研究生数理统计第三章习题答案.doc

习 题 三
1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了炉铁水，其含碳量分别为.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化？
解 由题意知，，，，，
.
当已知时，
①设统计假设.
②当时，，临界值，
拒绝域为.
③，所以拒绝，接受，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.
当已知时，
①设统计假设.
②当时，临界值
，
拒绝域为.
③，所以拒绝，接受，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.
2.一种电子元件，要求其寿命不得低于.现抽取件，得其均值.已知该种元件寿命，问这批元件是否合格？

解 由题意知，，，，，.
①设统计假设.
②当时，，临界值，
拒绝域为.
③，所以拒绝，接受，即认为这批元件不合格.
3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为，现从某天生产的罐头中随机抽测罐，其质量分别为（单位：），假定罐头质量服从正态分布.问
机器工作是否正常？
能否认为这批罐头质量的方差为？
解 设表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：）.由题意知
，方差未知. ，，，
，
①设统计假设.
②，临界值，
拒绝域为.
③，所以接受，拒绝，即认为机器工作正常.
当已知时，
①设统计假设.
②当时，临界值

，
拒绝域为.
③，所以接受，拒绝，即为这批罐头质量的方差为.
4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市个集市上鸡蛋的平均售价为
，标准差为.已知往年的平均售价一直稳定
左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？
解 由题意知，，，，，.
①设统计假设.
②当时，，临界值
，
拒绝域为
③，所以拒绝，接受，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.
5.已知某厂生产的维尼纶纤度，某日抽测根纤维，其纤度分别为
，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了？
解 由题意知，，，，
.
①设统计假设.

②当时，临界值
，拒绝域为.
③，所以拒绝，接受，即这天生产的维尼纶纤度的方差明显变大了.
6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于，标准差不得超过.现从一批该种元件中抽取个，测得寿命均值为，标准差.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平下，确定这批元件是否合格.
解 设表示这批元件的寿命，由题意知，，，，.
①设统计假设.
②当时，，临界值
，
拒绝域为.
③，所以接受，拒绝，即认为这批元件平均寿命不得低于.
①设统计假设.
②当时，临界值
，
拒绝域为.
③，所以接受，拒绝，即认为这批元件标准差不超过.
所以这批元件合格.
7.设为来自总体的样本，已知对统计假设
的拒绝域为.

当时，求犯两类错误的概率与；
证明：当时，.
解 ，，.

，

.
，.
，
8.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验取检验水平，试写出检验的统计量和拒绝域.若要求当中的时犯第Ⅱ类错误的概率不超过，估计所需的样本容量.
解 .
拒绝域为，统计量为.

，
.
所需的样本容量.

9.设来自总体的样本，为已知，对假设，，其中，试证明.
解 由题意知，且为已知，故，拒绝域为
.

，
所以 ，
，
即.
10.设为来自总体样本，对假设的拒绝域.求犯第Ⅰ类错误的概率和犯第Ⅱ错误的.
解 由题意知，
，
，查表得；
，
，查表得.
11.设总体的密度函数为

，
统计假设，.现从总体中抽取样本，拒绝域，求：犯两类错误的概率.
解 当成立时，

；
当成立时，

.
12.设总体，根据假设检验的基本原理，对统计假设：
；，试分析其拒绝域.
解 因为，所以，即，
当时，，即，
所以拒绝域为.
因为，所以，即，

当时,用作为的近似，则，
，即，
所以拒绝域为.
13.设总体根据假设检验的基本原理，对统计假设：
；，试分析其拒绝域.
解 因为，当时，，
，即，
所以拒绝域为.
因为，当时，，
，即，
所以拒绝域为.
14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率为
甲：， 乙：
假定含灰率均服从正态分布且.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异？
解 设分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：.
，.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。

① 统计假设，
② 当时，临界值为

拒绝域为
③由于所以，接受，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.
15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为：
甲： 乙：
假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高？
解设分别表示甲乙两种零件的抗拉强度.由题意知：
，，.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。
① 统计假设，
② 当时，临界值为

拒绝域为
③由于所以，接受，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.

