2013年考研数三真题及答案解析-共10页.pdf

20132013 年考研数三真题及答案解析年考研数三真题及答案解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分、当当时，用时，用表示比表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）0 x)(xox（A A）（B B）)()(32xoxox)()()(32xoxoxo（C C）（D D）)()()(222xoxoxo)()()(22xoxoxo【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当时，但而不0 x)()(),()(2332xoxxgxoxxxf)()()(xoxgxf是故应该选（D）)(2xo2 2函数函数的可去间断点的个数为（的可去间断点的个数为（）xxxxxfxln)1(1)(（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【详解】当时，0lnxxxxexxxxln11ln，所以是函数的可去间断点1lnlnlimln)1(1lim)(lim000 xxxxxxxxxfxxxx0 x)(xf，所以是函数的可去间断点21ln2lnlimln)1(1lim)(lim011xxxxxxxxxfxxxx1x)(xf，所以所以不是函数xxxxxxxxxfxxxxln)1(lnlimln)1(1lim)(lim1111x的可去间断点)(xf故应该选（C）设设是圆域是圆域的第的第象限的部分，记象限的部分，记，kD1|),(22yxyxDkkDkdxdyxyI)(则（则（）（A A）（B B）（C C）（D D）01I02I03I04I【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知22122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk所以，应该选（B）32,32,04231IIII设设为正项数列，则下列选择项正确的是（为正项数列，则下列选择项正确的是（）na（A A）若）若，则，则收敛；收敛；1nnaa11)1(nnna（B B）若）若收敛，则收敛，则；11)1(nnna1nnaa（C C）若）若收敛则存在常数收敛则存在常数，使，使存在；存在；1nna1Pnpnanlim（D D）若存在常数）若存在常数，使，使存在，则存在，则收敛收敛1Pnpnanlim1nna【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（）此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条0limnna件，选项（B）也不正确，反例自己去构造设，均为设，均为阶矩阵，若，且可逆，则阶矩阵，若，且可逆，则n（A A）矩阵）矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A A 的行向量组等价的行向量组等价（B B）矩阵）矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A A 的列向量组等价的列向量组等价（C C）矩阵）矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B B 的行向量组等价的行向量组等价（D D）矩阵）矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B B 的列向量组等价的列向量组等价【详解】把矩阵 A，C 列分块如下：，由于nnCA,2121LL，则可知，得到矩阵 C 的列向量组),2,1(2211nibbbniniiiLL可用矩阵 A 的列向量组线性表示同时由于 B 可逆，即，同理可知矩阵 A 的列向1 CBA量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价应该选（B）6 6矩阵矩阵与矩阵与矩阵相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是1111aabaa00000002b（A A）（B B），为任意常数为任意常数2,0ba0ab（C C）（D D），为任意常数为任意常数0,2ba2ab【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵 A=与矩阵相00000002b1111aabaa00000002b似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等)22)2(111122abbaabaaAE从而可知，即，为任意常数，故选择（B）bab22220ab7 7设设是随机变量，且是随机变量，且，321,XXX)3,5(),2,0(),1,0(23221NXNXNX，则，则22iiXPP（A A）（B B）321PPP312PPP（C C）（D D）123PPP231PPP【详解】若，则),(2NX)1,0(NX，1)2(21P1)1(212122222XPXPP)13737)1(3523535222333XPXPP，23PP0)1(32)1(3371故选择（A）8 8设随机变量设随机变量 X X 和和 Y Y 相互独立，且相互独立，且 X X 和和 Y Y 的概率分布分别为的概率分布分别为X X0 01 12 23P3PP P1/21/21/41/41/81/81/81/8Y Y-1-10 01 1P P1/31/31/31/31/31/3则则（）2YXP（A A）（B B）（C C）（D D）121816121【详解】612412411211,30,21,12YXPYXPYXPYXP，故选择（C）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9设曲线设曲线和和在点在点处有切线，则处有切线，则)(xfy xxy2 0,12limnnnfn【详解】由条件可知所以1)1(,01ff2)1(22222)1(221lim2limfnnnfnfnnnfnn1010设函数设函数是由方程是由方程确定，则确定，则yxzz,xyyzx)2,1(|xz【详解】设，则xyyzzyxFx)(,，1)(),(,)ln()(,xzxxyzxzyxFyyzyzzyxF当时，所以2,1yx0z2ln22|)2,1(xz1111xdxx12)1(ln【详解】2ln|1ln)1(1|1ln11ln)1(ln111112xxdxxxxxxxdxdxx1212微分方程微分方程的通解为的通解为041 yyy【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程041r2121通解为，其中为任意常数221)(xexCCy21,CC1313设设是三阶非零矩阵，是三阶非零矩阵，为其行列式，为其行列式，为元素为元素的代数余子式，且满足的代数余子式，且满足 ijaA AijAija，则，则=)3,2,1,(0jiaAijijA【详解】由条件可知，其中为 A 的伴随矩阵，从)3,2,1,(0jiaAijij0*TAA*A而可知，所以可能为或 0AAAAT13*A1但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只1)(,01)(,1)(,)(*nArnArnArnAr0*TAA*)()(ArAr能为 3，所以.1A1414设随机变量设随机变量 X X 