双曲面讲解.doc

双曲面一、单叶双曲面 1、定义4.5.1：在直角坐标系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。 注：在直角坐标系下，方程 或所表示的图形也是单叶双曲面 2、性质与形状 （i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。 （ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面 （iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线： 单叶双曲面（1）与x,y轴分别交于（a，0，0），（0，b，0）而与z轴不交，上述四点称为它的顶点。（1）与三坐标面交于 （2） （3） （2）（3）均为双曲线， （4）为椭圆，（4）叫做单叶双曲面的腰椭圆；（2）（3）有共同的虚轴与虚轴长。 （iv）与平行于坐标面平面的交线：为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为 （5）对k ，（5）均为椭圆，其两轴端点为（0，b，k）（2），（a，0，k）（3），容易知道这两对端点分别在（4）与（3）上 ，其半轴为b和a ，当k逐渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在（3）与（4）上滑动。再用一组平行于面的平面去截（1），其截线为 （6）当k时，（6）为一双曲线，其实轴y轴， （如图5.3）虚轴z轴，其顶点（k，b，0）（4），当k=a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0）当ka时，（6）仍为双曲线，但其实轴z轴，虚轴y轴，其顶点（k，0，a）（3）最后，若用一组平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。二 双叶双曲面： 1 定义4.5.2：在直角坐标系下，由方程 （a,b,c0） （1） 所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。 注：在直角坐标系下，方程 或所表示的图形也是双叶双曲面。 2 性质与形状： （i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。 （ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。 （iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线： 双叶双曲面（1）与x,y轴不交，而与z轴交于（0，0，C）顶点 又（1）与三坐标面交于 （2） （3） （4） （2）（3）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为（0，0，C），（1）与面不交。 （iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察双叶双曲面（1）的形状，先用平行于面的平面去截（1），其截线为 （5） 当时，（1）与z=k不交， 当时，（1）与z=k交于（0，0，C） 当时，（5）为椭圆，其顶点为（0，b，k）（2） （a，0，k）（3），其半轴为b，a 可见，双叶双曲面（1）是由z=C外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。 若用平行于面的平面去截（1）。其截线为 （6） 对k，（6）均为双曲线，其实轴z轴，虚轴y轴，其顶点（k，0，c）（3）最后，若用平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面。例 用一组平行平面（为任意实数）截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹。 解 这一族椭圆的方程为即 ，因为，所以椭圆长半轴为，短半轴为，从而椭圆焦点的坐标为 消去参数得