研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三.doc

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习题三 1．证明下列问题：（1）若矩阵序列收敛于，则收敛于，收敛于；（2）若方阵级数收敛，则. 证明：（1）设矩阵则设则，若矩阵序列收敛于，即对任意的，有，则，，，故收敛于，收敛于. (2)设方阵级数的部分和序列为，其中. 若收敛，设其和为，即，或，则 . 而级数的部分和即为，故级数收敛，且其和为，即 . 2.已知方阵序列收敛于，且，都存在，证明：（1）；（2）. 证明：设矩阵若矩阵序列收敛于，即对任意的，有 . (1) 由于对任意的，有，故＝，而， , 故 . (2) 因为，. 其中，分别为矩阵与的代数余子式. 与（1）类似可证明对任意的，有，结合，有＝，即 . 3.设函数矩阵，其中，计算. 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1）；（2）；（3）；（4）（5）＝ . 4．设函数矩阵，计算和. 解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1）＝；（2）＝＝. 5.设为阶常数对称矩阵，，证明：（1）；（2）. 证明：（1），（2）. 6.证明关于迹的下列公式：（1）；（2）；（3）. 其中. 证明：（1）因为，而，故（2）因为，则，而，故 . (3) 因为故则故 . 7．证明：，其中为向量函数. 证明：设，则，故它是的数量函数，设，有 . 8.在中将向量表示成平面直角坐标系中的点，分别画出下列不等式决定的向量全体所对应的几何图形： (1) (2) (3) . 解：根据，作图如下： 9.证明对任何，总有 . 证明：因为故 10.证明：对任意的，有 . 证明：设，则由于，故，即 . 11.设是正实数，证明：对任意，是中的向量范数. 证明：因为（1）且；（2）；（3）对于，，则故 . 因此是中的向量范数. 12.证明：是矩阵的范数，并且与向量的1－范数是相容的. 证明:因为 (1) ,且; (2) ; (3) (4)设,则，故因此是与向量的1－范数相容的矩阵范数. 13.设，且可逆，证明： . 证明:由于 ,, 则 , 故 . 14.设，且证明：可逆，而且有（1）；（2）. 证明:(1)由于 , 故 , 即 . (2)因为 , 两边右乘,可得 , 左乘,整理得 , 则，即 . 15.设证明：（1），特别地; （2）当时，；（3）；（4）当时，. 证明:(1) . 又因为 , 故 . (2)当时,二项式公式成立，故同理，有 , 故 . (3)由于幂级数对给定的矩阵,以及任意的都是绝对收敛的,且对任意的都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则 , 同理，有故 . (4) 因为故 . 又当时， , 则同理，可得 16.求下列三类矩阵的矩阵函数（1）当为幂等矩阵()时；（2）当为对合矩阵()时；（3）当为幂零矩阵()时. 解:(1) ,设矩阵的秩为,则的特征值为1或0, 可对角化为 , 则， (2) 当时，矩阵也可对角化,的特征值为1或, 可对角化为 , 其中1有个. 则 (3)当时, 的特征值均为0,则存在可逆矩阵,使得 , 其中, 又,则 , 于是故Jordan块的阶数最多为2,不妨设 ,, 即则 ,; ,. 故 0, , 则 , , 因此 , , 所以 , , . 17.若矩阵的特征值的实部全为负，则 . 证明: 设的特征值为,则存在可逆矩阵,使得 , 其中, 则 , 其中又 , 且,故，因此,则. 18．计算和，其中：（1）；（2）；（3）. 解:(1)设,则 . 由于 ,, 且 ,, 则 ,. (2)该矩阵的特征多项式为最小多项式为. 19.计算下列矩阵函数：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求及 20．证明: ，，其中为任意方阵. 证明:(1) 因为 ,, 故 , , 则 . (2)因为矩阵的特征值均为,故存在可逆矩阵,使得则 21.若为反实对称（反Hermite）矩阵，则为实正交（酉）矩阵. 证明: 因为 ,又. 故 . 当为反实对称,即时, , 故为实正交矩阵; 当为反Hermite矩阵,即时, , 故为酉矩阵. 22.若为Hermite矩阵，则是酉矩阵，并说明当时此结论的意义. 证明:因为,故 , 则 , 故是酉矩阵. 当为一阶Hermite矩阵时, 为一实数,设,则上述命题为 23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对的限制：（1），（2），（3）解：(1) , ; (2) ,; (3) ,. 24．设，证明：（1），（2）. 证明:(1)设,其中为若当标准形，则 , 其中, 则 . (2)设，则，因为，对上式两边取极限，得 . 25．设，且可逆，若是的任一特征值，则 . 证明:因为 , 故. 又对任意的,有 , 所以 . 设是矩阵的特征值对应的特征向量,即,则 , 故有 . 因此 .

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