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双曲面
一、单叶双曲面
1、定义4.5.1：在直角坐标系下，由方程
（a,b,c>0） （1） 所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。
注：在直角坐标系下，方程
或所表示的图形也是单叶双曲面
2、性质与形状
（i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。
（ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面
（iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线：
单叶双曲面（1）与x,y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴不交，
上述四点称为它的顶点。
（1）与三坐标面交于 （2） （3）
（2）（3）均为双曲线， （4）为椭圆，（4）叫做单叶双曲面的腰椭圆；（2）（3）有共同的虚轴与虚轴长。
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为
（5）
对k ，（5）均为椭圆，其两轴端点为（0，±b，k）∈（2），
（±a，0，k）∈（3），容易知道这两对端点分别在（4）与（3）上 ，其半轴为b和a ，当∣k∣逐渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在（3）与（4）上滑动。
再用一组平行于面的平面去截（1），其截线为
（6）
当∣k∣时，（6）为一双曲线，其实轴∥y轴，
（如图5.3）
虚轴∥z轴，其顶点（k，±b，0）∈（4），
当∣k∣=a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0）
当∣k∣>a时，（6）仍为双曲线，但其实轴∥z轴，虚轴∥y轴，其顶点
（k，0，±a）∈（3）
最后，若用一组平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。
二 双叶双曲面：
1 定义4.5.2：在直角坐标系下，由方程
（a,b,c>0） （1）
所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。
注：在直角坐标系下，方程
或所表示的图形也是双叶双曲面。
2 性质与形状：
（i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。
（ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线：
双叶双曲面（1）与x,y轴不交，而与z轴交于（0，0，±C）——顶点
又（1）与三坐标面交于
（2） （3） （4）
（2）（3）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为
（0，0，±C），（1）与面不交。
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
为考察双叶双曲面（1）的形状，先用平行于面的平面去截（1），其截线为
（5）
当时，（1）与z=k不交，
当时，（1）与z=k交于（0，0，±C）
当时，（5）为椭圆，其顶点为（0，±b，k）∈（2）
（±a，0，k）∈（3），其半轴为b，a
可见，双叶双曲面（1）是由z=±C外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。
若用平行于面的平面去截（1）。其截线为
（6）
对k，（6）均为双曲线，其实轴∥z轴，虚轴∥y轴，其顶点
（k，0，±c）∈（3）
最后，若用平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。
单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面。
例 用一组平行平面（为任意实数）截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹。
解 这一族椭圆的方程为
即
，
因为，所以椭圆长半轴为，短半轴为，从而椭圆焦点的坐标为
消去参数得