人教版必修二6.2.4数学省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件.pptx

6.2平面向量运算6.2.4向量数量积第第1 1页页1.1.向量夹角向量夹角定义：已知两个定义：已知两个非零向量非零向量a和和b，O O是平面上任意一是平面上任意一点，点，作作 =a，=b，则，则AOB=(0)AOB=(0)叫做叫做向量向量a与与b夹角夹角(如图所表示如图所表示).).第第2 2页页第第3 3页页(1)(1)范围：向量范围：向量a与与b夹角范围是夹角范围是0.0.(2)(2)当当=0=0时，时，a与与b同向；当同向；当=时，时，a与与b反向反向.(3)(3)假如假如a与与b夹角是夹角是 我们说我们说a与与b垂直，记作垂直，记作ab.第第4 4页页【思索思索】(1)(1)等边等边ABCABC中，向量中，向量 所成角是所成角是6060吗？吗？提醒：提醒：向量向量 所成角是所成角是120.120.第第5 5页页(2)(2)向量夹角范围与异面直线所成角范围相同向量夹角范围与异面直线所成角范围相同吗？吗？提醒：提醒：向量夹角和直线夹角范围是不一样，它们向量夹角和直线夹角范围是不一样，它们分别是分别是00，和和 第第6 6页页2.2.向量数量积定义向量数量积定义已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们夹角为，它们夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos|cos 叫做叫做a a与与b b数量积数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab=|=|a|b|cos|cos.要求：零向量与任一向量数量积为要求：零向量与任一向量数量积为0.0.第第7 7页页【思索思索】(1)(1)把把“ab”写成写成“ab”或或“ab”能够吗，为何？能够吗，为何？提醒：提醒：不能够，数量积是两个向量之间乘法，在书写不能够，数量积是两个向量之间乘法，在书写时，一定要严格，必须写成时，一定要严格，必须写成“ab”形式形式.第第8 8页页(2)(2)向量数量积运算结果仍是向量吗？向量数量积运算结果仍是向量吗？提醒：提醒：向量数量积运算结果不是向量，是一个实数向量数量积运算结果不是向量，是一个实数.第第9 9页页3.3.投影向量概念投影向量概念如图所表示：如图所表示：=a，=b，过，过B B作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则 叫做叫做b在向量在向量a上投影向量，得上投影向量，得|=|=|b|cos|.|cos|.第第1010页页第第1111页页4.4.向量数量积性质向量数量积性质设设a与与b都是非零向量，都是非零向量，为为a与与b夹角夹角.(1)(1)垂直条件：垂直条件：abab=0.=0.(2)(2)当当a与与b同向时，同向时，ab=|=|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab=-|=-|a|b|.|.第第1212页页(3)(3)模长公式：模长公式：aa=|=|a|2 2或或|a|=|=(4)(4)夹角公式：夹角公式：cos=cos=_._.(5)|(5)|ab|a|b|.|.第第1313页页【思索思索】(1)(1)对于任意向量对于任意向量a与与b，“abab=0”=0”总成立吗？总成立吗？提醒：提醒：当向量当向量a与与b中存在零向量时，总有中存在零向量时，总有ab=0=0，不过，不过向量向量a与与b不垂直不垂直.第第1414页页(2)(2)当当“cos=”cos=”为负值时，说明向量为负值时，说明向量a与与b夹夹角为钝角，对吗？角为钝角，对吗？提醒：提醒：不对，不对，cos=-1cos=-1时，向量时，向量a与与b夹角为夹角为180.180.第第1515页页5.5.向量数量积运算律向量数量积运算律(1)(1)ab=ba(交换律交换律).).(2)(2)(a)b=(=(ab)=)=a(b)()(结合律结合律).).