有理数的四则运算.doc

有理数的四则运算知识引入 我们已经熟悉正数的加法运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，他们的和叫做净胜球数.章前言中，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球为：4+（-2）黄队的净胜球为：1+（-1）这里就用到了正数和负数的加法.下面我们来借助数轴来讨论有理数的加法：我们先规定，一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正.向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m（1）如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向右运动了8m，写成算式就是： 5+3=8（2）如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向左运动了8m，写成算式就是： （-5）+（-3）=-8 这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点O为运动起点（3）如果物体先向右运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向右运动了2m，写成算式就是： 5+（-3）=2 这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点O为运动起点我们再次借助数轴来讨论以下情况物体两次运动的结果：（1）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向_运动了_m；（2）先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向_运动了_m；（3）先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向_运动了_m.这三种情况运动结果的算是如下： 3+（-5）=-25+（-5）=0（-5）+5=0 如果物体第1秒向右（或左）运动5m，第2秒原地不动，两秒后物体从起点向右（或左）运动了5m，写成算是就是5+0=5 或 （-5）+0=-5 新知学习一、有理数的加法通过上面的算式我们发现有理数加法的运算法则：有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)探究应用：（1）下列运算中正确的是( )(A)(8)(10)(108)2(B)(3)(2)(32)1(C)(5)(6)(65)11 (D)(6)(2)(62)8（2）足球比赛中，甲队攻入乙队两球，同时被乙队攻入五球，则计算甲队净胜球数的算式为_（3）2的相反数与的倒数的和的绝对值等于_有理数加法运算规律：我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？ 计算 30+(-20) (-20)+30两次所得的和相同吗？ 换几个加数再试一试.计算 8+(-5)+(-4) 8+(-5)+(-4)两次所得的和相同吗？ 换几个加数再试一试.我们可以得到，在有理数的加法中：两个数相加，交换加数的位置，和不变.-加法交换律：_三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.-加法结合律：_探究应用：（1） （2）(7)(21)(7)(21)（3）0(3.71)(1.71)(5) （4）（5）小结：有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.二、有理数的减法在实际问题中，有事还要涉及有理数的减法.例如，某地一天的气温是，这天的温差就是4-（-3）.这里用到正数和负数的减法.减法是与加法想法的运算，计算4-（-3），上就是要求出一个数x，使得x与-3相加得4.因为7与-3相加得4，所以x应该是7，即 4-（-3）=7另一方面，我们知道： 4+（+3）=7于是： 4-（-3）=4+（+3）我们再尝试着换几个数试试：9-8,9+（-8）；15-7,15+（-7），从中又能有新发现吗？有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.探究应用：（1）计算 (1)(15)(11)_； (2)(15)(11)_；(3)0(3.75)_； (4)49_；(5)9_0 (6)aba_（2）判断正误( )两数之差一定小于被减数( )若两数的差为正数，则两数都为正数( )零减去一个数仍得这个数( )一个数减去一个负数，差一定大于被减数下面我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算：例：计算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）分析：这个式子中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为 （-20）+（+3）+（+5）+（-7） 使问题转化为几个有理数的加法.（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）=（-20）+（-7）+（+5）+（+3）=(-27)+(+8)=-19式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20,3,5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式子中的括号和加号，把它写为-20+3+5-7，那么上述运算过程也可以简单地写为：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=-20+3+5-7=-20-7+3+5=-27+8=-19归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：三、有理数的乘法我们已经熟悉正数及0的乘法运算，引入负数以后，怎么进行有理数的乘法运算呢？下面，我们仍然借助数轴来研究有理数的乘法：上图中，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰在l上的点O为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正（1）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？ 3分钟后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可以表示为：（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？ 3分钟后蜗牛应在l上点O左边6cm处，这可以表示为：（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？ 3分钟后蜗牛应在l上点O左边6cm处，这可以表示为：（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？ 3分钟后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可以表示为：观察上面四个式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘正数积为_数，负数乘正数积为_数，正数乘负数积为_数，负数乘负数积为_数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_.