服从标准正分布服从标准正分布，则，则)1,0(NXXXeE2【详解】XXeE2dxexedxexdxexexxxx2)2(222)2(22222)22(222122222222)(2222eeXEedtedtteett所以为22e三、解答题1515（本题满分（本题满分 1010 分）分）当当时，时，与与是等价无穷小，求常数是等价无穷小，求常数0 xxxx3cos2coscos1naxna,【分析分析】主要是考查主要是考查时常见函数的马克劳林展开式时常见函数的马克劳林展开式0 x【详解】当时，0 x)(211cos22xoxx，)(21)()2(2112cos2222xoxxoxx，)(291)()3(2113cos2222xoxxoxx所以)(7)(291)(21)(211(13cos2coscos122222222xoxxoxxoxxoxxxx，由于与是等价无穷小，所以xxx3cos2coscos1nax2,7na1616（本题满分（本题满分 1010 分）分）设设 D D 是由曲线是由曲线，直线，直线及及轴所转成的平面图形，轴所转成的平面图形，分别是分别是 D D 绕绕3xy ax)0(axyxVV,轴和轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求，求的值的值xyyxVV 10a【详解】由微元法可知；350320253adxxdxyVaax；370340762)(2adxxdxxxfVaay由条件，知yxVV 1077a1717（本题满分（本题满分 1010 分）分）设平面区域设平面区域 D D 是由曲线是由曲线所围成，求所围成，求8,3,3yxxyyxDdxdyx2【详解】3416836223320222221xxxxDDDdydxxdydxxdxdyxdxdyxdxdyx1818（本题满分（本题满分 1010 分）分）设生产某产品的固定成本为设生产某产品的固定成本为 60006000 元，可变成本为元，可变成本为 2020 元元/件，价格函数为件，价格函数为（P P 是单价，单位：元，是单价，单位：元，Q Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：是销量，单位：件），已知产销平衡，求：,100060QP（1 1）该的边际利润）该的边际利润（2 2）当）当 P=50P=50 时的边际利润，并解释其经济意义时的边际利润，并解释其经济意义（3 3）使得利润最大的定价）使得利润最大的定价 P P【详解】（1）设利润为，则，y6000100040)206000(2QQQPQy边际利润为.50040Qy（2）当 P=50 时，Q=10000，边际利润为 20经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加 20（3）令，得0y.40100002000060,20000PQ1919（本题满分（本题满分 1010 分）分）设函数设函数在在上可导，上可导，且，且，证明，证明 xf),0 00 f2)(limxfx（1 1）存在）存在，使得，使得0a;1af（2 2）对（）对（1 1）中的）中的，存在，存在，使得，使得a),0(aaf1)(【详解】证明（1）由于，所以存在，当时，有，2)(limxfx0XXx 25)(23xf又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得 xf),0 00 f0a;1af（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，xf,0a存在，使得),0(aaafaff1)0()()(2020（本题满分（本题满分 1111 分）分）设设，问当，问当为何值时，存在矩阵为何值时，存在矩阵 C C，使得，使得，并求，并求bBaA110,011ba,BCAAC出所有矩阵出所有矩阵 C C【详解】显然由可知，如果 C 存在，则必须是 2 阶的方阵设，BCAAC4321xxxxC则变形为，BCAACbaxxxxxaxxaxaxx1103243142132即得到线性方程组，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方baxxxxxaxxaxaxx3243142132110程组的增广矩阵进行初等行变换如下，baabaaaabA000010000001011101010111011010010|所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得0,1baBCAAC此时，00000000000011011101|bA所以方程组的通解为，也就是满足的矩100101110001214321CCxxxxxBCAAC阵 C 为，其中为任意常数211211CCCCCC21,CC2121（本题满分（本题满分 1111 分）分）设二次型设二次型记记23322112332211321)()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf321321,bbbaaa（1 1）证明二次型）证明二次型对应的矩阵为对应的矩阵为 ；fTT2（2 2）若）若正交且为单位向量，证明正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 ,f22212yy【详解】证明：（1）321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,2,2)()(2),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbbbbbbxxxxxxaaaaaaxxxxbxbxbxaxaxaxxxfTTTT所以二次型对应的矩阵为 fTT2证明（2）设，由于ATT20,1T则，所以为矩阵对应特征值的特2222TTTA21征向量；，所以为矩阵对应特征值的特征222TTTA12向量；而矩阵 A 的秩，所以也是矩阵的2)()2()2()(TTTTrrrAr03一个特征值故在正交变换下的标准形为 f22212yy 2222（本题满分（本题满分 1111 分）分）设设是二维随机变量，是二维随机变量，X X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为，在给定，在给定YX,其他,010,3)(2xxxfX的条件下，的条件下，Y Y 的条件概率密度为的条件概率密度为)10(xxX其他,0,0,3)/(32xyxyxyfXY（1 1）求）求的联合概率密度的联合概率密度；YX,yxf,（2 2）Y Y 的的边缘概率密度的的边缘概率密度)(yfY【详解】（1）的联合概率密度：YX,yxf,其他,00,10,9)()/(,2xyxxyxfxyfyxfXXY（2）Y 的的边缘概率密度：)(yfY其他,010,ln99),()(212yyydxxydxyxfyfyY2323（本题满分（本题满分 1111 分）分）设总体设总体 X X 的概率密度为的概率密度为，其中，其中为为未知参数且大于零，为为未知参数且大于零，其他,00,);(32xexxfx为来自总体为来自总体 X X 的简单随机样本的简单随机样本nXXXL,21（1 1）求）求的矩估计量；的矩估计量；（2 2）求）求的极大似然估计量的极大似然估计量【详解】（1）先求出总体的数学期望 E（X），022)()(dxexdxxxfXEx令，得的矩估计量nniXnXXE11)(niiXnX11（2）当时，似然函数为),2,1(0nixiL，niiixniinnixiexexL11312132)(取对数，niiniixxnL11ln31ln2)(ln令，得，0)(lndLd0121niixn解得的极大似然估计量为niiXn112