圆幂定理专题教育课件市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

圆幂定理圆幂定理第1页PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆两条切从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，线，它们切线长相等，圆心和这一点连线平分圆心和这一点连线平分两条切线夹角。两条切线夹角。切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证实：切线长定理为证实线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新方法供了新方法第2页。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在处理相关反思：在处理相关圆切线长问题时，圆切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。第3页1.1.切线长定理切线长定理 从圆从圆外一点引圆两条切线，外一点引圆两条切线，它们切线长相等它们切线长相等，圆圆心和这一点连线心和这一点连线平分平分两条切线夹角，而且两条切线夹角，而且垂直平分垂直平分切点弦。切点弦。小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证实切线长定理为证实线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.2.圆外切四边形两组对边和相等圆外切四边形两组对边和相等第4页 例例.如图所表示如图所表示PAPA、PBPB分别切分别切圆圆O O于于A A、B B，并与圆并与圆O O切线分别相交于切线分别相交于C C、D D，已知已知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD周长周长(2)(2)假如假如P=70,P=70,求求CODCOD度数度数C OPBDAE第5页下面我们首先沿用下面我们首先沿用从特殊到普通思绪从特殊到普通思绪,学习与圆相关百学习与圆相关百分比线段几个定理，希望大家做好统计分比线段几个定理，希望大家做好统计.探究探究1:如图如图1,AB是是 O直径直径,CDAB,AB与与CD相交于相交于P,线线段段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？之间有什么关系？OBDACP图1证实证实:连接连接AD、BC.则由圆周角定理推论可得则由圆周角定理推论可得:A C.RtAPDRtCPB.第6页探究探究2:将将图中图中AB向上（或向下）平移向上（或向下）平移,使使AB不再是直不再是直径（如图），结论（）还成立吗？径（如图），结论（）还成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证实证实:连接连接AD、BC.则由圆周角定理推论可得则由圆周角定理推论可得:A C.RtAPDRtCPB.第7页OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证实证实:连接连接AD、BC.则由圆周角定理推论可得则由圆周角定理推论可得:A C.APDCPB.探究探究3:上面讨论了上面讨论了CDAB情形深入地情形深入地,假如假如CD 与AB不垂直，不垂直，如图如图,AB、CD是圆内任意两条相交弦是圆内任意两条相交弦,结论（）还成立吗？结论（）还成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)第8页相交弦定理：相交弦定理：圆内两条相交弦圆内两条相交弦,被交点分成两条线段长积被交点分成两条线段长积相等相等.OBDACP几何语言：几何语言：AB、CD是圆内是圆内任意两条相交弦任意两条相交弦,交点为交点为P,PAPB=PCPD.上面经过考查相交弦交角改变中相上面经过考查相交弦交角改变中相关线段关系，得出相交弦定理关线段关系，得出相交弦定理.下下面从新角度考查与圆相关百分比线面从新角度考查与圆相关百分比线段段第9页探究探究4:使圆两条弦交点从使圆两条弦交点从圆内圆内（图）运动到（图）运动到圆上圆上（图），再到（图），再到圆外圆外（图），（图），结论结论(1)还成立吗？还成立吗？OBDACP图图3OBA(C,P)D图图4OBDACP图图5当点当点P在圆上在圆上,PA=PC=0,所以所以PAPB=PCPD=0仍成立仍成立.当点当点P在圆外在圆外,连接连接AD、BC,轻易证实轻易证实:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PAPB=PCPD仍成立仍成立.第10页如图如图,已知点已知点P为为 O外一点外一点,割线割线PBA、PDC分别交分别交 O于于A、B和和C、D.求证求证:PAPB=PCPD.证法证法2：连接：连接AC、BD，四边形四边形ABDC为为 O 内接内接四边形四边形,PDB=A，又又 P=P,PBD PCA.PD：PA=PB：PC.PAPB=PCPD.割线定理：割线定理：从圆外一点引圆两条割线，这一点到每一条割从圆外一点引圆两条割线，这一点到每一条割线与圆交点两条线段长乘积相等线与圆交点两条线段长乘积相等.