人教版必修二6.2.3数学省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件.pptx

6.2平面向量运算6.2.3向量数乘运算第第1 1页页1.1.向量数乘运算向量数乘运算定义：普通地，我们要求定义：普通地，我们要求实数实数与向量与向量a积是一个向量，积是一个向量，这种运算叫做向量数乘，记作这种运算叫做向量数乘，记作a.要求：要求：(1)(1)|a|=|=|a|.第第2 2页页(2)(2)当当00时，时，a方向与方向与a方向方向相同相同；当；当00时，时，a方向与方向与a方向方向相反相反；当；当=0=0时，时，a=0.第第3 3页页【思索思索】向量数乘运算结果是什么？向量数乘运算结果是什么？提醒：提醒：数乘向量结果仍是一个向量，它现有大小又有数乘向量结果仍是一个向量，它现有大小又有方向方向.第第4 4页页2.2.向量数乘运算律向量数乘运算律设设，为实数，则为实数，则(1)(a)=(1)(a)=a；(2)(+)(2)(+)a=a+a；(3)(3)(a+b)=)=a+b.尤其地，我们有尤其地，我们有(-)(-)a=-(=-(a)=(-)=(-a)，(a-b)=)=a-b.第第5 5页页【思索思索】这里条件这里条件“，为实数为实数”能省略吗？为何？能省略吗？为何？提醒：提醒：不能，数乘向量中不能，数乘向量中，都是实数，只有都是实数，只有，都是实数时，运算律才成立都是实数时，运算律才成立.第第6 6页页3.3.向量线性运算向量线性运算向量加、减、数乘运算统称为向量线性运算向量加、减、数乘运算统称为向量线性运算.4.4.共线向量定理共线向量定理向量向量a(a(a0)与与b共线充要条件是：存在唯一一个实数共线充要条件是：存在唯一一个实数，使，使b=a.第第7 7页页【思索思索】(1)(1)共线向量定理中共线向量定理中“a0”是否多出，能去掉吗？是否多出，能去掉吗？提醒：提醒：不能，定理中之所以限定不能，定理中之所以限定a0是因为若是因为若a=b=0，存在，但不唯一，若存在，但不唯一，若a=0，b0，则，则不存在不存在.第第8 8页页(2)(2)反之，反之，“若存在一个实数若存在一个实数，使，使b=a(a0)，则，则a与与b共线共线”成立吗？成立吗？提醒：提醒：成立成立.第第9 9页页【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(正确打正确打“”“”，错打，错打“”)”)(1)-3(1)-3a方向与方向与6 6a方向相反，且方向相反，且-3-3a模是模是6 6a模模 (a0).).()(2)(2)a与与-a方向相反方向相反.()第第1010页页(3)(3)若若a，b共线，则存在唯一实数共线，则存在唯一实数，使，使a=b.()第第1111页页提醒：提醒：(1).(1).因为因为-30-30，所以，所以-3-3a与与a方向相反且方向相反且|-3|-3a|=3|=3|a|.|.所以所以6 6a与与a方向相同且方向相同且|6|6a|=6|=6|a|，所以，所以-3-3a与与6 6a方向相反且模是方向相反且模是6 6a模模 .(2).(2).当当00时，时，a与与-a方向相同方向相同.(3).(3).若若b=0时不成立时不成立.第第1212页页2.2.以下计算正确个数是以下计算正确个数是()(-3)2(-3)2a=-6=-6a；2(2(a+b)-(2)-(2b-a)=3)=3a；(a+2+2b)-)-(2(2b+a)=0.)=0.A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3第第1313页页【解析解析】选选C.C.因为因为(-3)(-3)2 2a=-6=-6a，故，故正确；正确；中，左中，左=2=2a+2+2b-2-2b+a=3a=3a成立，故成立，故正确；正确；中，左中，左=a+2+2b-2-2b-a=000，故，故错误错误.第第1414页页类型一向量线性运算类型一向量线性运算【典例典例】1.(1.(临沂高一检测临沂高一检测)化简化简 (2 (2a+8+8b)-(4)-(4a-2-2b)结果是结果是()A.2A.2a-bB.2B.2b-aC.C.b-aD.D.a-b第第1515页页2.2.已知向量已知向量a，b，x，且，且(x-(x-a)-()-(b-x)=)=x-(-(a+b)，则，则x=_.x=_.第第1616页页【思维思维引引】1.1.类比实数运算中合并同类项方法化简类比实数运算中合并同类项方法化简.2.2.利用解方程方法求解利用解方程方法求解.第第1717页页【解析解析】1.1.选选B.B.原式原式=(=(a+4+4b-4-4a+2+2b)=(6)=(6b-3-3a)=2=2b-a.2.2.因为因为(x-a)-()-(b-x)=2)=2x-(-(a+b)，所以，所以2 2x-a-b=x-a-b，即即x=0.答案：答案：0第第1818页页【内化内化悟悟】1.1.向量线性运算主要方法是什么？向量线性运算主要方法是什么？提醒：提醒：去括号，合并去括号，合并“同类项同类项”.第第1919页页2.2.