1、第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 3 n 阶行列式定义阶行列式定义4 4 对换对换5 5 行列式性质行列式性质6 6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7 7 克拉默法则克拉默法则行列式概念行列式概念.（由简到杂）（由简到杂）及基本计算方式及基本计算方式经过研究行列式经过研究行列式性质性质简化行列式计算方式简化行列式计算方式.线性方程组求解线性方程组求解.第1页4 4 对换对换经过学习经过学习n n阶行列式性质等求解阶行列式性质等求解n n阶行列式阶行列式其它方法其它方法但许多性质基于但许多性质基于“对换对换”理
2、论理论第2页一、对换定义一、对换定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列手续叫做动，这种作出新排列手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换比如比如 第3页备注备注1.1.相邻对换是对换特殊情形相邻对换是对换特殊情形.2.2.普通对换能够经过一系列相邻对换来实现普通对换能够经过一系列相邻对换来实现.3.3.假如连续施行两次相同对换，那么排列就还原了假如连续施行两次相同对换，那么排列就还原了.m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换
3、次相邻对换 第4页二、对换与排列奇偶性关系二、对换与排列奇偶性关系定理定理1 1对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性.证实证实先考虑相邻对换情形先考虑相邻对换情形 第5页注意到除注意到除 外，其它元素逆序数不改变外，其它元素逆序数不改变.第6页当当 时，时，.当当 时，时，.所以相邻对换改变排列奇偶性所以相邻对换改变排列奇偶性.第7页既然相邻对换改变排列奇偶性，那么既然相邻对换改变排列奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换所以，一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性改变所以，一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性改变.推论推论 奇排列奇排列变成标准排列对换次数为变成标准排列对换次数为奇数奇
4、数，偶排列偶排列变成标准排列对换次数为变成标准排列对换次数为偶数偶数.由定理由定理1 1知，对换次数就是排列奇偶性改变次数，知，对换次数就是排列奇偶性改变次数，而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为零逆序数为零)，所以可知推论成立，所以可知推论成立.证实证实 第8页因为数乘法是能够交换，因为数乘法是能够交换，所以所以 n 个元素相乘次序是能个元素相乘次序是能够任意，即够任意，即 每作一次交换，元素行标与列标所成排列每作一次交换，元素行标与列标所成排列 与与 都同时作一次对换，都同时作一次对换，即即 与与 同同时改变奇偶性，不过这两个排列逆序数之和奇偶性不变时改变奇偶性，不过这两个排列逆
5、序数之和奇偶性不变.考虑：考虑：n n阶行列式展开只能按行标从小到大排列次序展开吗？阶行列式展开只能按行标从小到大排列次序展开吗？第9页于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数.即即 是偶数是偶数.因为对换改变排列奇偶性，因为对换改变排列奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数.设对换前行标排列逆序数为设对换前行标排列逆序数为 ，列标排列逆序数为，列标排列逆序数为 .所以所以 是偶数，是偶数，所以，交换所以，交换 中任意两个元素位置后，其行中任意两个元素位置后，其行标排列与列标排列逆序数之和奇偶性不变标排列与列标排列逆序数之和奇偶性不变.设经过一次对换后行标排列逆序数为设经
6、过一次对换后行标排列逆序数为 列标排列逆序数为列标排列逆序数为第10页经过一次对换是如此，经过屡次对换还是如此经过一次对换是如此，经过屡次对换还是如此.所以，所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有第11页定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 第12页例例1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中项是否都是六阶行列式中项.解解下标逆序数为下标逆序数为所以所以 是六阶行列式中项是六阶行列式中项.行标和列标逆序数之和行标和列标逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中项不是六阶行列式中项.第13页例例2 用行列式定义计算用行列式定义
7、计算 第14页解解逆序数：逆序数：第15页1.对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2.行列式三种表示方法行列式三种表示方法三、小结三、小结按行排列按行排列按列排列按列排列第16页5 5 行列式性质行列式性质经过学习经过学习n n阶行列式性质来求解阶行列式性质来求解n n阶行列式阶行列式通常利用行列式性质将通常利用行列式性质将n n阶行列式转化为阶行列式转化为上（下）三角行列式来简化计算上（下）三角行列式来简化计算第17页行列式行列式 称为行列式称为行列式 转置行列式转置行列式.若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与它转置行列式相等行列式与它转置行列式相等,即即 .第18页性质性质1 行
8、列式与它转置行列式相等行列式与它转置行列式相等.证实证实依据行列式定义，有依据行列式定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列含有同等地位行列式中行与列含有同等地位,行列式性质凡是对行成立行列式性质凡是对行成立对列也一样成立对列也一样成立.第19页性质性质2 交换行列式两行（列）交换行列式两行（列）,行列式变号行列式变号.验证验证于是于是推论推论 假如行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零假如行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证实证实交换相同两行，有交换相同两行，有 ，所以，所以 .备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 .第20页性质性质
