立体几何中的探索性问题.doc

立体几何中的探索性问题
一、探索平行关系
1．[2016·枣强中学模拟] 如图所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)

答案：M位于线段FH上(答案不唯一)　[解析] 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，故只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，且MN∥平面B1BDD1.

2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

解：(1)如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.(2分)
又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角．(4分)
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3.
于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，(5分)
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(6分)

(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝
BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
因此D1C∥A1B.
又E，G分别为D1D，CD的中点，
所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG⊂平面A1BE.
(8分)
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，
所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，
因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，
(10分)
而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，
故B1F∥平面A1BE.(12分)

3．如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．
(1)求三棱锥A­PDE的体积；
(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.
又∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD.
∵PD∩CD＝D，
∴AD⊥平面PCD，
∴AD是三棱锥A­PDE的高．
∵E为PC的中点，且PD＝DC＝4，
∴S△PDE＝S△PDC＝×＝4.
又AD＝2，
∴VA－PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.

(2)取AC中点M，连接EM，DM，∵E为PC的中点，M是AC的中点，∴EM∥PA.
又∵EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，
∴PA∥平面EDM.
∴AM＝AC＝.
即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为.
4.如图所示，在三棱锥P ­ ABC中，点D，E分别为PB，BC的中点．在线段AC上是否存在点F，使得AD∥平面PEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：假设在AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，
连接DC交PE于G，连接FG，如图所示．

∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，
∴AD∥FG.
又∵点D，E分别为PB，BC的中点，∴G为△PBC的重心，∴＝＝.故在线段AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，且＝.
5．[2016·北京卷] 如图，在四棱锥P ­ ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC.
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．

解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：
取PB的中点F，连接EF，CE，CF.

因为E为AB的中点，
所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
6．[2016·四川卷] 如图，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

解：(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥BD.
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.
7. [2016·阳泉模拟] 如图7­41­10，在四棱锥P­ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.
(1)求证：AC⊥PD.
(2)在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，
∵PD⊂平面PCD，∴AC⊥PD.

(2)在线段PA上存在点E，使BE∥平面PCD，且＝.下面给出证明：
∵AD＝3，BC＝1，
∴在△PAD中，分别取PA，PD靠近点P的三等分点E，F，连接EF，BE，CF.
∵＝＝，∴EF∥AD，且EF＝AD＝1.
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC＝EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BE∥CF，又∵BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，
∴BE∥平面PCD.

8．(10分)[2016·河南中原名校联考] 如图所示，在四棱锥S ­ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△SAD是等边三角形，且SD＝2，BD＝2，AB＝2CD＝4.
(1)证明：平面SBD⊥平面SAD.
(2)若E是SC上的一点，当E点位于线段SC上什么位置时，SA∥平面EBD？请证明你的结论．
(3)求四棱锥S­ABCD的体积．

解：(1)证明：∵△SAD是等边三角形，
∴AD＝SD＝2，又BD＝2，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD，
又∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD.
∴BD⊥平面SAD.
又BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD.
(2)当E为SC的三等分点，即ES＝2CE时，结论成立．
证明如下：连接AC交BD于点H，连接EH.
∵CD∥AB，CD＝AB，
∴＝＝，∴HE∥SA.

又SA⊄平面EBD，HE⊂平面EBD，
∴SA∥平面EBD.
(3)过S作SO⊥AD，交AD于点O.
∵△SAD为等边三角形，
∴O为AD的中点，∴SO＝.易证得SO⊥平面ABCD，
∴V四棱锥S ­ABCD＝S梯形ABCD·SO.
∵S梯形ABCD＝×(2＋4)×＝3，
∴V四棱锥S ­ ABCD＝3.

二、探索垂直关系
1．如图所示，在三棱锥P ­ ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是(　　)

A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形
B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形
D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形
答案：B　[解析] 已知PA⊥底面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.
当AE⊥PB时，又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，A正确．
当EF∥平面ABC时，又EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，则EF∥BC，故EF⊥平面PAB，则AE⊥EF，故C正确．
当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，PC∩BC＝C，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，故D正确．用排除法可知选B.

2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案：a或2a　[解析] 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．当CF⊥DF时，设AF＝x，则A1F＝3a－x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.

3．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；
②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．

答案：①②③　[解析] 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．

4.如图所示，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点.
(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．

解析：(1)证明：∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB.
∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
(2)当＝时，DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABC，
∴D1D⊥AC.
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AC⊥DF.
∵F，M分别是BD1，CC1的中点，
∴FM∥AC.
∴DF⊥FM.
∵D1D＝AD，
∴D1D＝BD.
∴矩形D1DBB1为正方形．
∵F为BD1的中点，
∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1＝F，
∴DF⊥平面D1MB.
5.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)　 (2)
(1)求证：DE∥平面A1CB.
(2)求证：A1F⊥BE.
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.(2分)
又∵DE⊄平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.(4分)
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD.
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC，(6分)
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，
∴A1F⊥BE.(9分)

(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP.
又DP∩DE＝D，
∴A1C⊥平面DEP.(12分)

从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.(14分)
6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．

解析：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B，
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，
∴AB1⊥平面A1BF.
又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.

(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG＝∠DAE.
∴AE⊥BG.
又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.
(3)存在．取CC1中点P，即为所求．
连接EP，AP，C1D，
∵EP∥C1D，C1D∥AB1，
∴EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
∴BF⊥平面AEP.

7．如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图(2)所示．
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.
(2)求证：BD⊥A1F.
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．

解：(1)证明：在题图(1)中，因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM是△ACF的中位线，所以DM∥EF，
则在题图(2)中，DM∥EF，又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，
所以DM∥平面A1EF.
(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E，
所以BD⊥平面A1EF.
又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.
(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：
因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，
所以EF⊥平面A1BD.
因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，
又EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，
因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，
所以A1B⊥平面BCD，
所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，
所以假设不成立，所以直线A1B与直线CD不能垂直．