不定矩阵时，在处不取极值。
证[6] 记，。将在处作Taylor展开，有

。
由于，当，且充分小时，上式可化为

由此可以看出，是否是的极值取决于二次型的正定性。
当为正定矩阵时，时，就有，即是的极小值。
当为负定矩阵时，时，就有，即是的极大值。
最后，当是不定矩阵时，在处不取极值。这是因为，倘若在处取得极值，不妨设取得极大值，则沿任何过的直线
，

在处亦取得极大值。由一元函数取极值的充分条件知，是不可能的（否则，在处将取极小值），故，而
，
，
，
这表明必须是半正定的，这与假设矛盾。证毕。
推论1 设一元函数在处二次连续可微，且，则时，在处取极小(大)值。
推论2 设二元函数在处有二阶连续偏导数，又
，
，
则时，在处取极小(大)值。
5．2 应用实例
例5.2.1 求函数的极值
解 的几何描述如图16。

图16

在上有定义，且有连续的一阶、二阶偏导数。求解方程组

即

得到四个驻点：（2，1），（-2，-1），（2，1），（-1，-2） 。
进一步计算得

即

矩阵是正定矩阵，故（2，1）是极小值点，此时极值为-28；
矩阵是负定矩阵，故（-2，-1）是极大值点，此时极值为28；
矩阵，都是不定矩阵，故（1，2），（-1，-2）都不是极值点。
例5.2.2 求函数的极值
解 在上有定义，且有连续的一阶、二阶偏导数。求解方程组

即

得到驻点为（-1，-1，1）。
进一步计算得

即

而是正定的，所以在（-1，-1，1）点取得极小值，此时极值为-6。
的几何描述如图17.

图17

6 半正定二次型在不等式证明中的应用举例

本文前面对半正定性二次型的判定条件进行过简单的介绍，以下通过具体实例说明二次型半正定性在不等式证明中的应用。该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价条件。判断二次型(矩阵)为半正定，从而得到不等式[7]。
例6.１ 设，试证。
证 要证明的不等式可写成，所以只需证矩阵

半正定。
由于的一阶、二阶主子式分别，，所以半正定，从而二次
型

半正定。证毕的几何描述如图18。

图18
例6.2 已知的三边分别为，面积为，试证
证 利用余弦定理及面积公式，将问题转化为

其矩阵为

由于的一阶、二阶主子式分别
，
，
所以半正定，从而二次型半正定，即结论成立。
例6.3（Cauchy不等式） 设为任意实数，则

证 记
因为对于任意,，都有，故关于,的二次型是半正定的。因此，该二次型矩阵的行列式大于或等于0，即

故得。

例6.4 证明
证 记，其中
，
经过初等变换得：
，
于是的特征值为，于是为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从而得，即

7 二次型在统计中的应用

7．1 关于统计距离
许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离，在大多数情况下，通常的欧氏距离是不能令人信服的[8]。
考察维变量对应维空间的点，假设的位置可以变化，为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性，需要建立统计距离。
定义7.1.1 设为正定矩阵，称为一种距离，对于不同的

的选择，可得到不同的统计距离。如回归诊断中使用较多的Mahalanabis距离，Cook距离等。
为考虑问题的方便，考察，而为正定矩阵的二次型。
7．2 二次型在求自由度中的应用
在统计学中，自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数。它产生于利用样本量估计参数的时候。实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的。的秩的大小反映了个变量中能自由变动的无约束变量的多少，因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9]。
例6.3.1 求统计量的自由度
解　

其中，
我们可以通过矩阵的初等变换求得的秩为，所以统计量的自由度为。

8 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用

在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域，经常遇到一系列的耦合谐振子问题，因此，研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要，解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦，可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10]。
质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为

式中和分别为坐标耦合强度和动力耦合强度，上式的哈密顿量就是一个二次型。
的矩阵为

关于，详细的分析和讨论请参阅参考文献[10]

