53定积分的换元法和分部积分法习题.doc

1．计算下列定积分：
⑴；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分换元法
令，则，当从单调变化到时，从单调变化到，于是有
。
⑵；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分换元法
令，则，当从单调变化到1时，从1单调变化到16，于是有
。
⑶；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分换元法
令，则，当从0单调变化到时，从1单调变化到0，于是有
。
⑷；
【解】被积式为，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：，余下的，这样得到的便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分换元法
令，则，当从0单调变化到时，从1单调变化到，于是有

。

⑸；
【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：，使之可以换元成为基本可积形式：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分换元法
令，则，当从单调变化到时，从单调变化到，于是有

。
⑹；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令，当从0单调变化到时，从0单调变化到，且，，使得

。
⑺；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令，当从单调变化到1时，从单调变化到，且，，使得

。
⑻（）；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令，当从0单调变化到时，从0单调变化到，且，，使得

。
⑼；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令，当从1单调变化到时，从单调变化到，且

使得
这时，再令，当从单调变化到时，从单调变化到，
又得。
⑽；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：
，
现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令，当从0单调变化到1时，从单调变化到0，从而对应从单调变化到0，
而且，，于是

。
⑾；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
【解法一】令，当从1单调变化到4时，从1单调变化到2，且由此得，，，于是

。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令，当从1单调变化到4时，从2单调变化到3，且由此得，，，于是

。
⑿；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
【解法一】令，当从单调变化到1时，从单调变化到0，且由此得，，，于是

。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令，当从单调变化到1时，从单调变化到，且由此得，，，于是

。
⒀；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
令，当从单调变化到1时，从3单调变化到1，且由此得，，，于是

。
⒁；
【解】由于，为含复合函数的积分，且微分部份仅与复合函数之中间变量的微分相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
。
【解法二】应用定积分的换元法
令，当从1单调变化到2时，从1单调变化到，且由此得，于是
。
⒂；
【解】为含复合函数的积分，且微分部份与复合函数之中间变量的微分仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
。
【解法二】应用定积分的换元法
令，当从0单调变化到1时，从0单调变化到，且由此得，于是 。
⒃；
【解】为含复合函数的积分，且微分部份与复合函数之中间变量的微分相等，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分的换元法
令，当从1单调变化到时，从1单调变化到3，且由此得，于是
。
⒄；
【解】为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分：

。
⒅；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
令，当从0单调变化到2时，从1单调变化到，且由此得，，，于是

。
⒆；
【解】由于，
所以

于是有
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

。
【解法二】应用定积分的换元法
令，当从单调变化到0时，从0单调变化到1，当从0单调变化到时，从1单调变化到0，且由此得，于是

。
⒇。
【解】由于，
所以

。
2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：
⑴；
【解】由于函数是奇函数，即知。
⑵；
【解】由于函数是偶函数，且有

即得

。
⑶；
【解】由于函数是偶函数，所以

。
⑷。
【解】由于函数是偶函数，所以

。
3．证明：（）。
【证明】作倒数变换，当从单调变化到1时，从单调变化到1，
且有，
于是有
，
证毕。
4．证明：。
【证明】由于，
其中，对于，作如下的处理：
作变换，当从单调变化到时，从单调变化到0，
且有，，
于是，，
从而得 。证毕。

5．设为连续函数，证明：
⑴当是偶函数时，为奇函数；
【证明】当是偶函数时，有，
使得 ，
可知此时为奇函数，证毕。
⑵当是奇函数时，为偶函数。
【证明】当是奇函数时，有，
使得 ，
可知此时为偶函数，证毕。
6．设是以为周期的连续函数，证明：对任意的常数，有
。
【证明】题设是以为周期的连续函数，可知成立，
由于

其中，对于，作如下的处理：
令，当从单调变化到时，从0单调变化到，
使得
，
于是有 ，
证毕。
7．计算下列定积分：
⑴；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，

。
【解法二】应用列表法

可得 。
⑵；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选为先积分部份，

。
（含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）
⑶；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选为先积分部份，

。
⑷；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，

。
【解法二】应用列表法

可得
。
⑸；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选为先积分部份，

。
⑹；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，

。
【解法二】应用列表法

可得

。
⑺；
【解】被积函数属分部积分第一类，与均可选为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，选为先积分部份，

即得 ，
移项，整理得 。
【解法二】套用分部积分公式，选为先积分部份，

即得 ，
移项，整理得 。
⑻；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选为先积分部份，

。
⑼；
【解】将三角函数降次后求解，

其中，积分中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选为先积分部份，得

，
从而得 。
⑽；
【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有的结构，直接套用分部积分公式得

即得 ，
移项、整理得 。
⑾；
【解】

。
⑿。
【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，
令，当从0单调变化到时，从0单调变化到，
得

。
8．设，求。
【解】是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，因此，无法通过确定的表达式来求解积分，
但明显可见，易于求出：
，
于是，可以通过分部积分法，由转化出从而解决问题：

由题设，可得，
最终得到 。
9．设，求。
【解】由于为常数，可知，
由此得

，
于是，。