(3)(3)(a+b)c=ac+bc(分配律分配律).).第第1616页页【思索思索】“若若ab=ac，则，则b=c”成立吗？成立吗？提醒：提醒：不成立不成立.第第1717页页【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(正确打正确打“”“”，错打，错打“”)”)(1)(1)两个向量数量积是向量两个向量数量积是向量.()(2)(2)对于向量对于向量a，b，若，若ab=0=0，则，则a=0=0或或b=0.=0.()(3)(3)(ab)2 2=a2 222ab+b2 2.()第第1818页页提醒：提醒：(1).(1).两个向量数量积没有方向，是实数，不两个向量数量积没有方向，是实数，不是向量是向量.(2).(2).ab=0=0，还可能有，还可能有ab.(3).(3).第第1919页页2.2.在在ABCABC中，中，BC=5BC=5，AC=8AC=8，C=60C=60，则，则 =()A.20A.20B.-20B.-20C.20 C.20 D.-20 D.-20 第第2020页页【解析解析】选选B.=|cos 120=58B.=|cos 120=58 =-20.=-20.第第2121页页3.3.若若|a|=2|=2，|b|=3|=3，a，b夹角夹角为为120120，则，则a(4(4b)值为值为()A.12A.12B.-12B.-12C.12 C.12 D.-12 D.-12 第第2222页页【解析解析】选选B.B.由题意，得由题意，得a(4(4b)=4()=4(ab)=)=4|4|a|b|cos=423cos 120=-12.|cos=423cos 120=-12.第第2323页页类型一向量数量积计算及其几何意义类型一向量数量积计算及其几何意义【典例典例】1.(1.(全国卷全国卷)已知向量已知向量a，b满足满足|a|=|=1 1，ab=-1=-1，则，则a(2(2a-b)=)=()A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.0D.0第第2424页页2.2.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是边长为是边长为2 2菱形，菱形，BAD=60BAD=60，E E，F F分别为分别为BCBC，CDCD中点，则中点，则 =()第第2525页页第第2626页页3.3.已知已知|a|=3|=3，|b|=5|=5，且，且ab=-12=-12，则，则a在在b方向上投影方向上投影为为_，b b在在a a方向上投影为方向上投影为_._.第第2727页页【思维思维引引】1.1.利用向量数量积定义与运算律计算利用向量数量积定义与运算律计算.2.2.先分别用基向量先分别用基向量 表示表示 再利用向量数再利用向量数量积定义与运算律计算量积定义与运算律计算.3.3.向量向量a a在向量在向量b b方向上投影为方向上投影为|a|cos=|a|cos=向量向量b b在向量在向量a a方向上投影为方向上投影为|b|cos=|b|cos=第第2828页页【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为|a|=1|a|=1，a ab=-1b=-1，所以所以a a(2a-b)=2a(2a-b)=2a2 2-a-ab=21-(-1)=3.b=21-(-1)=3.第第2929页页2.2.选选D.D.在菱形在菱形ABCDABCD中，边长为中，边长为2 2，BAD=60BAD=60，所以，所以 =22cos 60=2=22cos 60=2，又因为又因为 所以所以 第第3030页页3.3.设设a a与与b b夹角为夹角为，则有，则有ab=|=|a|b|cos=-12|cos=-12，所以向量所以向量a在向量在向量b方向上投影为方向上投影为|a|cos=cos=向量向量b在向量在向量a方向上投影为方向上投影为|b|cos=-4.cos=-4.第第3131页页答案：答案：-4-4第第3232页页【内化内化悟悟】怎样处理几何图形中向量数量积计算？