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总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第一节第一节 不定积分概念不定积分概念、性质性质不定积分性质不定积分性质 原函数与不定积分概念原函数与不定积分概念基本积分表基本积分表第五章第五章 不定积分不定积分思索题思索题小结小结第第1页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例:定义：定义：即：导数等于即：导数等于f(x)函数函数F(x)叫做叫做f(x)原函数。原函数。一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念第第2页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分定义：不定积分定义：被积表示式被积表示式积分变量积分变量注：注：要求要求只需求出只需求出f(x)一个原函数，一个原函数，再加再加 C 即可即可.第第4页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例1 求求解解解解 例例2 求求第第5页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回二、基本积分表二、基本积分表第第8页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回第第9页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例3 求积分求积分解：解：依据积分公式（依据积分公式（2）第第10页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回设函数设函数f(x)及及 g(x)原函数存在，则原函数存在，则三、不定积分性质三、不定积分性质解：解：例例4 求积分求积分第第11页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解解例例5 求积分求积分第第13页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解：解：例例6 求积分求积分说明：说明：以上几例中被积函数都需要进行恒以上几例中被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表等变形，才能使用基本积分表.第第14页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二节第二节 换元积分法换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法第五章第五章 不定积分不定积分思索题思索题小结小结第第21页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回问题问题:处理方法处理方法:利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程:令令一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法第第23页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）（凑微分法）定理定理1第第25页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例1 求求解解（一）（一）（二）（二）（三）（三）（一）基本凑微分法（一）基本凑微分法第第27页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例2 求求解：解：第第28页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例3 求求解：解：凑微分形式：凑微分形式：注：熟练掌握凑微分法基础注：熟练掌握凑微分法基础,注意积累惯用凑微分公式。注意积累惯用凑微分公式。（二）多步凑微分法（二）多步凑微分法第第29页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例4 求求解：解：第第30页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例5 求求注注：结果可作为公式，计算时直接套用。：结果可作为公式，计算时直接套用。解：解：第第31页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回例例7 求求解：解：第第32页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回（三）联合凑微分法（三）联合凑微分法例例8 求求解：解：第第34页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回三角函数相乘时，拆开三角函数相乘时，拆开奇奇次项去凑微分次项去凑微分.（四）三角函数积分技巧法（四）三角函数积分技巧法解：解：例例9 求求第第35页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 问题：问题：处理方法：处理方法：作适当变量替换作适当变量替换.过程：过程：令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法第第36页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回则有换元公式则有换元公式定理定理2其中其中)(xy y是是)(txy y=反函数反函数.第第37页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解解 例例10 求求令令三角代换法三角代换法第第38页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解：解：例例11 求求令令第第39页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解：解：例例12 求求令令第第40页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回注注:普通规律以下：当被积函数中含有普通规律以下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令三角代换目是化掉根式三角代换目是化掉根式.第第41页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 令令解：解：例例13 求求三角代换很繁琐三角代换很繁琐注注:代换灵活多样性代换灵活多样性根式有理化代换根式有理化代换第第43页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 注注:当分母阶较高时当分母阶较高时,可采取可采取倒代换倒代换 例例14 求求令令解：解：第第44页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回基基本本积积分分表表第第45页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回1.第一换元法（凑微分法）第一换元法（凑微分法）基本步骤：基本步骤：1、凑微分、凑微分;2、换元、换元;3、回代、回代关键步骤关键步骤:凑微分。凑微分。三角代换、倒代换等三角代换、倒代换等2.第二换元法第二换元法小结小结第第49页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第三节第三节 分部积分法分部积分法分部积分法公式分部积分法公式分部积分法解题技巧分部积分法解题技巧第五章第五章 不定积分不定积分思索题思索题小结小结第第52页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回问题问题处理思绪处理思绪利用两个函数乘积求导法则利用两个函数乘积求导法则.分部积分公式分部积分公式关键：关键：一、分部积分法公式一、分部积分法公式第第55页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 例例1 求积分求积分解解（一）（一）令令显然，显然，选择不妥选择不妥，积分更难进行，积分更难进行.（二）（二）令令幂函数与三角函幂函数与三角函数乘积数乘积注：注：二、分部积分法解题技巧二、分部积分法解题技巧第第56页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 若被积函数是若被积函数是幂函数和正幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数或幂函数和指数函数乘积乘积,就考虑设就考虑设幂函数幂函数为为 ,使其降幂一次使其降幂一次.例例2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）结论结论1幂函数与指数函幂函数与指数函数乘积数乘积第第57页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 例例3 求积分求积分解解令令幂函数与反三角幂函数与反三角函数乘积函数乘积第第58页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 若被积函数是若被积函数是幂函数和对数函数或幂幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数函数和反三角函数乘积，就考虑设乘积，就考虑设对数函数对数函数或反三角函数为或反三角函数为 .例例4 求积分求积分解解结论结论2幂函数与对数函幂函数与对数函数乘积数乘积第第59页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 例例5 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式结论结论3 在接在接连连几次几次应应用分部用分部积积分公式分公式时时，注意前后几次所注意前后几次所选选 应为应为同同类类型函数型函数.指数函数与三角指数函数与三角函数乘积函数乘积第第60页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回解解 例例6 求积分求积分第第62页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回令令第第63页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回分部积分法分部积分法1、被积函数为、被积函数为幂函数与指数、三角函数幂函数与指数、三角函数相乘时相乘时2、被积函数为、被积函数为幂函数与对数、反三角幂函数与对数、反三角相乘时相乘时3、被积函数为、被积函数为三角函数三角函数与与指数函数指数函数相乘时相乘时令：令：则令：则令：经过寻找恒等式求不定积分时，注意连经过寻找恒等式求不定积分时，注意连续施行分部积分所选取续施行分部积分所选取u、dv一致性；一致性；小结小结第第67页页总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 作作 业业P203 T1(奇数奇数奇数奇数),),T2第五章第五章 不定积分不定积分第第68页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回概念概念积分法积分法一、内容回顾一、内容回顾原函数原函数不定积分不定积分直接积分（直接积分（21个公式）个公式）换元积分换元积分分部积分分部积分第一换元第一换元第二换元第二换元第第69页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回主要内容主要内容1.第一换元法（凑微分法第一换元法（凑微分法 )基本步基本步骤骤：1、凑微分、凑微分;2、换换元元;3、回代、回代第第70页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回第一换元法常见类型第一换元法常见类型:第第71页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回 2.第二换元法第二换元法(三角代换三角代换,倒代换倒代换,无理函数代换无理函数代换)普通规律以下：当被积函数中含有普通规律以下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令 说明说明(1)(1)当分母阶较高时当分母阶较高时,可采取可采取倒代换倒代换说明说明(2)(2)当被积函数含有两种或两种以上根式当被积函数含有两种或两种以上根式 时，可采取令时，可采取令 （其中（其中 为各根指为各根指数数最小公倍数最小公倍数）第第72页页第五章第五章 不定积分不定积分不定积分不定积分上页上页 下页下页 返回返回3.分部积分法分部积分法第第73页页
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