资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是
A. B.
C D.，
2．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：
A. B.
C. D.
3．已知函数，，的图象如图所示，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
4．在中，如果，，，则此三角形有（）
A.无解 B.一解
C.两解 D.无穷多解
5．将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6．若，，则一定有（）
A. B.
C. D.以上答案都不对
7．已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向右平移个单位，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为
A B.
C. D.
8．计算
A.-2 B.-1
C.0 D.1
9．已知函数的图像如图所示，则
A. B.
C. D.
10．已知函数，，则函数的值域为（）
A. B.
C. D.
11．某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（）
A.100 B.111
C.113 D.115
12．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知幂函数在区间上单调递减，则___________.
14．已知函数为奇函数，则______
15．若关于的不等式的解集为，则实数__________
16．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.
（1） ，若则（2）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设关于x二次函数
（1）若，解不等式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围
18．已知函数定义域为，若对于任意的 ，都有，且 时，有.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对所有 ，恒成立，求的取值范围.
19．近年来，手机逐渐改变了人们生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高.为了了解市场上某品牌的甲、乙两种型号手机的性能，现从甲、乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）：
甲型号手机
90
89
90
88
91
92
乙型号手机
88
91
89
93
85
94
假设所有手机性能评分相互独立.
（1）在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；
（2）在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手机性能评分不低于90分的概率；
（3）试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）
20．已知关于的函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）当时，对任意，记的最小值为，的最大值为，且，求实数的值.
21．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、
22．已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由偶函数在区间上单调递减，且，所以在区间上单调递增，且，即函数对应的图象如图所示，则不等式等价为或，解得或，故选B
考点：不等关系式的求解
【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键
2、C
【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值
【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，
函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，
故.
故答案为C.
【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称
3、A
【解析】由指数函数、幂函数的图象和性质，结合图象可得，，，问题得以解决
【详解】由图象可知：，
的图象经过点，∴
当时，，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题.
4、A
【解析】利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】由余弦定理可知：
，
该一元二次方程根的判别式，
所以该一元二次方程没有实数根，
故选：A
5、D
【解析】直接利用函数图象的与平移变换求出函数图象对应解析式
【详解】解：将函数y＝5sin（﹣3x）的周期扩大为原来的2倍，
得到函数y＝5sin（x），再将函数图象左移，
得到函数y＝5sin[（x）]＝5sin（）＝5sin（）
故选D
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题.
6、D
【解析】对于ABC，举例判断，
【详解】对于AB，若，则，所以AB错误，
对于C，若，则，所以C错误，
故选：D
7、B
【解析】分析：将.的图象轴向左平移个单位，然后把所得的图象上的每一点的纵坐标变为原来的四分之一倍，横坐标变为原来的二分之一倍，即可得到函数的图象，从而可得结果.
详解：利用逆过程：将.的图象轴向左平移个单位，得到的图象；
将的图象上的每一点的纵坐标变为原来的四分之一倍得到的图象；
将的图象上的每一点的横坐标变为原来的四分之一倍得到的图象，
所以函数的解析式为，故选B.
点睛：本题主要考查了三角函数图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
8、C
【解析】.
故选C.
9、B
【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出的值，再然后通过函数过点求出的值，最后将带入函数解析式即可得出结果
【详解】因为由图像可知，解得，
所以，，
因为由图像可知函数过点，
所以，解得，
取，，，
所以，故选B
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数图像的相关性质，考查了三角函数的周期性的求法，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题
10、B
【解析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
11、D
【解析】根据第p百分位数的定义直接计算，再判断作答.
【详解】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，
所以这组数据的分位数是115.
故选：D
12、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果
【详解】由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴
故答案为：
14、##
【解析】利用奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以有，
故答案：
15、
【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
则方程的两根为，则，
则由，得，即，
故.
故答案为：.
16、，答案不唯一
【解析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数；
由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.
【详解】令，
则为R上增函数，满足条件（1）.
又，
故
即成立.
故答案为：，（，等均满足题意）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.
（2）由题意在上恒成立，令并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.
【小问1详解】
由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
【小问2详解】
由题设，在上恒成立
令，则对称轴且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则
②当时，开口向上，只需，即
综上，
18、（1）为奇函数；证明见解析；（2）是在上为单调递增函数；证明见解析；（3）或.
【解析】
（1）根据已知等式，运用特殊值法和函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）根据函数的单调性的定义，结合已知进行判断即可；
（3）根据（1）（2），结合函数的单调性求出函数在的最大值，最后根据构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
详解】（1）∵，令，得，∴，
令可得：，∴，∴为奇函数；
（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，
则，
由题意时，有，∴，
∴是在上为单调递增函数；
（3）∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，
∴要使，对所有，恒成立，
只要，即恒成立；
令，得，
∴或.
【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的判断，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.
19、（1）
（2）
（3）甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
【解析】（1）由于甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，进而得其概率；
（2）由于甲型号的手机有4部评分不低于90分，乙型号的手机有3部评分不低于90分，进而列举基本事件，根据古典概型求解即可；
（3）根据表中数据的分散程度，估计比较即可.
【小问1详解】
解：根据表中数据，甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，
所以随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率为
【小问2详解】
解：甲型号的手机有4部评分不低于90分，记为，另外两部记为
乙型号的手机有3部评分不低于90分，记为，另外三部记为，
所以甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，共有，，共36种，
其中恰有1部手机性能评分不低于90分的基本事件有，，共18种，
所以所求概率为.
【小问3详解】
解：根据表中数据，可判断甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
20、 (1) (2)
【解析】（1）利用偶函数定义求出实数的值；（2）函数在上单调递减，明确函数的最值，得到实数的方程，解出实数的值.
试题解析：
（1）因为函数是偶函数，所以，即，所以.
（2）当时，函数在上单调递减，
所以，，
又，所以，即，
解得（舍），所以.
21、
【解析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.
详解：由题意，如图，
，
连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，
∴点在上，
∴，
故答案为
；；
∴
点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）
22、（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．
【解析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2
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