平面解析几何初步知识点1.doc

平面解析几何初步
一、直线的概念与方程
1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l的倾斜角。当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0O.倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是
2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。通常用字母k来表示，即=_________.
当= 时,直线平行于轴或者与轴重合;当 0时,直线的倾斜角为锐角;当< 0时,直线的倾斜角为 ;当倾斜角α=90o时，直线的斜率________.
3.直线的斜率公式：直线上两点A(,),B(,),当=时,直线的斜率 , 当时,直线的斜率为
4.直线方程的五种表达形式及适用条件
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y=kx+b
k—斜率
b—纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)—直线上已知点，k ──斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
+=1
a—直线的横截距
b—直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式

A、B不能同时为零
5.几种特殊的直线方程
（1）过点垂直于轴的直线的方程为：
过点垂直于轴的直线的方程为
（2）已知直线的纵截距为，可设其方程为：
（3）过原点且斜率为的直线的方程为
6．两条直线的位置关系：
（1）直线平行的条件： 两条不重合的直线，根据两条直线平行的定义及性质可知//,再由与的关系可知:时 或者均 ；反之或者均不存在时两条直线平行。
注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。
（2）直线垂直的条件：两条直线的倾斜角为则两条直线 .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 .
（3）
方程
直线,
直线，
直线
直线,

关

系
重合

平行

或
垂直

相交

7.直线的交角：
⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.
⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.
8. 距离公式
（1）两点间的距离公式：平面内任意两点,之间的距离为
（2）点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.
(3) 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
，它们之间的距离为，则有.
9.直线系
⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，
①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，
②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l：
则①方程()，λ是参变量，表示与l平行的直线系；
②方程,λ是参变量，表示与l垂直的直线系。
⑶过两直线的交点的直线系方程为
为参数，不包括在内）
二、圆的方程
1.圆的方程的几种表达形式
（1） 圆的标准方程：，其中点为圆心，为半径.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
注：特殊圆的方程：
①与轴相切的圆方程
②与轴相切的圆方程
③与轴轴都相切的圆方程 （2）圆的一般方程： .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
（3）圆的参数方程：（为参数）.
（4）圆的直径式方程： ,其中
是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）
2.用待定系数法求圆的方程：
（1）根据提议，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
（3）解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
三、点、线、圆的位置关系
1.点和圆的位置关系：给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
2.直线与圆的位置关系
⑴代数法：直线：，圆：联立得方程组
一元二次方程
（2）几何法：设圆：；直线：；
圆心到直线的距离， 则
注：若圆C的半径为R，AB是长度为L的弦，弦心距为d，则_______________.
3.直线与圆相切的问题
（1）.求过圆上的一点圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程;
（2）.求过圆外一点圆的切线方程:
①(几何方法)设切线方程为即,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得,切线方程即可求出.
②(代数方法) 设切线方程为,即代入圆方程得一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出.
注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.
②过圆上一点的切线方程为.
4.圆和圆的位置关系：
（1）设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，为圆心距，则两圆位置关系如下：
①2两圆外离；
②两圆外切；
③两圆相交；
④两圆内切；
⑤两圆内含。
（2）设两圆,
，若两圆相交，则其公共弦方程为

（3）过两圆,的交点的圆系方程为： （不包含圆）
四、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：
（1）如图，是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,OB的方向为正方向，建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）A叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.
3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）. 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）.有序实数组
1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）。
（4）点关于轴的对称点的坐标为
点关于轴的对称点的坐标为
点关于轴的对称点的坐标为
点关于平面的对称点的坐标为
点关于平面的对称点的坐标为
点关于平面的对称点的坐标为
点关于原点的对称点的坐标为
2.空间两点间的距离公式
空间中任意一点到点之间的距离公式

特殊的，点到原点的距离为