16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取个和个，测得其外径为：
甲：
乙：
假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高？
解 设分别表示乙甲两种车床加工零件的外径.由题意知：
，，
.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以下假设检验。
① 统计假设，
② 当时

拒绝域为
③由于所以，接受，即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高.
17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取个，各取一个组成一对，现再随机地选取架飞机，将对轮胎磨损量数据列表如下：

4900
5220
5500
6020
6340
7660
8650
4870

4930
4900
5140
5700
6110
6880
7930
5010
试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足，，且两个样本相互独立.
解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为，.由题意知：，
，.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.

首先对两总体的方差进行检验：
①统计假设 ，
②由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为

③，落在接受域内，所以接受原假设，即无明显差异.
再对两种体的均值进行检验
① 设立统计假设，
② 由于，所以当时，

临界值，
拒绝域为.
③由于，所以接受，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.
18.设总体，总体，由两总体分别抽取样本
；
能否认为？ 能否认为？
解 由题意知，，

①设立统计假设，

②当时
，
临界值，
拒绝域为，
③由于，所以接受，可以接受.
①统计假设 ，
②由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为

③，落在接受域内，所以接受原假设，即.
19.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈个癌症病人，其中有个治好了，这个医生断言这种样本中的治愈率足够证实他的看法.
试用假设检验方法检验这个医生的看法；如果该医生实际得到了治愈率，问检验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？
解 设采用化学疗法的治愈率为.
①设立统计假设检验.
② 由于是大样本，所以当时，拒绝域为

③由题意知 ，落入接受域中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.
由于是大样本，所以，由题意知

，

.
20.在某公路上，之间，观察每内通过的汽车辆数，得下表：
通过的汽车数量（辆）
0
1
2
3
4

数量
92
68
28
11
1
0
问能否认为通过的汽车数量服从分布？
解 设表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为，统计假设是
.
①选择检验统计量；
②将的取值划分为若干区间，
；
③ 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得；
④ 在成立的条件下，的概率理论估计值为
， ，
， ，
；
⑤ 拒绝域为；
⑥ 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.

1

92
0.449329
89.8658
0.0506845
2

68
0.359463
71.8926
0.2107634
3

28
0.143785
28.77
0.0206082
4

11
0.038343
7.6686
1.4472296
5

1
0.00908
1.816
0.3666607

200
1.0000
200
2.0959
由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以通过的汽车数量服从分布.
21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行次抽样检验，测得数据分组列表如下：
组限

频数
5
8
20
34
组限

频数
17
6
6
4
试检验螺栓口径的检验值的分布是否为正态分布.
解 设表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为，统计假设是
.
①选择检验统计量；
②将的取值划分为若干区间，
，
；
③ 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得
，；
④ 在成立的条件下，的概率理论估计值为

⑤ 拒绝域为；
⑥ 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.

1

13
0.1446
14.46
0.1474135
2

20
0.1921
19.21
0.0324882
3

34
0.2465
24.65
3.5465517
4

17
0.2113
21.13
0.8072361
5

6
0.1259
12.59
3.4494122
6

10
0.0796
7.96
0.522814

100
1.0000
100
8.5059157

由于样本值为落在拒绝域内，因而拒绝，所以螺栓口径的检验值的分布不为正态分布.
22.检查产品质量时，每次抽取个产品检验，共抽取次，得下表：
次品数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
35
40
18
5
1
1
0
0
0
0
0
问次品数是否服从二项分布？
解 设表示每次检查产品时的次品数，分布函数为，统计假设是
.
①选择检验统计量；
②将的取值划分为若干区间，
；
⑦ 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得；
⑧ 在成立的条件下，的概率理论估计值为
， ，
， ；
⑨ 拒绝域为；
⑩ 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.