于是，我们得到：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.探究应用：（1）下列计算正确的是( )(A)(B)(C)(D)（2）直接将答案写在横线上：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘.下列各式的积是正的还是负的？几个不是0的数相乘，积的符号是负因数的个数之间有什么关系？归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是_时，积为正数； 负因数的个数是_时，积为负数；同时，我们还能得到有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律)三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.探究应用：（1）式子的符号为_（2）两个有理数之积是0，那么这两个有理数( )(A)至少有一个是0(B)都是0(C)互为倒数 (D)互为相反数（3）这个运算应用了( )(A)加法结合律(B)乘法结合律(C)乘法交换律(D)分配律（4）四、有理数的除法怎样计算呢？根据除法的意义，这就是要求一个数，使它与（-4）相乘得8. 因为，所以 另一方面，我们有，于是有我们可以得到有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.因为有理数的除法可以化成乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后就出结果例：探究应用：（1）若两数之积为1，则这两数互为_；若两数之商为1，则这两数_；若两数之积为1，则这两数互为_；若两数之商为1，则这两数互为_（2）零乘以_都得零，零除以_都得零（3）化简下列分数：=_；=_.（4）填空：(1)_；(2)_；(3) _；(4)_；五、有理数的乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方，记作，乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。例如，中，底数是9，指数是4，读作9的4次方，或9的4次幂.一个数就可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是，指数1通常省略不写.根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正式.显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0注意： 探究应用：（1）对于(2)6，6是_的指数，底数是_，(2)6_.对26，6是_的指数，底数是_，26_（2）计算：(1)34_； (2)34_； (3)(3)4_；(4)(3)4_；_； _； _；_；（3）当n为正奇数时，(a)n_；当n为正偶数时，(a)n_（4）的计算结果是( )(A)(B)(C)(D)基础演练模块一、有理数的加法【习题1】 计算下列各题： (1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)； (3)(一1.08)+0； (4)()+() （5）(-22)+(-27)+(+27)； （6）(-22)+(-27)+(+27) 【变式练习】计算：（1）（2）（3）【习题2】 小明家冰箱冷冻室的温度为-5，调高4后的温度为（）A4 B9 C-1 D-9【习题3】 绝对值不大于10的所有整数的和等于（）A-10 B0 C10 D20【习题4】 已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= _模块二、有理数的减法【习题5】 计算 （1） （2） 【变式练习】计算（1） 【习题6】 对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（）A B C D【习题7】 a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a+b，a-b中，负数的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个【习题8】 两个数的差是负数，则这两个数一定是（）A被减数是正数，减数是负数 B被减数是负数，减数是正数 C被减数是负数，减数也是负数 D被减数比减数小【习题9】 如果a，b均为有理数，且b0，则a，a-b，a+b的大小关系是（）Aaa+ba-b Baa-ba+b Ca+baa-b Da-ba+ba模块三、有理数的乘法【习题10】 下面计算正确的是（）A-5（-4）（-2）（-2）=5422=80 B12（-5）=-50 C（-9）5（-4）0=954=180 D（-36）（-1）=-36【变式练习】 _【变式练习】（1） （2）；（3） （4） 【习题11】 若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（）A都是负数 B一正一负且正数的绝对值大 C都是正数 D无法确定【习题12】 、为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A，同号 B，异号 C，异号 D同号【习题13】 已知|x|=3，|y|=2，且xy0，则x+y的值等于（）A5或-5 B1或-1 C5或1 D-5或-1【习题14】 有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c|（3）（a-b）（b-c）（c-a）0 （4）|a|1-bc其中正确的命题有（）A4个 B3个 C2个 D1个模块四、有理数的除法【习题15】 下列关于0的说法中，正确的个数是（）0既不是正数，也不是负数；0既是整数也是有理数；0没有倒数；0没有绝对值A1 B2 C3 D4【习题16】 下列运算有错误的是（）A B C8-（-2）=8+2 D2-7=（+2）+（-7）【变式练习】计算：（1） （2）（3）； （4）；【习题17】 两个有理数的商为正，则（）A和为正 B和为负 C至少一个为正 D积为正数【习题18】 用“”或“”填空（1）如果，那么 _ 0 ； （2）如果，那么_0 .模块五、有理数的乘方【习题19】 计算：（1） （2）【习题20】 计算：【习题21】 观察下面三行数： （1）第行按什么规律排列？（2）第行与第行分别有什么关系？（3）取每行第10个数求这几个数的和？课后练习【习题1】 式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）A2+1-3+2 B-2+1+3-2 C2-1+3-2 D2-1-3-2【习题2】 计算之值为何（）A-1.1 B-1.8 C-3.2 D-3.9【习题3】 下列判断：若ab=0，则a=0或b=0；若，则a=b；若，则；若，则是正数其中正确的有（）A B C D【习题4】 下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）|-3|=-6；（3）5 5=5；（4）23=6，正确的个数有（）A4个 B3个 C2个 D1个【习题5】 已知|x|=0.19，|y|=0.99，且，则x-y的值为（）A1.18或-1.18 B0.8或-1.18 C0.8或-0.8 D1.18或-0.8【习题6】 计算：-2-（-3）+（-8）+42= _；（2）计算：（-42）= _.【习题7】 若abc在数轴上位置如图所示，则必有（）Aabc0 Bab-ac0 C（a+b）c0 D（a-c）b0【习题8】 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，a-b，ab，这五个数中，正数的个数是（）A2 B3 C4 D5【习题9】 定义ab=，则（12）3=_