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第五章 第五节 定积分在几何学上的应用

教学目的：掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。

教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算，体积的计算，平面曲线弧长的计算、平面曲线弧长的计算。

教学难点：面积元素的选取、体积元素的选取、弧长元素的选取

教学内容：
一、定积分的元素法
1、能用定积分计算的量，应满足下列三个条件
(1)、与变量的变化区间有关；
(2)、对于区间具有可加性；
(3)、部分量可近似地表示成。
2、写出计算的定积分表达式步骤
(1)、根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；
(2)、设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，
求出它所对应的部分量的近似值
( 为上一连续函数)
则称为量的元素，且记作。
(3)、以的元素作被积表达式，以为积分区间，得

这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式

因此，也称此法为微元法。
二、平面图形面积的计算
1．直角坐标的情形
由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。

其中：为面积元素。
由曲线 与 及直线 ，( )且所围成的图形面积。

其中： 为面积元素。
例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。
解：1、先画所围的图形简图
解方程 , 得交点： 和 。

2、选择积分变量并定区间
选取为积分变量，则
3、给出面积元素
在上，
在上，
4、列定积分表达式

另解：若选取为积分变量，则

显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2 求椭圆所围成的面积 。
解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。

取为积分变量，则 ，

故 ( * )
作变量替换
则 ，
( * * )

2极坐标情形
设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。

取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。
的面积可近似地用半径为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即

从而得到了曲边梯形的面积元素
从而
例3 计算心脏线所围成的图形面积。
解： 由于心脏线关于极轴对称，

二、体积
1．旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。
计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。

取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积元素为

所求的旋转体的体积为

例4 求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。
解：取为积分变量，则

2．平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )
由旋转体体积的计算过程可以发现：
如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。

取定轴为轴， 且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内， 以表示过点且垂直于轴的截面面积。
取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积。
即：体积元素为
于是，该立体的体积为
例5 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。
解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体。

在处，用垂直于轴的平面去截立体所得截面积为

例6 计算摆线的一拱

以及所围成的平面图形绕轴旋转而生成的立体的体积。

解：

请自行计算定积分
三、平面曲线的弧长
1．直角坐标情形
设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。

取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。
于是，弧长元素为

弧长为

例8 计算曲线的弧长。
解：

2．参数方程的情形
若曲线由参数方程

给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成

的形式，从而有

例9 计算半径为的圆周长度。
解： 圆的参数方程为

3．极坐标情形
若曲线由极坐标方程

给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。
曲线的参数方程为

此时变成了参数，且弧长元素为

从而有

例10 计算心脏线的弧长。
解：

小结：求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积、旋转体体积
平行截面已知的立体的体积平面曲线弧长的概念，弧微分的概念
求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下
作业：P154 1，2，4，6，8，10，12，13。