分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理带答案).doc

分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测：15位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成所以共有2222232(种)2有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是_12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4312(种)选法3甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_种答案24解析分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有43224(种)4用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4(个)四位数“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C6(个)四位数“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4(个)四位数综上所述，共可组成14个这样的四位数.题型一分类加法计数原理的应用例1一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人，女生30人；三班有学生55人，男生35人，女生20人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪用分类加法计数原理解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有506055165(种)选法(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法综上知，共有30302080(种)选法思维升华分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？(2)方程1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么这样的椭圆有多少个？解(1)分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理，满足条件的两位数有1234567836(个)(2)以m的值为标准分类，分为五类第一类：m1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择；第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5时，使nm，n有2种选择共有6543220(种)方法，即有20个符合题意的椭圆题型二分步乘法计数原理的应用例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63216(种)思维升华利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则：(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180(个)不同的二次函数(2)yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672(个)图象开口向上的二次函数题型三两个原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种)方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)方法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A2AA420(种)思维升华用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法A组专项基础训练一、选择题1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4 C6 D8解析按从小到大顺序有124,139,248,469共4个，同理按从大到小顺序也有4个，故这样的等比数列的个数为8个2. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的 两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A24种 B30种 C36种 D48种解析共有432248(种)，故选D.3集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14 C15 D21解析当x2时，xy，点的个数为177(个)；当x2时，xy，点的个数为717(个)，则共有14个点，故选B.4(2013山东)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279解析0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)有重复数字的三位数有900648252(个)5(2013四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20解析由于lg alg blg(a0，b0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A20种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A220218，选C.二、填空题6一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有_种不同的选法答案20解析先选男队员，有5种选法，再选女队员有4种选法，由分步乘法计数原理知共有5420(种)不同的选法7某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)答案7 200解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_答案6解析分两类：第一类，第一象限内的点，有224(个)；第二类，第二象限内的点，有122(个)共426(个)三、解答题9某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有213(种)，此时共有6318(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有122(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18220(种)选法10在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论(1)若0个相同，则信息为1001.共1个(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个(3)若2个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为0101；若位置一与三相同，则信息为0011；若位置一与四相同，则信息为0000；若位置二与三相同，则信息为1111；若位置二与四相同，则信息为1100；若位置三与四相同，则信息为1010.共6个故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为14611.方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C4(个)；若2个相同，共有C6(个)故共有14611(个)复习与回顾一、 立体几何：1.(2013广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A.4B. C.D.6解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V(22 11)2.2.(2013课标全国)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A.且lB.且lC.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l解析假设，由m平面，n平面，则mn，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么与相交，设交线为l1，则l1m，l1n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1l.3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小.思维启迪利用PA平面ABCD建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一(1)证明因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，所以PCBD.如图，设ACBDF，连接EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90.由此知PCEF.因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足.因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二(1)证明以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则C(2，0,0)，P(0,0,2)，E，设D(，b,0)，其中b0，则B(，b,0).于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BED.(2)解(0,0,2)，(，b,0).设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0).设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为二面角APBC为90，所以面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，所以cosn，所以n，60.因为PD与平面PBC所成角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.二、圆锥曲线：1双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为_，渐近线方程为_答案1y2x解析由题意设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则2a4，即a2，e3，则c6，b4，所以双曲线的标准方程为1，渐近线方程为yx2x.2、若点(3,1)是抛物线y22px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，2.又y1y22，p2.3、已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.解析由题意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根据勾股定理得22(2c)2，所以离心率e.4、已知双曲线1 (a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为()A.yxB.yxC.yxD.yx解析设点P(x0，y0).依题意得，焦点F(2,0)，于是有x03，y24；由此解得a21，b23，因此该双曲线的渐近线方程是yxx.5、.已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_.答案2解析由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|2r4，r2，且圆心到x轴的距离是r1，所以在x轴上所截得的弦长为222，即弦长的最小值是2.6、在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(1,0)且与曲线C交于A，B两点(1)求曲线C的轨迹方程；(2)是否存在AOB面积的最大值，若存在，求出AOB的面积；若不存在，说明理由解(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C的方程为y21.(2)存在AOB面积的最大值因为直线l过点E(1,0)，可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)，则整理得(m24)y22my30.由(2m)212(m24)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)解得y1，y2.则|y2y1|.因为SAOB|OE|y1y2|.设g(t)t，t，t.则g(t)在区间，)上为增函数所以g(t).所以SAOB，当且仅当m0时取等号，即(SAOB)max.所以存在AOB面积的最大值，SAOB的最大值为.