解含有向量方程时，能够把向量当成普通未知量求解解含有向量方程时，能够把向量当成普通未知量求解吗？吗？提醒：提醒：能够能够.第第2020页页【类题类题通通】向量线性运算方法向量线性运算方法(1)(1)向量线性运算类似于代数多项式运算，主要是向量线性运算类似于代数多项式运算，主要是“合合并同类项并同类项”“”“提取公因式提取公因式”，但这里，但这里“同类项同类项”“”“公公因式因式”指向量，实数是向量系数指向量，实数是向量系数.第第2121页页(2)(2)向量也能够经过列方程来解，把所求向量看成未知向量也能够经过列方程来解，把所求向量看成未知数，利用解代数方程方法求解，同时在运算过程中要数，利用解代数方程方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当利用运算律，简化运算多注意观察，恰当利用运算律，简化运算.第第2222页页【习练习练破破】已知已知a=4=4d，b=5=5d，c=-3=-3d，则，则2 2a-3-3b+c等于等于()A.10A.10dB.-10B.-10dC.20C.20dD.-20D.-20d【解析解析】选选B.2B.2a-3-3b+c=8=8d-15-15d-3-3d=-10=-10d.第第2323页页【加练加练固固】已知向量已知向量a，b，且，且5x+2y=5x+2y=a，3x-y=3x-y=b，求，求x x，y.y.第第2424页页【解析解析】将将3x-y=3x-y=b两边同乘两边同乘2 2，得得6x-2y=26x-2y=2b.与与5x+2y=5x+2y=a相加，相加，得得11x=a+211x=a+2b，即，即x=x=a+b.所以所以y=3x-y=3x-b=3 =3 =a-b.第第2525页页类型二用已知向量表示相关向量类型二用已知向量表示相关向量【典例典例】1.(1.(长沙高一检测长沙高一检测)设设D D，E E分别是分别是ABCABC边边ABAB，BCBC上点，上点，AD=ABAD=AB，BE=BC.BE=BC.若若 =1 1 +2 2 (1 1，2 2为实数为实数)，则，则1 1+2 2值为值为_._.第第2626页页第第2727页页2.2.如图所表示，已知如图所表示，已知 ABCDABCD边边BCBC，CDCD上中点分别为上中点分别为K K，L L，且，且 =e1 1，=e2 2，试用，试用e1 1，e2 2表示表示 第第2828页页【思维思维引引】1.1.先用向量先用向量 表示向量表示向量 ，然后，然后计算计算“系数系数”和和.2.2.先把先把 视为未知量，再利用已知条件找等量关视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程系，列方程(组组)，经过解方程，经过解方程(组组)求出求出 第第2929页页【解析解析】1.1.由已知由已知 所以所以1 1=-=-，2 2=，从而从而1 1+2 2=.=.答案：答案：第第3030页页2.2.设设 =x，=y，则则 =e1 1=x-y，=e2 2=x-y，由由 第第3131页页解得解得 即即 =第第3232页页【内化内化悟悟】分析切入问题时，对条件分析切入问题时，对条件 应怎样应怎样了解？了解？提醒：提醒：看作是用向量看作是用向量 、表示向量表示向量 结果结果.第第3333页页【类题类题通通】(1)(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算运算律平行四边形法则以及向量线性运算运算律.(2)(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程出已知向量，建立方程组，利用方程(组组)求解求解.第第3434页页【习练习练破破】如图，如图，ABCDABCD是一个梯形，是一个梯形，ABCDABCD，且，且AB=2CDAB=2CD，M M，N N分分别是别是DCDC和和ABAB中点，已知中点，已知 =a，=b，试用，试用a，b表表示示 第第3535页页【解析解析】(方法一方法一)连接连接CNCN，则，则ANAN DCDC，第第3636页页所以四边形所以四边形ANCDANCD是平行四边形是平行四边形.=-=-b，又因为又因为 =0，所以所以 =b-a，所以所以 =-=-b+a=a-b.第第3737页页(方法二方法二)因为因为 =0=0，即：即：a+(-+(-a)+(-)+(-b)=0)=0，所以所以 =b-a，又因为在四边形又因为在四边形ADMNADMN中，有中，有 =0，即即：b+a+(-+(-a)=)=0，所以所以 =a-b.第第3838页页【加练加练固固】如图所表示，四边形如图所表示，四边形OADBOADB是平行四边形，是平行四边形，=a，=b，又，又 试用试用a、b表示表示 第第3939页页【解析解析】因为因为 =a-b，所以所以 (a-b)，所以所以 =b+(+(a-b)=)=b+a-b=a+b.又由又由 =+=+=a+b，得，得第第4040页页 =a+b.所以所以 =(=(a+b)-(-(a+b)=a-b.