怎样处理几何图形中向量数量积计算？提醒：提醒：普通选择已知长度与夹角向量作基底，用基底普通选择已知长度与夹角向量作基底，用基底表示要求数量积向量，再计算表示要求数量积向量，再计算.第第3333页页【类题类题通通】求平面向量数量积方法求平面向量数量积方法(1)(1)若已知向量模及其夹角，则直接利用公式若已知向量模及其夹角，则直接利用公式ab=|=|a|b|cos.|cos.求解时要注意灵活使用数量积运算律求解时要注意灵活使用数量积运算律.第第3434页页(2)(2)若所求向量模与夹角未知，应先选取已知模与夹角若所求向量模与夹角未知，应先选取已知模与夹角两个向量，表示出所求向量，再代入运算两个向量，表示出所求向量，再代入运算.第第3535页页【习练习练破破】1.1.已知等腰已知等腰ABCABC底边底边BCBC长为长为4 4，则，则 =_._.第第3636页页【解析解析】如图，过如图，过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D.D.第第3737页页因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BD=BC=2BD=BC=2，于是于是|cos ABC=|=|=4=2.|cos ABC=|=|=4=2.所以所以 =|cosABC=24=8.=|cosABC=24=8.答案：答案：8 8第第3838页页2.2.已知已知|a|=10|=10，|b|=4|=4，a与与b夹角夹角=120.=120.求求：(1)(1)ab.(2)(2)a在在b方向上射影方向上射影.(3)(3)(a-2-2b)()(a+b).).(4)(4)(a-b)2 2.第第3939页页【解析解析】(1)(1)ab=|=|a|b|cos 120=104|cos 120=104 =-20.-20.(2)(2)a在在b方向上射影为方向上射影为|a|cos 120=10|cos 120=10 =-5.=-5.(3)(3)(a-2-2b)(a+b)=)=a2 2+ab-2-2ab-2-2b2 2=a2 2-ab-2-2b2 2=|=|a|2 2-|-|a|b|cos 120-2|cos 120-2|b|2 2=100-104=100-104 -24-242 2=88.=88.第第4040页页(4)(4)(a-b)2 2=a2 2-2-2ab+b2 2=|=|a|2 2-2|-2|a|b|cos 120+|cos 120+|b|2 2=100-2104=100-2104 +4+42 2=100+40+16=156.=100+40+16=156.第第4141页页【加练加练固固】(烟台高一检测烟台高一检测)在在ABCABC中，已知中，已知|=|=|，AB=1AB=1，AC=3AC=3，M M，N N分别为分别为BCBC三等分点，三等分点，则则 =()第第4242页页【解析解析】选选B.B.因为因为|=|=|，所以，所以BACBAC=90.=90.又因为又因为M M，N N分别为分别为BCBC三等分点，三等分点，第第4343页页第第4444页页类型二与向量模相关问题类型二与向量模相关问题【典例典例】1.(1.(全国卷全国卷)已知向量已知向量a，b夹角为夹角为6060，|a|=2|=2，|b|=1|=1，则，则|a+2+2b|=_.|=_.第第4545页页2.(2.(沂南一中高一检测沂南一中高一检测)已知向量已知向量a，b满足满足|b|=|=5 5，|2|2a+b|=5|=5|a-b|=5|=5 则则|a|=_.|=_.第第4646页页【思维思维引引】利用模长公式：利用模长公式：aa=|=|a|2 2或或|a|=|=处理处理.第第4747页页【解析解析】1.1.=(=(a+2+2b)2 2=|a|2 2+2+2|a|2 2b|cos 60+cos 60+=2=22 2+222+222 +2+22 2=4+4+4=12=4+4+4=12，所以所以 答案：答案：2 2 第第4848页页2.2.由已知有由已知有 将将b2 2=|=|b|2 2=25=25代入方程组，解得代入方程组，解得|a|=|=答案：答案：第第4949页页【内化内化悟悟】依据模长公式，求向量模问题应首先做怎样转化？