利用法向量解立体几何题.doc

利用法向量解立体几何题一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角=或-，因为是锐角，所以cos=, 不需要用法向量。nA1、运用法向量求直线和平面所成角设平面的法向量为=（x, y, 1)，则直线AB和平面所成的角的正弦值为sin= cos(-) = |cos| = 2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是-是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离 d =ABcosBAA=略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AAEF，交a于A，则，所以BAA=（或其补角）异面直线a、b的距离d =ABcosBAA= *其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得 解方程组可得。2、求点到面的距离求A点到平面的距离，设平面的法向量法为，在内任取一点B，则A点到平面的距离为d =，的坐标由与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面的距离，设平面的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面内任取一点B，则直线a到平面的距离d = 4、求两平行平面的距离设两个平行设平面、的公共法向量法为，在平面、内各任取一点A、B，则平面到平面的距离d = 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面、，两个面、的法向量为，则 四、应用举例：例1：（04年高考广东18）如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则例2：（04年高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（, 0, 1), 设平面FAB的法向量为1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos| =例3：（04江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD1, 棱长为4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量， 直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos|= 为锐角，直线AP与平面BCC1B1所成的角为arcsin () 设平面ABD1的法向量为=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4）由， 得 =（1, 0, 1)， 点P到平面ABD1的距离 d = 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0） 设A1O与B1C的公共法向量为，则 A1O与B1C的距离为 d =例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） 设面BDFE的法向量为，则 A1到面BDFE的距离为d =