9、3 行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一个倍数行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一个倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式.验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 依据三阶行列式对角线法则，有依据三阶行列式对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 .第21页推论推论 行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行列式符号外面列式符号外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 .第22页验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.性质性质4 行列式中假如有两
10、行（列）元素成百分比，则此行行列式中假如有两行（列）元素成百分比，则此行列式为零列式为零第23页性质性质5 若行列式某一列（行）元素都是两数之和若行列式某一列（行）元素都是两数之和,比如：比如：则则第24页验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.第25页性质性质6 把行列式某一列（行）各元素乘以同一个倍数然后把行列式某一列（行）各元素乘以同一个倍数然后加到另一列加到另一列(行行)对应元素上去，行列式不变对应元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 .第
11、26页例例二、应用举例二、应用举例计算行列式惯用方法：利用运算把行列式化为计算行列式惯用方法：利用运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式值上（下）三角形行列式，从而算得行列式值第27页解：解：第28页第29页第30页例例2第31页解解第32页第33页第34页第35页第36页例例3 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得第37页第38页以上例子都利用运算把行列式化为上三角形行以上例子都利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式值列式，从而算得行列式值任何任何n阶行列式总能利用运算化为上（下）三角阶行列式总能利用运算化为上（下）三角式行列式。
12、式行列式。第39页例例4 设设 证实证实 第40页证实证实对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为第41页对对 D 前前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故第42页行列式行列式6 6个性质个性质(行列式中行与列含有同等地位行列式中行与列含有同等地位,凡是对行成立性质对列也一样成立凡是对行成立性质对列也一样成立).).计算行列式惯用方法：计算行列式惯用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利用性
13、质把行列式化为上三角形行列式，从而算利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式值得行列式值三、小结三、小结第43页6 6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开对角线法则只适合用于二阶与三阶行列式对角线法则只适合用于二阶与三阶行列式.考虑怎样用低阶行列式来表示高阶行列式考虑怎样用低阶行列式来表示高阶行列式.第47页观察三阶行列式观察三阶行列式结论结论 三阶行列式能够用二阶行列式表示三阶行列式能够用二阶行列式表示.思索题思索题 任意一个行列式是否都能够用较低阶行列式表示？任意一个行列式是否都能够用较低阶行列式表示？第48页比如比如 把把 称为元素称为元素 代数余子式代数余子式在在n 阶
14、行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在第所在第 行和第行和第 列划后，留列划后，留下来下来n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 余子式余子式，记作，记作 .结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第49页引理引理 一个一个n 阶行列式，假如其中第阶行列式，假如其中第 行全部元素除行全部元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它代数余子式乘积，与它代数余子式乘积，即即 比如比如 第50页即有即有又又从而从而下
15、面再讨论普通情形下面再讨论普通情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,（依据（依据P.14例例10结论）结论）第51页我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.思索题：思索题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？第52页思索题：思索题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能不能.第53页 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列第54页二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即第55
16、页同理可得同理可得第56页例例（P.12例例7续）续）第57页 证实证实 用数学归纳法用数学归纳法例例 证实范德蒙德证实范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.第58页假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行减去前行 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列公因子列展开，并提出每列公因子 ，就有，就有第59页 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第60页推论推论 行列式任一行（列）元素与另一行（列）对应元行列式任一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式乘积之和等于零，即素代数余
17、子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行元素换成第行元素换成第2行对应元素，则行对应元素，则 第61页定理定理3 行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）元素与另一行（列）对应元行列式任一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式乘积之和等于零，即素代数余子式乘积之和等于零，即总而言之，有总而言之，有同理可得同理可得第62页例例 计算行列式计算行列式解解第63页第64页例例 设设 ,元余子式和元余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及第65页解解第66页第67页
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