1、平面向量数量积最值问题的求解策略
近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.
一、利用函数思想方法求解
例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
图 1 1
分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，，。
即
。
因此，当时，取最大值2。
例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求
分析：因
2、为点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的一个关系式，再根据取最小值求
解：设，则
当时，取最小值-8，此时
二、利用向量的数量积求最值
例3、三边长为，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，有最大值。
分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。
解：
图 2 1
当且仅当与同向时，有最大值。
三、利用向量模的性质求解
例4：已知求的最大值与最小值。
分析：注意到，考虑用向量模的性质求解。
解：由条件知。
设，则=，
， 。
所以当与同向时，取最大值3；当与反向时，取最小值1。
四、利用几何
3、意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是
（A） （B）
图3
（C） （D）
分析：平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的乘积。显然，由图可知，在方向上的投影最大，故选（A）。
例6、是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p、qR），则的最小值是
分析: 如图3，设则即 因此点C在直线AB上，显然当OCAB时，最小，其最小值为。
C
O
A
B
图4
【经典例题赏析】
一、借助基本的向量运算降低问题难度
例1:(05年江苏高考试题)在中,为中线
4、上一个动点,若,则的最小值是__________.
分析:(如图)本题的突破口关键在于为的中线,故易知
,所以:
从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.
解:为的中线
又
例2:(04年湖北高考试题)在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.
分析:本题的突破口关键在于三点共线,从而联想到把和作如下的分解:, 分解之后,真可谓是海阔天空.
故:
解:
又
当,即(与同向)时,取到最大值0.
二、建立直角坐标系降低问题门槛
对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或
5、者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.
例1:另解:以点为圆心,所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,则
故的最小值为
例2:另解:以点为原点,边所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,与的夹角为,则
当即(与同向)时,的最大值为
点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.
练习:如图,已知等边的边长为,又以为圆心,半径为作圆,是直径,试求的最大值,并指明此时四边形的形状.
答案:的最大值为,此时四边形为矩形.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