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PAB,PCD是是 O 割线割线,PAPB=PCPD.OCPADB第11页点点P从圆内移动到圆外从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACP图图3PAPB=PCPD图图5OCPADBOA(B)PCD使割线使割线PA绕绕P点点运动到切线位置，运动到切线位置，是否还有是否还有PAPB=PCPD？证实证实:连接连接AC、AD,一样能够证实一样能够证实 PADPCA,所以所以PA:PC=PD:PA,即即PA2=PCPD仍成立仍成立.第12页如图如图,已知点已知点P为为 O外一点，外一点，PA切切 O于点于点A，割线，割线PCD 交交 O于于C、D.求证：求证：PA2=PCPD.证实：连接证实：连接AC、AD，PA切切 O于点于点A,D=PAC.又又 P=P,PAC PDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PCPD.切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆切线和条割线从圆外一点引圆切线和条割线,切线长是切线长是这点到割线与圆交点两条线段长百分比中项这点到割线与圆交点两条线段长百分比中项.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PA是是 O 切线切线,PCD是是 O 割线割线,PA=PCPD.ODPCA探究探究5:使圆割线使圆割线PD绕点绕点P运动到切线位置，能够运动到切线位置，能够得出什么得出什么结论？结论？第13页点点P P从圆内移从圆内移动到圆外动到圆外.相交弦定理相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP图图3割线定理割线定理PAPB=PCPD图图5OCPADB使割线使割线PAPA绕绕P P点运动到切点运动到切线位置线位置.OA(B)PCD切割线定理切割线定理PA2=PCPD使割线使割线PCPC绕绕P P点也运动到点也运动到切线位置切线位置.切线长定理切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)第14页思索：从这几个定理结论里大家能发觉什么共同点？思索：从这几个定理结论里大家能发觉什么共同点？1.结论都为乘积式结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发几条线段都是从同一点出发;3.都是经过三角形相同来证实（都隐含着三角形相同）都是经过三角形相同来证实（都隐含着三角形相同）.PC切切O于点于点C=PAPB=PC切割线定理切割线定理OBPCA割线割线PCD、PAB交交O于点于点C、D和和A、B=PAPB=PCPD割线定理割线定理OBCADPAB交交CD于点于点P=PAPB=PCPD相交弦定理相交弦定理OBPCADPA、PC分别切分别切O于点于点A、C=PA=PC,APO=CPO切线长定理切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度能够得到：另外，从全等角度能够得到：第15页2.联络直角三角形中射影定理，你还能想到什么？联络直角三角形中射影定理，你还能想到什么？ADCBCO说明了说明了“射影定理射影定理”是是“相交弦定理相交弦定理”和和“切割线定理切割线定理”特特例！例！BADC第16页例例1 如图如图,圆内两条弦圆内两条弦AB、CD相交于圆内一点相交于圆内一点P,已已知知PA=PB=4,PC=PD/4.求求CD长长.OBPCAD解：设解：设CD=x,则则PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得解得x=10.CD=10.第17页练习练习1.如图如图,割线割线PAB,PCD分别交圆于分别交圆于A,B和和C,D.(1)已知已知PA=5,PB=8,PC=4,则则PD=,PT=(2)已知已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径则半径R=103ODPATBCPAC PDB BED AEC PAD PCB OCPADBE第18页练习练习2.如图如图,A是是 O上一点上一点,过过A切线交直径切线交直径CB延长线于点延长线于点P,ADBC，D为垂足为垂足.求证：求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证实分析：要证实PB：PD=PO：PC,很很显著显著PB、PD、PO、PC在同一直线在同一直线上无法直接用相同证实，上无法直接用相同证实，且在圆里百且在圆里百分比线段通常化为乘积式来证实分比线段通常化为乘积式来证实,所所以能够经过证实以能够经过证实PB PC=PD PO,而而由由切割线定理有切割线定理有PA2=PB PC,只需再只需再证证PA2=PD PO，而，而PA为切线为切线,所以所以连接连接OA,由射影定理由射影定理 得到得到.第19页课堂小结课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，它们统称圆幂定理。理，它们统称圆幂定理。2、要注意圆中百分比线段结论特点及实际中用。、要注意圆中百分比线段结论特点及实际中用。3、圆中百分比线段在实际应用中也非常主要，注意与、圆中百分比线段在实际应用中也非常主要，注意与 代数、几何等知识联络及应用代数、几何等知识联络及应用第20页