统计与概率复习课件资料.doc

I、考纲
1．统计与统计案例
　（1）随机抽样
　　① 理解随机抽样的必要性和重要性。
　　② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
　（2）总体估计
　　① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解它们各自的特点。
　　② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。
　　③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
　　④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。
　　⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
　（3）变量的相关性
　　① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。
　　② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆线性回归方程系数公式）。
（4）统计案例
　　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。
　　①独立性检验
　　了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
　　②假设检验
　　了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用。
　　③ 回归分析
　　了解回归的基本思想、方法及其简单应用。
2．概率
（1）事件与概率
　　① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
　　② 了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型
　　① 理解古典概型及其概率计算公式。
　　② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型
　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
　　②了解几何概型的意义。

II、基础知识和题型
第1讲　抽样方法与总体分布的估计
一、选择题
1．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是(　　)．
A．总体 B．个体是每一个零件
C．总体的一个样本 D．样本容量
解析　200个零件的长度是总体的一个样本．
答案　C
2．用随机数表法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是(　　)．
A. B. C. D.
解析　从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是＝.
答案　C
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)．
A. B. C. D．2
解析　由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案　D
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 (　　)．

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析　由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
答案　C
5．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(　　)．
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
解析　利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.
答案　D
6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)．
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4 C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
解析　平均数增加，方差不变．
答案　D
二、填空题
7．体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，采用的抽样方法是________．
解析　系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步．该抽样符合系统抽样的特点．
答案　系统抽样
8．某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．

解析　低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1 000－200＝800.
答案　800
9．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________．
解析　由＝，得n＝33(人)．
答案　33
10．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是
__________________________________________________________________．

解析　成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为＝，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×＝54.
答案　54
三、解答题
11．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解　总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
12．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解　(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
第2讲 变量间的相关关系与统计案例
1、变量间的相关关系
(1)．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2、两个变量的线性相关
(1)．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)．回归方程为＝x＋.
(3)．通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(4)．相关系数r＝
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
（5）. 回归分析模型拟合效果的判断
，越接近于1，表示回归效果越好.
3、独立性检验
(1)．2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：

y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d

(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
(2)．用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若K2值较大，就拒绝H0，即拒绝事件A与B无关.
习题
一、选择题
1．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和身体健康情况；
④圆的半径与面积；
⑤汽车的重量和每千米耗油量．
其中两个变量成正相关的是(　　)
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
解析 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系，故选C.
答案 C
2．已知x，y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝(　　)．
A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80
解析　依题意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线＝0.95x＋a必过样本中心点(，)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，选B.
答案　B
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(　　)．
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
解析　统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．
答案　D
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (　　)．
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析　＝＝3.5(万元)，
＝＝42(万元)，
∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
∴回归方程为＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6(万元)时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
答案　B
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为 (　　)．
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析　由题意得＝＝176(cm)，
＝＝176(cm)，由于(，)一定满足线性回归方程，经验证知选C.
答案　C
6．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝bx＋a，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝bx＋a”是“x0＝，y0＝”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　x0，y0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程＝bx＋a必过样本中心(，)，因此(，)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(，)外，可能还有其他样本点．
答案　B
二、填空题
7．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”).
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
解析　因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：

通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．
答案　正
8．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为________ cm.
解析　根据线性回归方程＝1.197x－3.660，将x＝50代入得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.
答案　56.19
9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%.
解析 K2≈3.918>3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆，正确序号为①.
答案 ①
10．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
解析　由题意父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表：
x
173
170
176
y
170
176
182
则＝＝173，＝＝176，
(xi－)(yi－)＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，
(xi－)2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.∴＝＝1.∴＝－ ＝176－173＝3.
∴线性回归直线方程＝x＋＝x＋3.
∴可估计孙子身高为182＋3＝185(cm)．
答案　185
三、解答题
11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：

认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩游戏
18
9

不喜欢玩游戏
8
15

合计

(1)请完善上表中所缺的有关数据；
(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝
解　(1)

认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩游戏
18
9
27
不喜欢玩游戏
8
15
23
合计
26
24
50
(2)将表中的数据代入公式K2＝得到K2的观测值k＝≈5.059>5.024，
查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．
第3讲 随机事件的概率
1、事件: 必然事件,不可能事件,随机事件.
2、概率的几个基本性质
(1)．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)．必然事件的概率P(E)＝1.
(3)．不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)．对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
（一）随机事件的频率与概率
1．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率

(1)求次品出现的频率．
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)．

（二）互斥事件与对立事件的概率
1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
【总结】：要判断两事件是互斥而不对立的事件：只需判断交事件为不可能事件，和事件为必然事件。

2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？练习
1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为.
答案　B
2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　)
A. B. C. D.
解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得
加工出来的零件的次品率.
答案　C
3．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为.
答案　C
4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　法一　P(B|A)＝＝＝.
法二　A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝.
答案　A
5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是(　　)．
A. B. C. D.
解析　采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案　B
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 (　　)．
A. B. C. D.
解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.
答案　D
7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案　A与B、A与C、B与C、B与D　B与D
三、解答题
8．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解　记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.
(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．
A＝A3A4＋B3B4.
由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
9．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
解　(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
10．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解　(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一　由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二　因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
第4讲 古典概型
1、基本事件的特点
（1）．任何两个基本事件是互斥的．
（2）．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2、古典概型的两个特点
（1）．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
（2）．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．
[提示]　确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．
3、古典概型的概率公式:P(A)＝.
（一）题型
一、选择题
1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P＝，所求的概率为1－＝.
答案 D
2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 (　　)．
A. B. C. D.
解析　基本事件有10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.
答案　C
3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 (　　)．
A. B. C. D.
解析　(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝＝.
答案　A
4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于.
答案 C
5．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为.
答案　C
二、填空题
6．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
解析　由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为＝.
答案　
7. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，--3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
解析 组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.
答案
三、解答题
8．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解　(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
12．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．
(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．
解析 设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．
(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，
∴P(A)＝＝，
故所选2人中恰有一名男生的概率为.
(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，
∴P(B)＝，
故所选2人中至少有一名女生的概率为.
第5讲 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
一、选择题
1、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
A. B.
C. D.
解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529
带形区域的面积为：625－529＝96
∴　 P（A）＝　
答案　A
2.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是(　　)

A. B. C. D. 　
解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是
答案　B
3. 如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由几何概型的概率公式，得＝，所以阴影部分面积约为，故选C.
答案　C
4. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.
答案　B
二、填空题
5．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为________．
解析　根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝＝.
答案　
6．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析　设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
答案　
7．已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．
解析　三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝＝.
答案　
三、解答题
8．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
思路分析　由题意画出图象可求面积之比．
解　如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内
部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域
为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P1＝＝.
9．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随