圆锥曲线之轨迹问题有答案.doc

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题
一、临阵磨枪
1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀
1.已知M（-3,0），N（3,0）,则动点P的轨迹方程为
析： ∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。
故所求轨迹方程是
2.已知圆O的方程为，圆的方程为，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为
析：∵圆O与圆外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，
故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为
3.已知椭圆，M是椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹方程为
析：设P 又 由中点坐标公式可得：
又点在椭圆上
∴ 因此中点P的轨迹方程为
4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若,则点P的轨迹一定过三角形ABC的 重 心。
析：设点D为BC的中点，显然有

故点P的轨迹是射线AD， 所以，轨迹一定过三角形的重心。
三、大显身手
1、直接法
例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若且,则P点的轨迹方程为
解：设 又 所以
又 所以

而点与点关于轴对称，∴点的坐标为 即
又 所以 这个方程即为所求轨迹方程。
变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足,动点P的轨迹方程为
解:设则：
又
化简得所求轨迹方程为：

2、定义法
例2、已知圆A的方程为，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。
解：由题意知：

又圆A的半径为10，所以
即点P的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为
变式2、已知椭圆的焦点为，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段的中点，则动点M的轨迹方程是
解：因为M是线段的中点，连接OM，则

由椭圆的定义知：
即点M到定点O、定点的距离和为定值，故动点M的轨迹是以O、为焦点，
以为长轴的椭圆，其方程为
（说明：此题也可以用代入法解决）

3、坐标转移法（代入法）
例3、从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。
解：设Q则由
可得 N点坐标
设
由中点坐标公式可得：
又点Q在双曲线上，
所以 代入得
化简得 即为所求轨迹方程。
变式3、自抛物线上任意一点P向其准线引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。
解：设 ∵抛物线的方程是
∴
所以 直线OP的方程是
直线QF的方程是
联立两方程得： 又
所以 化简得：即为所求轨迹方程。
4、参数法
例4、设椭圆方程为，过点M（0,1）的直线交椭圆于A、B，点P满足,点，当直线绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程； （2）的最大、最小值。
解：（1）设直线的方程为代入椭圆方程得

设 则

设动点P的坐标为，由可得
消去参数即得所求轨迹方程为：
当斜率不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，
故动点P的轨迹方程为。
（2）P点的轨迹方程可以化为
所以可设点P的坐标为 则

所以 当时 当时
变式4、过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.
(1) 求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB与x轴的交点为定点。
解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为
则直线OA的方程为与抛物线联立可得
点A的坐标为 同理可得点B的坐标为 设弦AB的中点为M（x,y）则
消去得弦AB的中点的轨迹方程为

（2）直线AB的斜率为
所以，其方程为 令 得
故直线AB与x轴的焦点为定点（2,0）
5、交轨法
例5、垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，为双曲线的顶点，求直线与的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状。
解：.解：(1)设M点的坐标为(x1,y1)，则N点坐标为(x1,－y1),又有
则A1M的方程为：y= ①
A2N的方程为：y=－ ②
①×②得：y2=－ ③
又因点M在双曲线上，故
代入③并整理得=1.此即为P的轨迹方程.

变式5、设点A、B为抛物线上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,
OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

解:设OA=y=kx, 则，
得 同理 B(2pk2, -2pk)

AB:
....①
而op: .....②
∵ 为AB与的交点，联立①②
(1)×(2)消去k,
y2=-(x-2p)x, ∴ x2+y2-2px=0(x≠0)
即为所求.
四、享受战果
1、已知，则动点P的轨迹方程为
析:满足条件的点在线段上，故轨迹方程是
2、经过抛物线焦点的弦的中点的轨迹方程为
析：设过焦点的弦AB所在的直线方程为代入抛物线方程消去的

设 AB的中点为
则 消去参数得
这就是所求轨迹方程。
3、与圆外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为
析：若与圆外切，又与y轴相切的圆在轴的左侧，
则所求轨迹方程为
若与圆外切，又与y轴相切的圆在轴的右侧
则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到轴的距离，
故所求轨迹方程为
4、设是椭圆的左右顶点，是垂直于长轴的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程为
解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1、P1、P共线，∴
∵A2、P2、P共线，∴
解得x0=

5、已知椭圆的焦点为，A是椭圆上任意一点，过点向∠的外角平分线作垂线于D，则点D的轨迹方程为
解：设的延长线交直线于P，
由椭圆的定义知：
=8
∴ ①
又 代入①得
即为点D的轨迹方程。

6、过原点的双曲线以F（4,0）为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方
程为
析：设双曲线的中心为，则双曲线的另一个焦点为
又双曲线过原点，且实轴长为2，
所以 即
化简得：
7、在中，已知B（-3,0），C(3,0),AD⊥BC于D, 的垂心H分所成的比为。（1）求点H和点A的轨迹方程；（2）设P（-1,0），Q（1,0）那么能成等差数列吗？
解 (1)设H点的坐标为,对应的A的坐标为, 则D的坐标为, 由H分有向线段

此即点H的轨迹方程.