依据模长公式，求向量模问题应首先做怎样转化？提醒：提醒：求模问题普通转化为求模平方求模问题普通转化为求模平方.第第5050页页【类题类题通通】关于向量模计算关于向量模计算(1)(1)利用数量积求模问题，是数量积主要应用，处理这利用数量积求模问题，是数量积主要应用，处理这类问题方法是对向量进行平方，将向量运算转化为实类问题方法是对向量进行平方，将向量运算转化为实数运算数运算.第第5151页页(2)(2)拓展公式：拓展公式：(ab)2 2=|=|a|2 222ab+|+|b|2 2，(a+b)()(a-b)=|)=|a|2 2-|-|b|2 2.第第5252页页【习练习练破破】已知已知a，b满足满足|a|=4|=4，|b|=3|=3，夹角为，夹角为6060，则，则|a+b|=|=()A.37A.37B.13B.13C.C.D.D.第第5353页页【解析解析】选选C.|C.|a+b|第第5454页页【加练加练固固】已知向量已知向量a，b满足满足|a|=|=|b|=5|=5，且，且a与与b夹角为夹角为6060，求，求|a+b|，|a-b|，|2|2a+b|.|.第第5555页页【解析解析】因为因为|a+b|2 2=(=(a+b)2 2=(=(a+b)(a+b)=|=|a|2 2+|+|b|2 2+2+2ab=25+25+2|=25+25+2|a|b|cos 60|cos 60=50+255 =75.=50+255 =75.所以所以|a+b|=5|=5|a-b|2 2=(=(a-b)2 2=(=(a-b)(a-b)=|)=|a|2 2+|+|b|2 2-2-2ab=|=|a|2 2+|+|b|2 2-2|-2|a|b|cos 60=25|cos 60=25，第第5656页页所以所以|a-b|=5.|=5.|2|2a+b|2 2=(2=(2a+b)(2(2a+b)=4|=4|a|2 2+|+|b|2 2+4+4ab=4|=4|a|2 2+|+|b|2 2+4|+4|a|b|cos 60=175.|cos 60=175.所以所以|2|2a+b|=5|=5 第第5757页页类型三向量夹角与垂直问题类型三向量夹角与垂直问题角度角度1 1求向量夹角求向量夹角【典例典例】(四平高一检测四平高一检测)已知已知a，b均为非零向量，且均为非零向量，且|a|=|=|b|=|=|a-b|，则向量，则向量a与与a+b夹角为夹角为_._.第第5858页页【思维思维引引】利用夹角公式：利用夹角公式：cos=cos=计算计算.第第5959页页【解析解析】设设a a与与a+ba+b夹角为夹角为，因为因为|a|=|=|b|=|=|a-b|，所以所以a2 2=b2 2=(=(a-b)2 2=a2 2+b2 2-2-2ab，故故ab=|=|a|2 2，所以所以|a+b|=|a|=|a|，第第6060页页cos=cos=所以所以a与与a+b夹角为夹角为30.30.答案：答案：3030第第6161页页【素养素养探探】处理向量夹角与垂直问题时，经常需要结合图形分析处理向量夹角与垂直问题时，经常需要结合图形分析问题，突出表达了数学抽象和直观想象关键素养问题，突出表达了数学抽象和直观想象关键素养.若将本例条件改为若将本例条件改为“|a|=3|=3|b|=|=|a+2+2b|”|”，试求，试求a与与b夹夹角余弦值角余弦值.第第6262页页【解析解析】设设a与与b夹角为夹角为，因为，因为|a|=3|=3|b|，所以所以|a|2 2=9|=9|b|2 2.又因为又因为|a|=|=|a+2+2b|，所以所以|a|2 2=|=|a|2 2+4|+4|b|2 2+4+4ab=|=|a|2 2+4|+4|b|2 2+4|4|a|b|cos=13|cos=13|b|2 2+12|+12|b|2 2cos cos，第第6363页页即即9|9|b|2 2=13|=13|b|2 2+12|+12|b|2 2cos cos，故有故有cos=-cos=-第第6464页页角度角度2 2向量垂直应用向量垂直应用【典例典例】已知非零向量已知非零向量m，n满足满足4|4|m|=3|=3|n|，m，n夹角为夹角为，cos=.cos=.