第第4141页页类型三向量共线定理及应用类型三向量共线定理及应用角度角度1 1求参数问题求参数问题【典例典例】(天水高一检测天水高一检测)设设e1 1，e2 2是两个不共线是两个不共线向量，若向量向量，若向量a=2=2e1 1-e2 2，与向量，与向量b=e1 1+e2 2(R)(R)共共线，则当且仅当线，则当且仅当值为值为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.0A.0B.-1B.-1C.-2C.-2D.-D.-第第4242页页【思维思维引引】利用向量共线定了解答利用向量共线定了解答.第第4343页页【解析解析】选选D.D.因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即e1 1+e2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 解得解得=-.=-.第第4444页页【素养素养探探】本题主要考查向量共线条件应用，突出考查了数学运本题主要考查向量共线条件应用，突出考查了数学运算关键素养算关键素养.本例若把条件本例若把条件“向量向量b=e1 1+e2 2(R)”(R)”改为改为“向量向量b=2m=2me1 1+n+ne2 2(m(m，nR)”nR)”其它条件不变，试求其它条件不变，试求m+nm+n值值.第第4545页页【解析解析】因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即2m2me1 1+n+ne2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 所以所以m+n=0.m+n=0.第第4646页页角度角度2 2三点共线问题三点共线问题【典例典例】设设a a，b b是不共线两个非零向量，若是不共线两个非零向量，若 =2=2a-b，=3=3a+b，=a-3-3b，求证：，求证：A A，B B，C C三点共线三点共线.世纪金榜导学号世纪金榜导学号第第4747页页【思维思维引引】利用向量共线定了解答利用向量共线定了解答.第第4848页页【证实证实】由题意，得由题意，得 =(3=(3a+b)-(2)-(2a-b)=)=a+2+2b，=(=(a-3-3b)-(3)-(3a+b)=-2)=-2a-4-4b=-2 =-2 ，所以所以 与与 共线，且有公共端点共线，且有公共端点B B，所以，所以A A，B B，C C三点共线三点共线.第第4949页页【类题类题通通】关于向量共线定理应用关于向量共线定理应用(1)(1)向量共线定理：向量共线定理：b与与a(a0)共线与共线与b=a是一个等价是一个等价定理，所以用它既能够证实点共线或线共线问题，也定理，所以用它既能够证实点共线或线共线问题，也能够依据共线求参数值能够依据共线求参数值.第第5050页页(2)(2)证实三点共线，往往要转化为证实过同一点两个有证实三点共线，往往要转化为证实过同一点两个有向线段表示向量共线，必须说明结构两个向量有公共向线段表示向量共线，必须说明结构两个向量有公共点，不然两向量所在直线可能平行，解题时经常会因点，不然两向量所在直线可能平行，解题时经常会因忽略对公共点说明而丢分忽略对公共点说明而丢分.第第5151页页【发散发散拓拓】关于关于A A，B B，C C三点共线条件变形式三点共线条件变形式平面上三点平面上三点A A，B B，C C共线充要条件是：存在实数共线充要条件是：存在实数，使得，使得 =+=+，其中，其中+=1+=1，O O为平面为平面内任意一点内任意一点.第第5252页页【延伸延伸练练】已知已知A A，B B，P P三点共线，三点共线，O O为直线外任意一点，若为直线外任意一点，若 求求x+yx+y值值.第第5353页页【解析解析】设设 则则 则则 所以所以x+y=1+-=1.x+y=1+-=1.第第5454页页【习练习练破破】已知非零向量已知非零向量e1 1，e2 2不共线不共线.(1)(1)假如假如 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2，=3(=3(e1 1-e2 2)，求，求证：证：A A，B B，D D三点共线三点共线.(2)(2)欲使欲使k ke1 1+e2 2和和e1 1+k+ke2 2共线，试确定实数共线，试确定实数k k值值.第第5555页页【解析解析】(1)(1)因为因为 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2+3+3e1 1-3-3e2 2=5(=5(e1 1+e2 2)=5)=5所以所以 ，共线，且有公共点共线，且有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点三点共线共线.第第5656页页(2)(2)因为因为k ke1 1+e2 2与与e1 1+k+ke2 2共线，共线，所以存在所以存在，使，使k ke1 1+e2 2=(=(e1 1+k+ke2 2)，即，即(k-)(k-)e1 1=(k-1)(k-1)e2 2，因为，因为e1 1与与e2 2不共线，不共线，只能有只能有 所以所以k=1.k=1.第第5757页页