2018年全国卷3理科数学试题和参考答案.doc

绝密★启用前
试题类型：新课标Ⅲ
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
【考点】交集
2．( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【考点】复数的运算
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

【答案】A
【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失
【考点】三视图
4.若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【考点】余弦的二倍角公式
5.的展开式中的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】的第项为：，故令，则
【考点】二项式定理
6．直线分别与轴、轴交于点两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，可设，则

注：的范围也可以这样求：设圆心为，则，故，而，
【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)
7．的图像大致为( )

【答案】D
【解析】，排除A、B；，故函数在单增，排除C
【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10为成员中使用移动支付的人数，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得服从二项分布，即，由二项分布性质可得，故或，
而
即，故

【考点】二项分布及其方差公式
9.的内角的对边分别为，若的面积为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，而
故，
【考点】三角形面积公式、余弦定理
10.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，为球心，为等边的重心，
易知底面，当三点共线，
即底面时，三棱锥的高最大，体积也最大. 此时：
，
在等边中，，
在中，易知，，故
【考点】外接球、椎体体积最值
11.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为. 若，则的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】渐近线的方程为：，
利用点到直线的距离公式可求得，
(此结论可作为二级结论来记忆)，
在中，易得，，
在中，由余弦定理可得：，又
，故
【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形

12. 设，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先由单调递减可知，同理可知，，排除C、D
其次：利用作商法：(注意到)

【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知向量，，. 若，则
【答案】
【解析】，故
【考点】向量平行的坐标运算
14. 曲线在点处的切线斜率为，则
【答案】
【解析】，
【考点】切线斜率的计算方法
15.函数在的零点个数为_________.
【答案】
【解析】，，由图像可知，当时，即有三个零点
或者：令，则，当时，，故3个零点
【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质
16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则
【答案】2
【解析】
(1) 常规解法：设直线方程为，联立可求，由，可得，故
(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切
设中点为，则由二级结论可知准线，，故，由点差法可得，
进一步可得二级结论：
【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)
三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17. (12分)
等比数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和. 若，求.
【答案】(1)或；(2)
【解析】(1)，，或
(2) 当时，，解得
当时，，得无解
综上：
【考点】等比数列通项公式与前项和公式
18. (12分)
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式

第二种生产方式

8
6
5
5
6
8
9

9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5

2
1
1
0
0
9
0

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；
【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上同理，，故第二组生产方式效率更高
(2)由茎叶图可知，中位数，且列联表为：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由(2)可知，
故有的把握认为两种生产方式的效率有差异
【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验
19．(12分)
如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积的最大时，求面与面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)
(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)
(2)恒定，故要使最大，则最大，结合图象可知为弧中点时，最大. 此时
取的中点，则，故面，故可建立如图所示空间直角坐标系
则：，，，，
，平面的法向量为，易知平面的法向量为，故，
面与面所成二面角的正弦值为

【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法
20. (12分)
已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且. 证明成等差数列，并求该数列的公差.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1) 点差法：设，则相减化简可得：
，(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，，易知中点在椭圆内，，代入可得或，又，，综上
联立法：设直线方程为，且，联立可得，
，则，
，两式相除可得，后续过程和点差法一样(如果用算的话比较麻烦)
(联立法思路非常的简单通用，但是计算量非常的大，如果用口算解析几何系列公式计算的话，上述计算就非常简单了)
(2) ，，即，，，
由(1)得联立后方程为，，
(此处用了椭圆的第二定义)
(或者代入椭圆方程消掉
同理，，)
而

故成等差数列.

【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义

21. (12分)
已知函数.
(1)若，证明：当时，；当，；
(2)若是的极大值点，求.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)常规方法：当时，，

，当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增，而，
恒成立，单调递增，又
当时，；当，
改进方法：若，则
令，则
所以在单增，又因为
故当时，，即；
当时，，即；
方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数
(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0

，
，

是的极大值点，，，
下证：当时，是的极大值点，
，所以在单增，在单减
进而有，从而在单减，
当时，，当时，
从而在单增，在单减，所以是的极大值点.

方法二：是的极大值点，所以存在，使得在，，即
当时，，故，
当时，，故
即(洛必达法则，极限思想)
【考点】导数的应用
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修：坐标系与参数方程(10分)
在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点.
(1) 求的取值范围；
(2) 求中点的轨迹的参数方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，直线，符合题意；
当时，设直线，由题意得，即，又，
综上，
(2)可设直线参数方程为，代入圆的方程可得：

即点的轨迹的参数方程为
(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况)
【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程

23. 选修：不等式选讲(10分)
已知函数.
(1)画出的图像；
(2)当时，，求的最小值.
【答案】(1)见解析；(2)5
【解析】(1)，图象如下

(2)由题意得，当时，的图象始终在图象的上方，结合(1)中图象可知，，当时，最小，最小值为5，
【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题
欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。