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高等数学-上册-第一章总结.doc

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1、第一章 函数极限与连续(一) 本章重点(important points):1. 了解极限的定义(重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”,以及N与的相关性;动态变化性)及求法,定义要从代数及几何两方面进行理解。2. 理解以及运用两个重要的极限公式(及其拓展形式)。3. 无穷小理论及其运用(主要是等价无穷小代换,在求极限以及一些证明题中会经常用到,so it is also important!)。4. 函数的连续(这是以后很多公式定理运用的条件,所以必须掌握地very good!)。5. 分段函数的连续性,可导性,及其极限值的求法。(二) 知识点分析(analysis):常用不等式1) 绝对

2、值不等式: 2) 三角不等式: 3) Bernoulli Inequality(贝努力不等式): 若 x-1, nz, 且n=2 则4) Cauchy Inequality(柯西不等式): 5) ex1+x6) ln(1+n)7) & 即:数列 单调递增, 数列 单调递减。8) 设 x 则 9) 设 x, 则 二 不等式的运用案例eg1. 证明柯西不等式 证法一:(构造一个关于t的二次方程,并利用其判别式) 因为 所以 =若若,则有判别式故 4 三 求极限的方法:1.利用极限的基本性质与法则。 2.利用数列求和。 3.利用两个重要极限。 4.利用对数恒等式(主要是解有关幂指型函数的题)。 5.

3、利用函数的连续性。 6.利用无穷大与无穷小的关系(无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小;无穷大加无穷大不一定等于无穷大;)四 数列的极限:若对(不论多么小),总自然数,使得当时都有成立,这是就称常数是数列的极限,或称数列收敛于,记为,或()。如果数列没有极限,就说数列是发散的。注:1:是衡量与的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管具有任意性,但一经给出,就应视为不变。(另外,具有任意性,那么等也具有任意性,它们也可代替)2:是随的变小而变大的,是的函数,即是依赖于的。在解题中,等于多少关系不大,重要的是它的存在性,只要存在一个,使得当时,有就行了,而不必求最小的。Eg2.证明。证明

4、:对,因为,因为 (此处不妨设,若,显然有)所以要使得,只须就行了。 即有. 所以取 ,当时,因为有 ,所以。注:有时找比较困难,这时我们可把适当地变形、放大(千万不可缩小!),若放大后小于,那么必有。Eg3. 设,证明的极限为0,即。证明:若,结论是显然的,现设,对,(因为越小越好,不妨设),要使得,即,只须两边放对数后,成立就行了。因为,所以,所以 。 取,所以当时,有成立。定理1:(唯一性)数列不能收敛于两个不同的极限。证明:设和为的任意两个极限,下证。 由极限的定义,对,必分别自然数,当时,有(1) 当时,有(2)令,当时,(1),(2)同时成立。现考虑: 由于均为常数,所以的极限只能

5、有一个。注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看。若,则若,则定理2. (有界性)若数列收敛,那么它一定有界,即:对于数列 ,若正数,对一切,有。证明:设,由定义对自然数当时,所以当时,令,显然对一切,。注:本定理的逆定理不成立,即有界未必收敛。例如数列是有界的(),但函数收敛。此点希望注意!(i)若,则使得对恒有(ii)若,则当时,有(iii)若,则当时,有(3)局部保号性(i)若且则,当时,恒有(ii)若,且,则当时,有 五 函数的极限:定义1:如果对(不论它多么小),总,使得对于适合不等式 的一切所对应的函数值满足:,就称常数为函数当时的极限,记为 ,或 (当时)注1:“与充分接近”在

6、定义中表现为:,有,即。显然越小,与接近就越好,此与数列极限中的所起的作用是一样的,它也依赖于。一般地,越小,相应地也小一些。 2:定义中表示,这说明当时,有无限与在点(是否有)的定义无关(可以无定义,即使有定义,与值也无关)。 3:几何解释:对,作两条平行直线。由定义,对此。当,且时,有。即函数的图形夹在直线之间(可能除外)。换言之:当时,。从图中也可见不唯一!定理1:(保号性)设,(i) 若,则,当时,。(ii) 若,必有。证明:(i)先证的情形。取,由定义,对此,当时,即。 当时,取,同理得证。 (ii)(反证法)若,由(i) 矛盾,所以。 当时,类似可证。注:(i)中的“”,“”不能改

7、为“”,“”。 在(ii)中,若,未必有。定义2:对,当时,当时,有.这时就称为当时的左右极限,记为或。 或。定理2:。定义3:设当时是有定义的,若对,当时,有,就称为当时的极限,记为或(当时)。注: 1:设在上有定义,若对,当时,有,就称为当时的极限,记为,或(当)(,或(当)。 2:。 3:若,就称为的图形的水平渐近线(若或,有类似的渐近线)。六无穷大与无穷小定义:设与为在同一变化过程中的两个无穷小,若,就说是比高阶的无穷小,记为;若,就说是比低阶的无穷小;若,就说是比同阶的无穷小;若,就说与是等价无穷小,记为。当时,是的高阶无穷小,即在目前,常用当时,等价无穷小有:;注 1:高阶无穷小不