(2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦点, 设H(x, y), 且

数列, 则

8、 已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别

交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
解： 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程 得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即 ①
在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得

代入①式并整理，得

即为所求顶点P的轨迹方程.
9、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4,0）的距离之比为2，则点P的轨迹方程
是
略解：由题意知：点P到点A（4,0）与它到直线x=1的距离之比为
设P(x,y)则
化简得：
10、已知A（0,7），B（0，-7）C（12,2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F的轨迹方程。
解：由题意得： 而
所以 故动点F的轨迹是分别以A、B为焦点，实轴为2的双曲线的下半支，其方程是
11、已知圆O的方程，若抛物线过点A(0，-1),B(0,1)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点的轨迹方程。
解： 首先 设焦点为F（x,y）,准线（即圆的切线）为 L
A到L的距离为a， B到L的距离为b

那么 根据抛物线的性质
有 a=|AF| b=|BF|
于是 |AF|+|BF|=a+b
而a+b 恰是圆的直径(画个示意图 想想为什么)
既有 |AF|+|BF|=4
故 动焦点F的轨迹是分别以A,B为焦点的椭圆，而且半长轴是2
故所求轨迹方程是。
12、已知圆O的方程，圆的方程，由动点P向圆O和圆所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程。
解:设由动点P向圆O和圆所引的的切线的切点分别为A、B，则由题意有：
即 设
则 即为动点P的轨迹方程。
13、已知抛物线，过顶点的两弦OA、OB互相垂直，以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹方程。
解：设 由OA⊥OB 可得
…………..①
可以求得，以OA为直径的圆的方程为：
即 .
同理，以OB为直径的圆的方程为
设，点P为两圆交点，则

所以，可以看作是关于的方程的两根
整理得
由根与系数的关系，可知
结合①式，有 即
所以 P的轨迹方程为
故 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉原点）.
(另法)；解：设，直线AB的方程为（显然）
∴ 则 （两边同时除以）
∵OA⊥OB 则

代入直线AB的方程：………..①
∵OP⊥AB ∴OP的方程为： ………….②
①、②式联立消去，得到P的轨迹方程
当AB⊥轴时，斜率不存在，此时P点为AB中点，且在轴上，坐标为
满足上面的方程，因此P点的轨迹方程为.

14、已知三点N (0，,P (,其中，动点满足
且
(1) 求动点M的轨迹方程；
(2) 过点F作直线与动点M的轨迹交于A、B两点，求的面积的最小值。
解：（1）∵动点满足，且
∴动点M的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。
所以点M的轨迹方程是.
（2）显然直线AB的斜率存在设为k，则直线AB的方程为与抛物线方程联立消去y得： 设
则
而
所以 当时，面积的最小值为
15、已知点Q位于直线右侧，且到点F（-1,0）与直线的距离之和为4.
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）直线过点M（1,0）且交曲线C于A、B两点，点P满足,且
,求点E的横坐标的取值范围。
解：（1）设由题意有

∴动点Q的轨迹C为以为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线右侧
的部分.
（2）由题意可设直线的方程为
设 由可得

由题意 解之得
由 可知：点P为线段AB的中点，
由可知 EP⊥AB
整理得
∴的取值范围是
16、设双曲线C1的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.
（Ⅰ）求Q点的轨迹方程;
（Ⅱ）设（I）中所求轨迹为C2，C1、C2
的离心率分别为e1、e2，当时，e2的取值范围.

（I）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )

经检验点不合
因此Q点的轨迹方程为a2x2－b2y2=a4（除点（－a,0）,(a,0)外）
（I）解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵A(－a, 0), B(a , 0), QB⊥PB, QA⊥PA

（I）解法三：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
∴……（1）
连接PQ，取PQ中点R

17、如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得

依题设，点C在直线AB上，故有

将②式代入①式得

整理得 y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，
若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；
若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．
综上得点C的轨迹方程为
(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．
(i)当a＝1时，轨迹方程化为 y2＝x(0≤x＜1)．③
此时，方程③表示抛物线弧段；
(ii)当a≠1时，轨迹方程为

所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．

18、已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，
∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
又
得x1=2x0－c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.
故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)
19、已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）设由，可得
由射影定理，得 在Rt△MOQ中，

，
故，
所以直线AB方程是

（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

20、 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，
两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)