概率论习题答案随机变量的数字特征.doc

第3章 随机变量的数字特征

1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求.
“They found Peking greatly changed”
解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

4 5 6 7

1/5 1/5 1/5 2/5
.

2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

4 5 6 7

4/29 5/29 6/29 14/29
.

3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
， ， 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
。

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

得分的数学期望为
。

5，（1）已知，，求。
（2）设随机变量的分布律为
，
问的数学期望是否存在？
解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
，
因此期望存在。（利用了）（不符书上答案）

6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为，求一天的平均耗水量。
（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

求这种动物的平均寿命。
解：（1）一天的平均耗水量为
（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
（年）。

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为
，
求X的数学期望。
解：
=1/4。

8，设随机变量X具有概率密度如下，求。
。
解：。

9，设随机变量X具有概率密度如下，求。

解：
。
（对第一个积分进行变量代换）

10，设，求数学期望.

解：
。（不符书上答案）

11，设球的直径R服从区间上的均匀分布，求球体积的数学期望。
解：R的概率密度函数为，所以
。

12，设随机变量X的概率密度为，另有X的函数，求数学期望。
解：
（不符书上答案）

13，设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，记，，求。
解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为
， 。
的密度函数为
，。
所以的数学期望为
，
。

14，设随机变量(X,Y)具有分布律
Y
X
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
求，。
解：求出边缘分布律如下
Y
X
0
1
2

0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
0
12/28
2
1/28
0
0
1/28

10/28
15/28
3/28
1
， ，
，
，
。

15，在上题中，求。
解：，
。

16，设随机变量具有概率密度

求。
解：，
，
。

17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律

10 11 12 13 14

0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
所得利润（以元计）为，求。
解：根据题意，可得利润的分布律为

2000 1000 0 -1000 -2000

0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
因此，
（元）

。

18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为

其中为常数，求。
解：，
，
，。
（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为
，
其中是常数。求。
解：，
，
所以，。
本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。

20，设随机变量X具有概率密度为

其中为常数。
（1） 若，求。
（2） 问当时，是否存在？
（3） 若，求。
（4） 问当时，是否存在？
解：（1）当时，。
（2）当时，，即不存在。
（3），当时，，
所以，。
（4）当时，，所以不存在。

21，（1）在14题中，求。
（2）在16题中，求，。
（3）在第二章习题第14题中，求。
解：（1）根据14题中结果，得到
；
因为， ，
所以，，
。
（2）根据16题结果可得：
；
因为 ，
，
所以，，
，
。
（3）在第2章14题中，由以下结果
Y
X
0
1
2

0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38

0.16
0.34
0.50
1
得到，，，，，，
所以，；
，,
.

22，设随机变量(X,Y)具有，，求，。
解：根据题意有
。

。

23，（1）设随机变量相互独立，且有，，求。
（2）设相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求。
解：（1）因为相互独立，所以

。
（2）根据题意，可得，。

。

24，设随机变量(X,Y)具有概率密度

验证X,Y不相关，但X,Y不是相互独立的。
解：因为 ，
，
，
所以，，
即，验证了X,Y不相关。
又因为，；
，
显然，，所以验证了X,Y不是相互独立的。

25，将只球放入只盒子中去，一只盒子装一之球。若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。记为总的配对数，求。
解：引入随机变量定义如下

则总的配对数，而且因为，所以，。
故所以，。

（第3章习题解答完毕）