8、具有等价代换性,即:,但,因为不是一个量,而是高阶无穷小的记号;2.等价无穷小具有传递性:即3.未必任意两个无穷小量都可进行比较,例如:当时,与既非同阶,又无高低阶可比较,因为不存在;4.用等价无穷小可以简化极限的运算,事实上,有:定理:若均为的同一变化过程中的无穷小,且,及,那么。注:用等价无穷小代换适用于乘、除,对于加、减须谨慎!【但,并不是不能用!】代换后的结果如果没有在加减运算中消掉的话,就可以用!例如:,若是将sinx换成x,x不会在加减运算中被消去,因此这个是可以用的。再例如:这个极限如果将sinx换成x就不行了,因为这个x会在加减运算中被消去,这个就不能。【虽然这个方法成立,但是

9、老师在改题的时候就不会想这么多,只要跟课上他讲的不一样就是错的,所以这个方法还是下来自己用好了】while的条件是while(scanf(%d,&n)=1) ,意思是成功输入一个n就进入循环定义1:对若,使得当时,有成立,就称为当时的无穷小,记为。定理1:当自变量在同一变化过程(或)中时:(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和,即:为的极限为无穷小。(ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限定义2:若对,使得当时,有,就称当时的无穷大,记作:。6、无穷小量与无穷大量的概念(1) 若,即对当(或)时有,则称当无穷小量(2) 若即对当(或)时有则称当无穷大量7、无穷小

10、量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则(1)(2)(3)(4)当(或)时有,则(5)当(或)时有,则(6)则8、无穷小量的比较若(1),则称当时,与是同阶无穷小。(2),则称当时,与是等价无穷小,记作()。(3),则称当时,是是高阶无穷小,记作()。(4)(或),有,则记()(5),则称当时,是是k阶无穷小,定理6:如果,且,则。【例10】证明为的整数部分。证明:先考虑,因为是有界函数,且当时,所以。例9】求。解:当时,这是无穷多项相加,故不能用1.6定理3,先变形:原式。准则I:如果数列满足下列条件:(i)对;(ii)那么,数列的极限存在,且。证明:因为,所以对,当时,有,即 ,

11、对,当时,有,即,又因为,所以当时,有, 即有:,即,所以 。第一个重要极限:证明:作单位圆,如下图:设为圆心角,并设见图不难发现:,即:,即 , (因为,所以上不等式不改变方向) 当改变符号时,及1的值均不变,故对满足的一切 ,有。 又因为, 所以 而 ,【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。准则:单调有界数列必有极限作为准则的一个应用,下面来证明极限是存在的。先考虑取正整数时的情形:对于,有不等式:,即:,即:(i)现令,显然,因为将其代入,所以,所以为单调数列。(ii)又令,所以 ,即对, 又对所以是有界的。由准则或知 存在,并使用来表示,即Cauchy 极限存在准则:数列收敛对,当时

12、,有 。七 极限存在的准则(i)夹逼准则给定数列若当时有,则 给定函数, 若当(或)时,有,则(ii)单调有界准则 给定数列,若对有使对有则存在 若在点的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则(或)存在八 极限的运算法则(1)若,则(i)(ii)(iii)()(2)设(i)(ii)当时(iii)则九 两个重要极限(1),(2)十函数的连续性与间断点定义 1:设在的某邻域内有定义,若,就称函数在 点处连续。注 1:在点连续,不仅要求在点有意义,存在,而且要,即极限值等于函数值。 2:若,就称在点左连续。若,就称在点右连续。 3:如果在区间上的每一点处都连续,就称在上连续;并称为上的连续函数;若包含端

13、点,那么在左端点连续是指右连续,在右端点连续是指左连续。定义1:设在的某邻域内有定义,若对,当时,有,就称在点连续。 下面再给出连续性定义的另一种形式:先介绍增量:变量由初值变到终值,终值与初值的差称为的增量,记为,即;可正、可负、也可为零,这些取决于与的大小。 我们称为自变量在点的增量,记为,即或;相应函数值差,称为函数在点的增量,记为,即,即或,。定义1:设在的某邻域内有定义,若当时,有,即,或,就称在点连续。定理:在点连续在点既左连续,又右连续。归纳:(1),为无穷间断点; (2)震荡不存在,为震荡间断点; (3),为可去间断点; (4),为跳跃间断点。如果在间断点处的左右极限都存在,就

14、称为的第一类间断点,显然它包含(3)、(4)两种情况;否则就称为第二类间断点。十一连续函数的运算与初等函数的连续性:(1) 函数连续的定义 设在点及其邻域内有定义,若(i)或(ii)或(iii)当时,有则称函数在点处连续设在点内有定义,若,则称函数在点处左连续,设在点内有定义,若,则称函数在点处右连续若函数在内每点都连续,则称函数在内连续若函数在内每点都连续,且,则称函数在上连续,记作(2) 函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数: (i)在点处没有定义 (ii)虽然在有定义, 但f(x)不存在; (3)虽然在有定义且f(x)存在, 但f(x)f();则函数f(x)在点为不连续, 而点称

15、为函数f(x)的不连续点或间断点。设点为的间断点,(1),则称点为的可去间断点,若(2),则称点为的跳跃间断点,可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点(3)则称点为的无穷型间断点,(4)若不存在且都不是无穷大,则称点为的振荡型间断点,无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算(1) 连续函数的四则运算 若函数在点处连续则在点处也连续(2) 反函数的连续性, 若函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数在其对应的区间上也单调增加(或单调减少)且连续。(3) 复合函数的连续性 设函数由函数复合而成,若(1)(2)则 (或)(4) 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的(5) 闭区间上连续函数的性质 ( i)有界性 若,则在上有界 (ii)最大值、最小值定理,若,则在上一定有最大值和最小值(iii)零点性 若,且则至少存在一点使得(iv)介值性 若,且,是介于之间的任一值,则至少存在一点使得

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