高等数学-上册-第一章总结.doc

第一章 函数极限与连续（一） 本章重点（important points）：1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N与的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good！）。5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。（二） 知识点分析（analysis）：常用不等式1） 绝对值不等式： 2） 三角不等式： 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)： 若 x-1, nz, 且n=2 则4) Cauchy Inequality（柯西不等式）： 5) ex1+x6) ln(1+n)7) & 即：数列 单调递增， 数列 单调递减。8） 设 x 则 9) 设 x, 则 二 不等式的运用案例eg1. 证明柯西不等式 证法一：（构造一个关于t的二次方程，并利用其判别式） 因为 所以 =若若,则有判别式故 4 三 求极限的方法：1.利用极限的基本性质与法则。 2.利用数列求和。 3.利用两个重要极限。 4.利用对数恒等式（主要是解有关幂指型函数的题）。 5.利用函数的连续性。 6.利用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）四 数列的极限：若对（不论多么小），总自然数，使得当时都有成立，这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。注：1：是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它们也可代替）2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的。Eg2.证明。证明：对，因为,因为 （此处不妨设，若，显然有）所以要使得，只须就行了。 即有. 所以取 ，当时，因为有 ，所以。注：有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有。Eg3. 设，证明的极限为0，即。证明：若，结论是显然的，现设，对，（因为越小越好，不妨设），要使得，即，只须两边放对数后，成立就行了。因为，所以，所以 。 取，所以当时，有成立。定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。证明：设和为的任意两个极限，下证。 由极限的定义，对，必分别自然数，当时，有(1) 当时，有(2)令，当时，（1），（2）同时成立。现考虑： 由于均为常数，所以的极限只能有一个。注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。若，则若，则定理2. （有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：对于数列 ，若正数，对一切，有。证明：设，由定义对自然数当时，所以当时，令，显然对一切，。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但函数收敛。此点希望注意！（i）若，则使得对恒有（ii）若，则当时，有（iii）若，则当时，有（3）局部保号性（i）若且则，当时，恒有（ii）若，且，则当时，有 五 函数的极限：定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式 的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为 ，或 （当时）注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即。显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。 2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）。 3：几何解释：对，作两条平行直线。由定义，对此。当，且时，有。即函数的图形夹在直线之间（可能除外）。换言之：当时，。从图中也可见不唯一！定理1：（保号性）设，（i） 若，则，当时，。（ii） 若，必有。证明：（i）先证的情形。取，由定义，对此，当时，即。 当时，取，同理得证。 （ii）(反证法)若，由(i) 矛盾，所以。 当时，类似可证。注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。 在(ii)中，若，未必有。定义2：对，当时，当时，有.这时就称为当时的左右极限，记为或。 或。定理2：。定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）。注： 1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当）。 2：。 3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）。六无穷大与无穷小定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，若，就说是比高阶的无穷小，记为；若，就说是比低阶的无穷小；若，就说是比同阶的无穷小；若，就说与是等价无穷小，记为。当时，是的高阶无穷小，即在目前，常用当时，等价无穷小有：；注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2.等价无穷小具有传递性：即3.未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在；4.用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。注：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！【但，并不是不能用！】代换后的结果如果没有在加减运算中消掉的话，就可以用！例如：，若是将sinx换成x，x不会在加减运算中被消去，因此这个是可以用的。再例如：这个极限如果将sinx换成x就不行了，因为这个x会在加减运算中被消去，这个就不能。【虽然这个方法成立，但是老师在改题的时候就不会想这么多，只要跟课上他讲的不一样就是错的，所以这个方法还是下来自己用好了】while的条件是while(scanf(%d,&n)=1) ，意思是成功输入一个n就进入循环定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限为无穷小。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。6、无穷小量与无穷大量的概念（1） 若，即对当（或）时有，则称当无穷小量（2） 若即对当（或）时有则称当无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）（2）（3）（4）当（或）时有，则（5）当（或）时有，则（6）则8、无穷小量的比较若（1），则称当时，与是同阶无穷小。（2），则称当时，与是等价无穷小，记作（）。（3），则称当时，是是高阶无穷小，记作（）。（4）（或），有，则记（）（5），则称当时，是是k阶无穷小，定理6：如果，且，则。【例10】证明为的整数部分。证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，所以。例9】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用1.6定理3，先变形：原式。准则I：如果数列满足下列条件：（i）对;（ii）那么，数列的极限存在，且。证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以 。第一个重要极限：证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即 ， （因为，所以上不等式不改变方向） 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以 而 ，【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。准则：单调有界数列必有极限作为准则的一个应用，下面来证明极限是存在的。先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即：（i）现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。（ii）又令，所以 ，即对， 又对所以是有界的。由准则或知 存在，并使用来表示，即Cauchy 极限存在准则：数列收敛对，当时，有 。七 极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列若当时有，则 给定函数， 若当（或）时，有，则（ii）单调有界准则 给定数列，若对有使对有则存在 若在点的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则（或）存在八 极限的运算法则（1）若，则(i)(ii)(iii)（）（2）设（i）（ii）当时（iii）则九 两个重要极限（1），（2）十函数的连续性与间断点定义 1：设在的某邻域内有定义，若，就称函数在 点处连续。注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，存在，而且要，即极限值等于函数值。 2：若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。 3：如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。定义1：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。 下面再给出连续性定义的另一种形式：先介绍增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。 我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，称为函数在点的增量，记为，即，即或，。定义1：设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点连续。定理：在点连续在点既左连续，又右连续。归纳：(1)，为无穷间断点； (2)震荡不存在，为震荡间断点； (3)，为可去间断点； (4)，为跳跃间断点。如果在间断点处的左右极限都存在，就称为的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。十一连续函数的运算与初等函数的连续性：（1） 函数连续的定义 设在点及其邻域内有定义，若（i）或（ii）或（iii）当时，有则称函数在点处连续设在点内有定义，若，则称函数在点处左连续，设在点内有定义，若，则称函数在点处右连续若函数在内每点都连续，则称函数在内连续若函数在内每点都连续，且，则称函数在上连续，记作（2） 函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数： （i）在点处没有定义 （ii）虽然在有定义, 但f(x)不存在; (3)虽然在有定义且f(x)存在, 但f(x)f();则函数f(x)在点为不连续, 而点称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点为的间断点，（1），则称点为的可去间断点，若（2），则称点为的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）则称点为的无穷型间断点，（4）若不存在且都不是无穷大，则称点为的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算（1） 连续函数的四则运算 若函数在点处连续则在点处也连续（2） 反函数的连续性， 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数在其对应的区间上也单调增加（或单调减少）且连续。（3） 复合函数的连续性 设函数由函数复合而成，若（1）（2）则 （或）（4） 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5） 闭区间上连续函数的性质 （ i）有界性 若，则在上有界 （ii）最大值、最小值定理，若，则在上一定有最大值和最小值（iii）零点性 若，且则至少存在一点使得（iv）介值性 若，且，是介于之间的任一值，则至少存在一点使得