2013考研数三真题及解析.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）函数的可去间断点的个数为（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
（3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ）
（A）若收敛
（B）收敛，则
（C）收敛，则存在常数,使存在
（D）若存在常数，使存在，则收敛
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（6）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设是随机变量，且,
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设曲线和在点处有公共的切线，则________。
（10）设函数由方程确定，则________。
（11）求________。
（12）微分方程通解为________。
（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
（14）设随机变量X服从标准正态分布,则= ________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当时，与为等价无穷小，求与的值。
（16）（本题满分10分）
设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线及围成.计算。
（18）（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
（1）该商品的边际利润。
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。
（3）使得利润最大的定价P。
（19）（本题满分10分）
设函数在上可导，，证明
（1）存在，使得
（2）对（1）中的，存在使得
（20）（本题满分11分）
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
（21）（本题满分11分）
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
（22）（本题满分11分）
设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度
（1） 求的概率密度；
（2） 的边缘概率密度.
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】，故D错误。
（2）函数的可去间断点的个数为（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】C
【解析】由题意可知的间断点为。又

故的可去间断点有2个。
（3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】令，则有

故当时，，此时有故正确答案选B。
（4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ）
（A）若收敛
（B）收敛，则
（C）收敛，则存在常数,使存在
（D）若存在常数，使存在，则收敛
【答案】D
【解析】根据正项级数的比较判别法，当时，，且存在，则与同敛散，故收敛.
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
（6）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。
又，从而。
（7）设是随机变量，且,
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（A）
【解析】由知，
，
，故.
由根据及概率密度的对称性知，，故选（A）
（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（C）
【解析】，又根据题意独立，故
，选（C）.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设曲线和在点处有公共的切线，则________。
【答案】
【解析】在处的导数是，故，

（10）设函数由方程确定，则________。
【答案】
【解析】原式为左右两边求导得：
得
（11）求________。
【答案】
【解析】

（12）微分方程通解为________。
【答案】
【解析】特征方程为，所以通解为
（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
【答案】
【解析】

（14）设随机变量X服从标准正态分布,则= ________。
【答案】
【解析】由及随机变量函数的期望公式知
.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当时，与为等价无穷小，求与的值。
【解析】因为当时，与为等价无穷小
所以
又因为：

即

所以 且
（16）（本题满分10分）
设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。
【解析】由题意可得：

因为： 所以
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线及围成.计算。
【解析】

（18）（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
（1）该商品的边际利润。
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。
（3）使得利润最大的定价P。
【解析】（I）设利润为，则
边际利润
（II）当时，边际利润为20，
经济意义为：当时，销量每增加一个，利润增加20
(III)令，此时
（19）（本题满分10分）
设函数在上可导，，证明
（1）存在，使得
（2）对（1）中的，存在使得
【答案】（I）证明：，
上连续，根据连续函数介值定理，存在
（II）在上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，
，
故
（20）（本题满分11分）
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
【解析】
由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：
（1）

由于方程组（1）有解，故有，即从而有
，故有
从而有
（21）（本题满分11分）
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
【答案】(1)

（2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为
（22）（本题满分11分）
设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度
（3） 求的概率密度；
（4） 的边缘概率密度.
【答案】（1）
（2）
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.
【答案】(1)，令，故矩估计量为.
(2)
当时，

令，
得，所以得极大似然估计量=.