若若n(t(tm+n)，则实数，则实数t t值值为为 ()A.4A.4B.-4B.-4C.C.D.-D.-第第6565页页【思维思维引引】利用向量垂直充要条件求参数利用向量垂直充要条件求参数.第第6666页页【解析解析】选选B.B.由由4|4|m|=3|=3|n|，可设可设|m|=3k|=3k，|n|=4k(k0)|=4k(k0)，又因为又因为n(t(tm+n)，所以，所以n(t(tm+n)=)=nt tm+nn=t|t|m|n|cos+|cos+|n|2 2=t3k4k +(4k)=t3k4k +(4k)2 2=4tk4tk2 2+16k+16k2 2=0.=0.所以所以t=-4.t=-4.第第6767页页【类题类题通通】1.1.求向量夹角基本步骤求向量夹角基本步骤第第6868页页2.2.向量垂直问题处理思绪向量垂直问题处理思绪处理与垂直相关题目标依据是处理与垂直相关题目标依据是abab=0=0，利用数量，利用数量积运算代入，结合与向量模、夹角相关知识解题积运算代入，结合与向量模、夹角相关知识解题.第第6969页页【习练习练破破】1.1.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，且且 =0=0，则四边，则四边形形ABCDABCD是是()A.A.矩形矩形B.B.菱形菱形C.C.直角梯形直角梯形D.D.等腰梯形等腰梯形第第7070页页【解析解析】选选B.B.因为因为 即一组对边平行且相等，即一组对边平行且相等，=0=0，即对角线相互垂直，所以四边形，即对角线相互垂直，所以四边形ABCDABCD为菱为菱形形.第第7171页页2.(2.(全国卷全国卷)已知非零向量已知非零向量a，b满足满足|a|=|=2|2|b|，且，且(a-b)b，则，则a与与b夹角为夹角为()第第7272页页【解析解析】选选B.B.设夹角为设夹角为，因为，因为(a-b)b，所以，所以(a-b)b=ab-b2 2=0=0，所以，所以ab=b2 2，所以，所以cos=cos=又又00，所以，所以a与与b夹角为夹角为 ，故选故选B.B.第第7373页页【加练加练固固】已知非零向量已知非零向量a，b满足满足a+3+3b与与7 7a-5-5b相互垂直，相互垂直，a-4-4b与与7 7a-2-2b相互垂直，求相互垂直，求a与与b夹角夹角.第第7474页页【解析解析】设设a与与b夹角为夹角为，由已知条件得由已知条件得 即即 -得得2323b2 2-46-46ab=0=0，第第7575页页所以所以2 2ab=b2 2，代入，代入得得a2 2=b2 2，所以所以|a|=|=|b|，所以，所以cos=cos=因为因为00，所以，所以=.=.第第7676页页类型四利用向量模长公式求力大小类型四利用向量模长公式求力大小【物理情境物理情境】一质点受到平面上三个力一质点受到平面上三个力F1 1，F2 2，F3 3(单位：牛顿单位：牛顿)作用作用而处于平衡状态而处于平衡状态.已知已知F1 1，F2 2成成6060角，且角，且F1 1，F2 2大小大小分别为分别为2 2和和3 3，求，求F3 3大小大小.第第7777页页【转化模板转化模板】1.1.因为物理学中力是一个向量，所以求力大因为物理学中力是一个向量，所以求力大小能够转化为求向量模大小，力平衡即向量小能够转化为求向量模大小，力平衡即向量和为零向量，能够建立向量模型处理和为零向量，能够建立向量模型处理.2.2.设三个力设三个力F1 1，F2 2，F3 3分别为向量分别为向量F1 1，F2 2，F3 3.第第7878页页3.3.已知非零向量已知非零向量F1 1，F2 2，F3 3满足满足F1 1+F2 2+F3 3=0，|F1 1|=2|=2，|F2 2|=3|=3，且，且F1 1，F2 2夹角为夹角为6060，求，求|F3 3|.|.4.4.由由F1 1+F2 2+F3 3=0=0，得，得-F3 3=F1 1+F2 2，所以所以 cos 60=cos 60=4+9+6=194+9+6=19，所以，所以 =第第7979页页5.5.力力F F3 3大小为大小为 牛顿牛顿.第第8080页页