平面向量全章习题.doc

《平面向量》学法指导
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。
在本模块的学习中，我们首先将了解向量丰富的数学背景（有向线段）和物理背景（位移、速度、力和做功）。
有向线段具有长度和方向，向量也具有大小和方向，两者的几何特征是完全一致的，因此我们常用有向线段来表示一个向量。
向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象，因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习，尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。
向量的运算的学习要从一些实例开始，如从位移的合成引入向量的加法（减法），从速度的倍数引入数乘向量，从“做功”引入向量的数量积。同时我们要注意充分利用几何图形语言,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。
在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、力学问题和其它一些实际问题，如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。由可知，，此即求距离和线段长度的向量法 ；由（为向量夹角），知=利用这个公式可以求已知方向向量的两条直线的夹角； 求两条直线夹角常见如已知两条直线方程，则可由方程求出方向向量进而求夹角；再如，判断两条直线的位置关系，求直线方程，求符合某些条件的曲线方程等，均可利用向量法进行；另外，由于空间向量是平面的自然推广，由于向量的平移不变性，每两个空间向量均可视为两个平面向量，所以在立体几何中模块中，对向量的应用将更加广泛，对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。
因此在学习中要注意引导学生形成向量几何观念，掌握一些常见问题的处理方法，初步形成向量几何的方法体系。

练习一（§1.从位移、速度、力到向量）
1、下列说法正确吗？
①物理中的矢量是既有大小又有方向的量，所以只要两个矢量的大小和方向都一致，就是相等的矢量；
②数学中规定，具有方向和长度的线段称为有向线段，所以两条有向线段相等只要它们的长度和方向一致即可；
③一个矢量就是一个向量；
④一个向量就是一条有向线段，一条有向线段就是一个向量。
2、一张正方形桌子边长1m，一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿直线爬到西北角；另一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿桌子边沿先爬到西南角，再爬到西北角。
①试选择适当的比例尺，画出这两只小蚂蚁的位移；
②试问：这两只小蚂蚁的位移一样吗？为什么？
3、下列说法正确的是（ ）

4、在①平行向量不一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤不共线的向量一定不相等；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，正确的命题有 ．
5、两个正三角形交叉叠放如图，各交点为所在边的中点，试找出图中分别相等、相反的向量。
A B C
D E

F G H
6、试用有向线段表示下列事件中出现的矢量（位移或速度）：
①某次台风中心风速达到了每秒45米，从沿海某地登陆后向西南方向移动；
②某缉私艇从中心出发，向东南方向行驶15浬到达A岛后，又向正东行驶10浬到达目的地；
7、下列说法正确的是（ ）
A、零向量是长度为零的向量，没有方向；
B、单位向量是长度为单位1的向量，也没有方向；
C、零向量没有方向，但单位向量有方向；
D、零向量和单位向量都有方向。
8、①、两个向量平行或共线在本质上是一致的，指的都是表示这两个向量的有向线段所在直线平行或重合；②、两条有向线段平行或共线在本质上也是一致的；③、零向量和任何向量都是共线向量；④、任何两个零向量都是相等的向量；⑤、如果不知道两个零向量的方向，那么我们就无法断定这两个零向量是否相等。在以上说法中，正确的有___________________________________。
思考·探索·交流
一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用所学知识加以解释。
练习二（§2.从位移的合成到向量的加法）
1、如图，已知向量a，b，求作a+b，a - b，b - a，a - b+a，a+b - a。
b a

2、一条小船渡河，当河水静止时，小船航行的速度大小是6千米/小时，方向北偏西30o。某日河水的速度大小是3千米/小时，方向正东。问小船到岸时的实际运动速度的大小和方向如何？
3、已知向量a,b,c分别表示物体A受到的三个方向上的力：西北方向2N，正东方向N，正南方向N，试求物体A受到的合力。
4、若M是线段AB的中点，则 （ ）
A． B． C． D．以上均不正确
5、下列说法或表达式中，正确的是（ ）
A、若向量a+m=b+m，则向量a=b；
B、若向量a+b=c+d，则向量a=b且c=d，或向量a=c且b=d。
C、.
D、
6、化简下列各式
①、
②、
③、
☆7、如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点。求证：。
E D
A

B
C F

☆☆8、O是平行四边形ABCD外任意一点，求证：。
O
D C

A B

思考·探索·交流
如图，用两根绳子吊起一重物W，∠ACW=150°，∠BCW=120°，且测得A处所受力的大小为kg，B处所受力的大小为5kg，求重物W的重量。

练习三（§2向量的减法）
1、已知向量a,b,c,求作：①、a-b；②、a+b-c;③、a-b+c;④、a-b-c

a b c
2、已知向量a,b,c，d分别表示下列位移：“向东南50米”、“向东20米”、“向西10米”、“向北30米”，请说明向量a+a-a，a+b-c，a+c-d的意义。
3、填空：
①、；
②、；
③、；
4、已知向量=“向南走30km”，=“向东走20km”，则=_________，=_________，与所在直线的夹角的余弦值=______________，与所在直线的夹角的正弦值=______________。
5、下列说法正确的是（ ）
A、若，则,所在直线互相垂直。
B、若，则=。
C、若则=。
D、以上都不对。
6、如图.点M是的重心,则

