53收敛性与稳定性.doc

第五章 常微分方程的差分方法5.3 线性多步法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、教学重点难点1教学重点：开型求解公式，闭型求解公式。2. 教学难点：收敛性与稳定性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解五、正文线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程1 引言 收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：通过某种离散化手段，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。这种转化是否合理，还要看差分问题的解，当时是否会收敛到微分方程的准确解需要注意的是，如果只考虑，那么节点对固定的n将趋向于，这时讨论收敛性是没有意义的，因此，当时，同时时才合理。定义：若一种数值方法对于任意固定的，当（同时）时，有则称该方法是收敛的。考察欧拉公式 （1）设为在条件下按欧拉公式计算的结果， （2）即为局部截断误差。，存在常数C使 （3）考虑整体截断误差（无条件），由于 （4）（1）-（2）得：由常微分方程李普希兹条件得： （5）由（3），（4），（5）式得递推得又，设（T为定数），则故若初值准确，则时，欧拉公式是收敛的。进一步考察一般的单步法：所谓单步法，就是在计算时只用到它前一步的信息。显式单步法的共同特征是，它们都是将加上某种形式的增量得出， 其计算公式的形式为：，称为增量函数，不同的单步法，对应不同的增量函数。定理：单步法满足条件（李普希兹条件），且设初值是准确的， 即 ，则该单步法是收敛的。2稳定性问题对于一个数值方法，即使是收敛的，由于初始值一般都带有误差，同时，在计算过程中还常常产生舍入误差，这些误差又必然会传播下去，对后续的计算结果都将产生影响，数值稳定性问题是讨论这种误差的积累和传播能否得到控制的问题。 定义 若用某一数值方法计算时， 所得到的实际计算结果为，且由扰动引起以后各节点的扰动为，如果总有则称该方法是稳定的。一种数值方法是否稳定，不仅与该数值方法本身有关，而且还与微分方程的右端函数，以及步长h有关，因此稳定性问题比较复杂。为了简化讨论只考虑模型方程 ，欧拉公式稳定性：处有扰动，它的传播使节点产生扰动，假设欧拉公式计算中不再引入新误差，则如果原差分方程的解不增长，即有，就能保证欧拉方法的稳定性。的解不增长，h需要充分小，使。故欧拉方法是条件稳定的。隐式欧拉公式稳定性：由于，恒成立，从而，隐式欧拉公式是恒稳定的。 3 方程组与高阶方程（1）一阶方程组直接推广各种算法到方程组如令，表示节点上的近似解。改进的欧拉公式为：预报校正四阶龙格库塔方法为：（2）化高阶方程为一阶方程组对，引入新变量即可化为一阶方程组：例 将高阶方程y-3y+2y=0,y(0)=1,y(0)=1化为一阶方程组小结本节课我们主要了解了改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。收敛性与稳定性需要大家熟练掌握。作业：课后习题9.