1

35
0.3486783
34.86783
0.000501
2

40
0.3874204
38.74204
0.0408461
3

18
0.1937102
19.37102
0.09703649
4

7
0.0701911
7.01911
0.000052

100
1.0000
100
0.1384355
由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以每次检查时次品数服从

.
23.请人比较两种型号电视机的画面好坏，认为好的有人，认为好的有人，拿不定主意的有人，是否可以认为的画面比的好？
解 设表示型号电视机的画面，表示型号电视机的画面.用符号检验法：
由题意知 ，
①，
②当时，拒绝域为，
③，落入拒绝域内，故拒绝，即认为的画面比的好.
24.为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取件产品进行测量，得下表：
甲
1.13
1.26
1.16
1.41
0.86
1.39
1.21
1.22
1.20
0.62
1.18
1.34
乙
1.21
1.31
0.99
1.59
1.41
1.48
1.31
1.12
1.60
1.38
1.60
1.84
问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同？
解 设表示甲车间生产的产品的某项指标的波动，表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法：
由题意知 ，
①，
②当时，拒绝域为，
③，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两车间所生产的产品的该项指标分布显著不同.
25.观察两班组的劳动生产率（单位：件/小时），得下表：
第1班组
28
33
39
40
41
42
45
46
47
第2班组
34
40
41
42
43
44
46
48
49
问两班组劳动生产率是否相同？
解 设表示第1班组的劳动生产率，表示第2班组的劳动生产率.
1)用符号检验法：
由题意知，
①，
②当时，，

③，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两组劳动生产率不同.
2)用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.
秩
1
2
4
5.5
7.5
9.5
13
14.5
16
73
1组数据
28
33
39
40
41
42
45
46
47

秩
3
5.5
7.5
9.5
11
12
14.5
17
18
98
2组数据
34
40
41
42
43
44
46
48
49

①，
②当时，，
③，落入接受域内，故接受，即认为两组劳动生产率相同.
26.观察两样本值如下：
Ⅰ
2.36
3.14
7.52
3.48
2.76
5.43
6.54
7.41
Ⅱ
4.38
4.25
6.54
3.28
7.21
6.54

问这两样本是否来自同一总体？
解 设表示第Ⅰ组样本值，表示第Ⅱ组样本值.
用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.
秩
1
3
14
5
2
8
10
13
56
Ⅰ数据
2.36
3.14
7.52
3.48
2.76
5.43
6.54
7.41

秩
7
6
10
4
12
10

49
Ⅱ数据
4.38
4.25
6.54
3.28
7.21
6.54

①，
②当时，，
③，落入接受域内，故接受，即认为这两样本是否来自同一总体.
27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：按照某种遗传模型其比率之比应为：，问数据与模型是否相符？
解 设表示某种动物配偶后代体格的属性，分布函数为，由题意知
，统计假设是 .

①选择检验统计量；
②将的取值划分为若干区间，
；
③ 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得；
④ 在成立的条件下，的概率理论估计值为
， ，
，
⑤ 拒绝域为；
⑥ 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.

1

10
0.112159
12.225331
0.4050686
2

53
0.4454839
48.557745
0.406395
3

46
0.442358
48.217022
0.1019388

109
1.0000
109
0.9134024
由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以数据与模型相符.
28.在某地区的人口调查中发现：个男人中有个是聋哑人，个女人中有个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设.
解 设表示某地区人口的聋哑情况，表示某地区人口的性别情况.如下表：

男
女
合计
聋哑
3497
3072
6569
正常
15725748
16795959
32521707
合计
15729245
16799031
32528276
由题意知，
①，
②当时，，

③
，落入拒绝域内，不能认为“聋哑人与性别无关”.
29.下表为某药治疗感冒效果的联列表：
年龄
疗效
儿童
成年
老年

一般
58
38
32
128
较差
28
44
45
117
显著
23
18
14
55

109
100
91
300
是问该疗效是否与年龄有关？
解 设表示某感冒药的疗效，表示调查人口的年龄.如下表：
年龄
疗效
儿童
成年
老年

一般
58
38
32
128
较差
28
44
45
117
显著
23
18
14
55

109
100
91
300
由题意知，
①，
②当时，，
③，落入拒绝域内，即认为药的疗效与年龄有关.
30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过时以高于的概率接收，当不合格率超过时，将以不低于的概率接受。试问验收者制定验收抽样方案.
解 由题意知代入下式得到

，
解得.因此，抽样方案是：抽取件产品，如果抽得的不合格品，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.

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