☆7、当两个向量，不共线时，求证：。（提示：利用三角形两边之和与差与第三边的关系）。
思考·探索·交流
如图，细绳l长为100cm,，最大承重10kg,重物W为6kg，通过细绳m向右拉起重物。若在拉起的过程中，尽量使细绳m保持水平状态，问最多将重物提高多少？

练习四（§3从速度的倍数到数乘向量）
1、若向量表示列车向正东方向行驶了200公里，向量表示列车向正北方向行驶了200公里，则2，-0.5，2+2 各表示什么意义？
2、任作两个向量，不共线，求作向量2-3，-2.5+2
3、已知两个向量，不共线，若向量2-3与0.5+k共线，求实数k的值。
☆4、求证平面内A与B，C两点(B,C两点不重合)共线的充要条件是对平面内任一点P，存在实数k,m，使得，且k+m=1。
5、一质量为25Kg的物体分别沿着倾角为45o和60o的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。
6、在⊿ABC中，M，N分别是AB，AC边上的中线，求证：
7、在⊿ABC中，P是边BC上的中点，求证：
8、在梯形ABCD中，AB||CD，M，N分别是两腰AD，BC的中点，求证：
思考·探索·交流
设是不共线的两个向量，已知若A，B，D三点共线，求k的值。

练习五（平面向量的坐标一）
1. 与向量=(3,4)共线的单位向量是 ( )
A.(-,-) B.(0,1) C.(6,8) D.(,)
2、（04安徽春招）已知向量集合，，则＝（ ）
A．{（1，1）} B．{（1，1），（－2，－2）}
C．{(－2，－2)} D．
3、已知且，则x的值为（ ）；
4、若A（-2，3），B（4，-5)，C（-6，-7），则
5、若向量则
6、若向量
7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中、，且，求点的轨迹方程。
思考·探索·交流
已知点A（3，4），B（5，6），C（7，8），若，试求当为何值时，点P在第三象限内？
练习六（平面向量的坐标二）
1、设A（-1，0），B（0，2），C（4，3），D（3，1），则四边形ABCD是（ ）
A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形
2、

3、（04武汉）若
A、（2，1）； B、（-2，1）； C、（1，-2）； D、（-2，-1）。
4、已知点A（0，1），B（6，5），
①若点C是线段AB的中点，试求点C的坐标；
②若点C是线段AB的一个三等分点，试求C点坐标。
5、若向量试证明：=（x1+x2,y1+y2).
6、已知一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为（1，0），（0，2），（-1，-2），求第四个顶点的坐标。
7、已知点A（0，1），B（2，3），C（4，x），试求A，B，C三点共线时x的值。
思考·探索·交流
已知⊿ABC中，A（x1,y1）,B(x2,y2)，C(x3,y3)，求⊿ABC的重心G的坐标。

练习七（从力的做功到向量的数量积一）。
1、设为任意非零向量，则的值为（ ）
A、0； B、正数； C、负数； D、不能确定。
2、若为任意向量，则下列等式不成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、若为任意向量,下列说法正确的是（ ）
A、若，则； B、若，则
C、若，则 D、。
4、下列说法正确的是（ ）
A、对任意实数，都有； B、；
C、0=0； D、
5、①、已知向量的夹角为30o，且，试求
②、已知向量的夹角为150o，且，试求
③、已知向量的夹角为0o，且，试求
④、已知向量的夹角为90o，且，试求
6、已知向量的夹角为30o，且，试求
7、已知且= ­ 3，试求向量的夹角。
思考·探索·交流
如图，重物M质量为10kg，在地面上受拉力的作用而前进了5m，已知拉力的大小为8N，问拉力对重物所做的功的大小是多少？

练习八（从力的做功到向量的数量积二）
1、下列说法正确的是（ ）
A、一个向量在另一个向量方向上的射影也是一个向量；
B、一个向量在另一个向量方向上的射影是一个数量；
C、一个向量在另一个向量方向上的射影是一条有向线段；
D、一个a向量在另一个向量方向上的射影是一个非负数。
2、已知，则两两的夹角为__________________________；
3、（06安徽卷）在ABCD中，M为BC的中点，则。
4、在⊿ABC中，若则⊿ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形；B、直角三角形；C、等边三角形；D、以上均不对。
5、已知是非零向量且满足，求与的夹角。
6、用向量法证明等腰三角形底边上的中线和底边垂直。
7、用向量法证明等腰梯形上下底边中点的连线和底边垂直。
思考·探索·交流
（2004全国湖北卷）如图，在Rt⊿ABC中，已知|BC|=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值。

