27整取问题.doc

第27讲 整取问题
内容概述
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．
我们规定[]表示不超过的最大整数，{}=-[]，即为的小数或真分数部分．
如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
显然有{x}<1．
O≤{x}+{y}<2(、y均为整数时等号才成立)．

典型问题

2．求的和．
【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:
最后一项为1981不难得到，再看+；=+
=+
所以有 +=1981=+++
=+++
因为 +的和为整数,
所以 +的和也为整数,但是我们知道0≤{}+{y}<2；在此题中显然≠0，所以+=1
于是+=1981-1=1980；
这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和=990；
所以为1002×1980+990+1981=1986931．

4．解方程[]{}+=2{}+10
【分析与解】 我们注意到不超过10，不能小于5；
所以当[]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{}
当[]=5时，有5{}+5+{}=2{}+10；则4{}=5，{}>1，不满足；
当[]=6时，有6{}+6+{}=2{}+10；则5{}=4，{}=；
当[]=7时，有7{}+7+{}=2{}+10；则 6{x}=3，{}=；
当[]=8时，有8{}+8+{}=2{}+10；则7{}=2，{}=；
当[]=9时，有9{}+9+{}=2{}+10；则8{}=1，{}=；
当[]=10时，有10{}+10+{}=2{}+10；则 9{}=0，{}=0．
所以有=6，7，8，9，10．

6．满足=546．求[100]的值?
【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[]或[+1]，这是因为：、、…、均小于l，
又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[]=7，
则设有个[+]值为7，于是，7×+8×(73-)=546,
解得=38．
所以有38项整数部分为7．
即：+<8，即 +<8．
+≥8，即 +≥8
于是，100[+]<8×100．
100+56<800，100<744；100+57≥800，100≥743．
于是，[100]=743