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平面向量数量积最值问题的求解策略

近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.

一、利用函数思想方法求解
例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.

图 1 1

分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，，。

即
。
因此，当时，取最大值2。
例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求
分析：因为点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的一个关系式，再根据取最小值求
解：设，则

当时，取最小值-8，此时
二、利用向量的数量积求最值
例3、三边长为，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，有最大值。
分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。

解：

图 2 1
当且仅当与同向时，有最大值。
三、利用向量模的性质求解
例4：已知求的最大值与最小值。
分析：注意到，考虑用向量模的性质求解。
解：由条件知。
设，则=，
， 。
所以当与同向时，取最大值3；当与反向时，取最小值1。
四、利用几何意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是
（A） （B）
图3
（C） （D）
分析：平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的乘积。显然，由图可知，在方向上的投影最大，故选（A）。
例6、是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p、qR），则的最小值是
分析: 如图3，设则即 因此点C在直线AB上，显然当OCAB时，最小，其最小值为。
C
O
A
B
图4

【经典例题赏析】
一、借助基本的向量运算降低问题难度
例1:(05年江苏高考试题)在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是__________.
分析:(如图)本题的突破口关键在于为的中线,故易知
,所以:
从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.
解:为的中线

又

例2:(04年湖北高考试题)在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.
分析:本题的突破口关键在于三点共线,从而联想到把和作如下的分解:, 分解之后,真可谓是海阔天空.
故:
解:

又

当,即(与同向)时,取到最大值0.

二、建立直角坐标系降低问题门槛
对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.
例1:另解:以点为圆心,所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,则

故的最小值为

例2:另解:以点为原点,边所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,与的夹角为,则

当即(与同向)时,的最大值为
点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.

练习:如图,已知等边的边长为,又以为圆心,半径为作圆,是直径,试求的最大值,并指明此时四边形的形状.

答案:的最大值为,此时四边形为矩形.