十字相乘法(多项式因式分解--教案).doc

十字相乘法 教案
教学目标：
1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。
2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。
3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。

教学设计思想：
本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。
在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。

教学过程：
一、 复习引入
1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤
例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。　
x －１

x －２
解：

x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)
像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？
答：不是，（反例：x2 +３x－2）。
提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？
请同学总结：（板书）x2＋px＋q
当q＝ab，p ＝a＋b时，
　　　　　　 x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）
再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？
答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
　　如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。（根据情况，可选择数学符号语言表述）

2．计算：（口答）
⑴ ；
⑵ 　(x＋1) 2 －２(x－1) (x＋1)＋(x－1) 2；
体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。

　　二、 引导问题设计，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。
1.复习中已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式：
例１. ⑴　y6－3y3+2；
　 ⑵ (a+b) 2－3(a+b)+2；
⑴中设“y3 ”为 “x”, ⑵中设“(a+b)”为 “x”;这两道题可化归为例１进行分解。
　　请同学体会，引入辅助元“x”，培养整体代换和化归思想方法。可以帮助我们利用十字相乘法，灵活进行较复杂多项式的分解因式）
　　引导同学对问题中 ⑵ (a+b) 2 －3 (a+b)+2；进行变式设计
（分解因式：⑴(a+b -3) (a+b)+2；）
理解：（*）式中“x”只能是单独的字母吗？
答：单项式，多项式，整式(单项，多项式的统称)，
代数式（如不是整式，虽不是因式分解，但仍可以进行代数式的恒等变形）
[试一试，仿例题，将“x”可能的情况分类，然后设计题目，训练整体代换和化归思想方法的运用。
*表扬有创意的设计，请同学解题，分析，进一步理解运用十字相乘法分解因式的注意点。]
2.提问：（*）式中“末项”只能是常数吗？
答：单项式，多项式，
例2．把下列两式分解因式。
⑴ x2＋6xy＋8y2；
⑵(a+1) 2 －3 (a+1)b + 2b2；
分析：⑴把x2＋6xy＋8y2看成是x的二次三项式，这里常数项是8y2，
　　　一次项系数是6y，把8y2分解成2y与4y的积，2y＋4y＝6y，
　　　正好等于一次项系数。
　⑴解：　

x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)　

⑵解：(a+1) 2 －3 (a+1)b + 2b2；
=(a-b+1) (a-2b+1)

例3：把(x2-3x＋2) (x2-3x-4)－72分解因式；
解法1：设“(x2-3x＋2)”为 “y”,
解法2：设“(x2-3x-4)”为 “y”,
解法3：“(x2-3x)”为 “y”。
略
变式：⑴(x-1 )(x+1) (x－2) (x－4)-72；
⑵(x2-5x＋4) (x2-x-2)－72
　3.课堂练习：练习题(题目分组，小组互批)
(分析时，引导同学总结多项式分解因式的注意点，如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等）
　　　　　4.请你设计一道形式如例1的因式分解题。进行变式设计，体会字母可以代替任意的数和式。(使学生掌握通过代换方法，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式。)
（同学合作，交流）
。。。。。。

5.课堂小结：（1.知识；2.数学思想方法；3.其他）略

6.作业：（1.P 294：1;P 310:24，25。2. 5中的作业)

（7.问：“首项系数不是1的二次三项式ax2＋bx＋c能利用十字相乘法进行因式分解吗？
分析依据：因式分解是与整式乘法相反方向的恒等变形
请同学们思考，探求形如ax2＋bx＋c的二次三项式进行因式分解的一般步骤，并设计一组可以转化为ax2＋bx＋c型的多项式的分解因式题目（给出解答），巩固分类讨论、整体代换和化归思想方法。（回家作业）
8．因式分解有广泛的应用，请尝试改变题型设计，
1.求值题
例：⑴已知x2＋2x=3，求代数式x2＋6x的值；
⑵已知（x2＋y2 ）（x2＋y2 -1）-6=0，求代数式x2＋y2的值；
⑶已知3x2＋xy-2y2=0，求代数式x2- y2 +x-y2的值；
2.其他
引导同学问题设计。（回家作业） ）

由整式乘法得到

　　　　　　　　 (a2x＋c1)(a2x＋c2)

　　　　　　　　＝a1a2x2＋a1c2x＋a2c1x＋c1c2

　　　　　　　　＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

　　　　　　　　反过来就得到

　　　　　　　　　　a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

　　　　　　　　　＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)

　　　　　　　　我们发现二次项系数a分解成a1、a2，常数项c分解成c1、c2，

　　　　　　并且把a1、a2、c1、c2排成如下：

　　　　　　　　这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正

　　　　　　好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成

　　　　　　(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1、c1位于图的上一列，a2、c2位于

　　　　　　下一列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　`必须注意，分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以

　　　　　　往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘

　　　　　　法分解。
例如：把 6x2－7x－5分解因式。　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)　　

例3．把多项式 6y2－13y＋6 分解因式

仿照课本p292,例8，请你设计一组题，体会字母可以代替任意的数和式。掌握通过代换方法，把可以转化为a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2型的多项式分解因式。

小结：