9 结论

实际上，凡是用到实对称矩阵的问题，都或多或少的涉及到了二次型的有关理论，不论是数学、统计学，还是理论物理学。
本文主要将二次型的理论作了简要的介绍，并阐述了二次型在实际问题中的一些应用，使二次型的理论更加鲜活地展现在我们面前，这正是课题研究的意义所在，同时也是作者的目的。
本文的创造性工作是将二次型与几何图形巧妙地结合在一起，突出了主题；给出一些有用的定理及证明，如在第5部分给出的不定二次型与极值的关系等。

当然，本文还是有不少的遗憾和缺陷。例如只讨论了实二次型，而对于复二次型作者没有涉及；在二次型的分类上，只以正定性为依据给出了分类，而对其他的依据没有涉及，如可分性等；关于不定二次型的极值问题，如果可以给出判断极值的方法，那这方面的理论就完善了。这些都有待进一步讨论。

参考文献

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[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].(第三版).北京: 高等教育出版社,2003:205-231
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[8]赵开斌.关于统计距离的一点注记[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.2002(4):16-17
[9]卢筠,段钦治.正交变换在正态总体中的应用[J].天津理工学院学报.2004(4):57-59
[10]吴耀强.多元函数极值充分性条件之研究[J].广西教育学院学报.2003(5):34-36
[11]徐世泯.利用二次型理论精确求解双模双耦合谐振子的能谱[J].聊城大学学报(自然科学版).2006(3):42-44
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[14]LICHEN.Singular linear quadratic performance with the worst disturbance rejection for descriptor systems[J].控制论与应用.2006(3):16-19
[15]Jing-hongLiu Qi-dingZhu.UNIFORM SUPERAPPROXIMATION OF THE DERIVATIVE OF TETRAHEDRAL QUADRATIC FINITE ELEMENT APPROXIMATION [J].计算数学.2005(1):19-21
附录A：开题报告

二次型的几何分类及其应用

1 论文结构

1．1 总体结构的设想
全文分为八个部分，各部分概要如下，
第一部分介绍二次型的基本理论——二次型及其标准型。
第二部分给出二次型根据正定性将二次型进行分类——分为五类。
第三部分是二次型理论在二次曲面分类上的应用。讨论《解析几何》(见[2])中的二次曲面的全部十七种类型，并且给出实例加以阐述。
第四部分是二次型理论在多元函数极值问题中的应用。
第五部分是半正定二次型在不等式证明中的应用举例。
第六部分是二次型在统计中的应用。
第七部分是二次型理论在耦合谐振子问题中的应用。
第八部分是整篇的结论。
1．2 选题的目的和意义
这一选题的目的及意义就是在理论和实例相结合的基础上，通过对二次型进行几何描述，使二次型的相关理论与实际应用更家清楚地展现出来。

2 参考文献
[1]柯召文集编委会.柯召文集[M].四川: 四川大学出版社,2000:96-108
[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].(第三版).北京: 高等教育出版
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[5]吴耀强.多元函数极值充分性条件之研究[J].广西教育学院学报.2003(5):34-36
[6]LICHEN.Singular linear quadratic performance with the worst disturbance rejection for descriptor systems[J].控制论与应用.2006(3):16-19
[7]Jing-hongLiu Qi-dingZhu.UNIFORM SUPERAPPROXIMATION OF THE DERIVATIVE OF TETRAHEDRAL QUADRATIC FINITE ELEMENT APPROXIMATION [J].计算数学.2005(1):19-21

致谢

本文的顺利完稿与来自各方面的关心和帮助是密不可分的。首先要由衷的感谢我的指导教师李乃华教授。她在此期间给予我的帮助和指导：从筛选题目、拟定框架、资料收集，

直至行文完稿，在每一步每一阶段都得到了她的悉心指导和无私帮助，在此表示深深地感谢。
在资料的收集过程中也离不开其它一直支持和鼓励我的老师和同学们。正是他们的帮助使我的论文写作过程进行的更加顺利并使我的论文更加完善。在此我要对他们由衷的说声谢谢。
此外，本文还借鉴和引用了一些专家的观点和理论，这些对我的论文写作很有启发，在此一并表示感谢。
再次对我的导师和帮助我的同学表示感谢。我的成果离不开他们的无私帮助。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）