练习九（平面向量数量积的坐标表示）
1、已知向量，则=________________；=______________；=__________________；的夹角的余弦=____________________。
2、（04天津）已知向量，若与垂直，则实数k的值等于______________；
3、（04重庆）若向量与的夹角为60o，，则向量的模是（ ）
A、2； B、4； C、6； D、12。
4、已知向量，向量，则的最大值是______．
5、设函数，其中向量，，．若且，求；
6、已知圆C的方程为x2+y2+2x+4y- 4=0，求过点P(-1,1)作圆的切线方程。
7、已知直线l:x-2y+3=0，m：4x-8y=7，试求两条直线的夹角的余弦。
思考·探索·交流
平面内有向量点Z为直线OP上一动点，当取最小值时，求及cos∠AZB.

练习十（向量的应用举例一）
1、已知，则的取值范围为（ ）
（A）（B）（C）（D）
2、已知点A（16，0），B（0，12），点C在线段AB上且，则点C的坐标为（ ）
A、；B、（4，3）；C、（12，3）；D、（4，9）
3、已知直线l和m均过原点O，且方向向量分别为则直线l和m的夹角为（ ）

4、平面内有三点A（2，3），B（5，2），C（1，0），则三角形ABC的形状为（ ）
A、等边三角形；B、等腰直角三角形；C、等腰非直角三角形；D、直角非等腰三角形。
5、已知，直线l过点P（0，1），且其方向向量与平行，求直线l的方程。
6、已知直线l过点A（1，2）且和向量垂直，求直线l的方程。
7、已知直线l：x+2y+3=0，直线m过点A（4，5）和直线l平行，试求直线l,m之间的距离。
思考·探索·交流
(04.合肥)在平面直角坐标系中，设向量
且其中x2-x1=x3-x2=x4-x3,y2-y1=y3-y2=y4-y3，求证：四边形ABCD是平行四边形。

练习十一（向量的应用举例二）
1、光滑的斜面上有一重物M匀速滑下，若斜面长为10米，倾斜角为45o，物体的重量为1Kg，则重力做的功为___________________。
2、在阳光垂直照射地面的中午，一只小鸟从50米高处沿45o角俯冲而下，则它在地面上的影子发生的位移大小是______________________；若小鸟俯冲的速度的大小是每秒2米，则它的影子移动的速度大小是_____________________。
3、一质点P从位置A（0，1）运动到B（2，3），然后又沿东南方向前进了5个单位到达位置C，求质点P发生的位移大小是_________________________________。
4、是平面上一定点，对，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5、已知的顶点坐标分别为A（x1,y1)，B(x2,y2），C（x3,y3)，求其重心G的坐标。
6、若是同一个起点的两个不共线的非零向量，试问：当实数t取何值时，三个向量的终点在同一直线上？
7、已知直线l过点A（1，2）和点B（3，4）的中点且和AB垂直，求直线l的方程。
思考·探索·交流
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，看见塔在东北方向。若沿途测得塔的最大仰角为30o,求塔高。
《平面向量》单元测试题
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A、向量是共线向量，则点A，B，C，D必共线。
B、两个相等向量的起点和终点均须一致；
C、共线向量只须起点一致，终点可以不一致；
D、两个平行向量就是共线向量。
2、在ABCD中，向量等于（ ）

3、下列说法正确的是（ ）
A、当表示两个向量的有向线段的起点和终点完全重合时，这两个向量才能称为相等向量；
B、大小为5m，方向指向东南的位移记作，大小为5N，方向也指向东南的力记作，则,可视为两个相等的向量；
C、；
D、
4、已知向量是两个不共线的单位向量，夹角为30o则下列向量共线的一组是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、设为两不共线的向量，则与共线的充要条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
6、下列说法中正确的序号是（ ）
①平面内只有互相垂直的单位向量可作为基底；
②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；
③零向量不能作为基底中的向量；
④两个基底向量的数量积等于零.
(A)①③ (B)②④ (C)③ (D)②③
7、（03辽宁）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点、），则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8、（04上海春招）在中，有命题
①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.
上述命题正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
9、（04全国改编）已知向量、满足：||=1，||=2，|－2|=2，则|2+|=（ ）
A．21 B． C． D．
10、已知且点在线段延长线上，使，则点坐标是（ ）
A、(3,1) B、(1,3) C、(6,-13) D、(6,13)

二、填空题
1、向量、满足（－2）·（2+）=－6，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于______ ．
2、（04浙江改编）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于___________．
3、在ABCD中，已知=（1，2），=（5，6），O为ABCD的中心，则的坐标是__________。
4、在⊿ABC中，若，则角C的大小是______________________。
三、解答题
1、若的边长a,b分别为方程的两根，的面积为，求第三边c.
2、若点A（-1，-1），B（1，y），C（x，5）三点共线，且它们所在直线的方向向量的坐标为（1，2），试求实数x,y的值。
3、已知点A（-1，-1），B（2，3），C（1，-2），D（-2，4），且AB和CD交于点P，试用向量法求点P的坐标。
4、用向量法证明梯形的中位线平行于底边，长度为两底和的一半。
5、已知顶点A（-1，-1），B（-1，3），C（2,-1）,试求外接圆方程。

参考答案:
练习一
1.①×; ②×.我们并没有定义有向线段相等;③ ×; ④×;
2. ①略; ②从起点到终点的位移一样,因为两个位移的起点和终点一致;
3.C;
4.①④⑤;
5.略;6.略;7.D;8. ①④⑤;
思考·探索·交流
提示：可由向量的合成与分解知识推导（也可参照物理上的矢量的合成与分解），小孩的体重一定，当父亲悬空拎起孩子的时候，孩子胳膊上受到的力较大。

练习二
1. 略;
2.
3. ;
4. C;
5. A;
6. ①;②;③;
7. 证明:所以,该式得证.

8. 证明: 所以,该式得证.

1、 思考·探索·交流
提示：如图，可求得重物的重量为10kg。

练习三(§2向量的减法)
1. 解略;
2. 解略;
3. ①;②2;③;
4.
5. C;
6. ;
7. 证明:
对过点A作如图.以AB,AC为边作ABMC,
并连接AM,则
在△ABM中,|AB|+|BM|>|AM|
即

在△ABC中,
在△ABM中,|AB|-|BM|<|AM|,
在△ABC中, |AB|-|AC|<|BC|,
综上所述,命题得证.
2、 思考·探索·交流
提示：重物被拉至最高点处的受力分析如图。利用解三角形知识可求得此时离开原位置的高度为40cm. 。

练习四.
1. 略;
2. 略;
3. 解:
4.
证明：如图，A与B，C共线，则，

5. 解:
若=60o,滑动摩擦力大小为,方向沿斜面向上;支持力大小为,方向垂直斜面向上;
若=45o,滑动摩擦力和支持力大小均为,方向分别沿斜面向上和垂直斜面向上.
6.

7.

8.

思考·探索·交流
提示：k=-1。

练习五.
1. A;
2. D;
3. 1;
4.
5.
6. 0;
7. x+2y-5=0.
思考·探索·交流
提示：。
练习六
1. D;
2. B;
3. B;
4. ①C(3,3); ②C(2,)或(4,);
5. 证明:

6. 设A(1,0),B(0,2),C(-1,-2).设第四个顶点M(x,y).若对角线是AB,CM,则由它们中点的坐标为(0.5,1)可求得M(2,4);若对角线是AC,DM,则由它们的中点坐标为(0,-1)可求得M(0,-4);若对角线是BC,AM,则由它们的中点坐标为(-0.5,0)可求得M(-2,0).
7. x=6.
思考·探索·交流
提示：。

练习七.
1. D;
2. D;
3. D;
4. B;
5. ①
②
③
④
６．
7.

思考·探索·交流
提示：40Nm。
练习八
1、 B；
2、 120°；
3、 ；
4、 C；
5、 解：因为，所以从而得到，从而，所以得到的夹角为0。

6、 证明：

所以AM⊥BC。
7、 证明：

所以，MN⊥DC。
思考·探索·交流
提示：

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

练习九
1、=-56；=；=；
2、-1;
3、6；
4、13；
5、；
6、y=1；
7、
思考·探索·交流
提示：Z（4，2），=（4，2），cos∠AZB=.
练习十
1、 B；
2、 C；
3、 A；
4、 B；
5、 3x+2y-2=0;
6、 2x-3y+4=0;
7、 k=;d=.
思考·探索·交流
提示：由题意知，x2+x4=x1+x3，y2+y4=y1+y3，从而获知AC和BD的中点重合，从而四边形ABCD为平行四边形。

练习十一
1、；
2、50m;m/s;
3、；
4、B；
5、；
6、t=
7、x+y-5=0;
思考·探索·交流
提示：最大仰角在人离塔最近时取得，此时可由平面几何知识知离塔为10米，进而可求得塔高为10米。

单元测试题
一、 DADCC CACBD；
二、 1、2、-25；3、（-3，-4）；4、120°；
三、 1、6或10；
2、 x=2,y=3;
3、
４、

５、设ＢＣ中点为Ｐ，则Ｐ（，１）。