圆锥曲线的经典结论.doc

有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点处的切线平分在点处的外角. （椭圆的光学性质）2. 平分在点处的外角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线）3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）4. 以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.（求导或用联立方程组法）6. 若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是7. 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.（余弦定理+面积公式+半角公式）8. 椭圆（）的焦半径公式：，( , ，).（第二定义）9. 设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点，则.证明：，易得：10. 过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（其实就在准线上，下面证明他在准线上）证明：首先证明准线，和公共点，设，不妨设，由，得交点，由，得，令，则，再根据上一条性质可得结论。11. 是椭圆的不平行于对称轴的弦， 为的中点，则，即。（点差法）12. 若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是.（点差法）13. 若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是.（点差法）二、双曲线1. 点处的切线平分在点处的内角. （同上）2. 平分在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （同上）3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交. （同上）4. 以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：在右支；外切：在左支） （同上）5. 若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是：.（同上）6. 若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.（同上）7. 双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点：，则双曲线的焦点角形的面积为.（同上）8. 双曲线（）的焦半径公式： , 当在右支上时，,.当在左支上时，,（同上）9. 设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则.（同上）10. 过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（同上）11. 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。（同上）12. 若在双曲线（）内，则被所平分的中点弦的方程是：.（同上）13. 若在双曲线（）内，则过的弦中点的轨迹方程是：.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是.证明：，交点，由，得，又，则2. 过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.证明：3. 若为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点, , ，则.证法1（代数） 证法二（几何） 4. 设椭圆的两个焦点为、, （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记, ,，则有.（上条已证）5. 若椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为椭圆上任一点，、是焦点，为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆，O为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.证明9. 过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.证明10. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则.11. 设点是椭圆上异于长轴端点的任一点, 、是焦点，记，则(1) . (2) .12. 设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，, ,，分别是椭圆的半焦距离心率，则有：(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.证明 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）（角分线定理+合比公式）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.（角分线定理）18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）双曲线1. 双曲线（）的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时，与交点的轨迹方程是.2. 过双曲线（）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）.3. 若为双曲线（）右（或左）支上除顶点外的任一点, 、是焦点, , ，则（或）.4. 设双曲线（）的两个焦点为、, （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在中，记, ,，则有：.5. 若双曲线（）的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在双曲线上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为双曲线（）上任一点, 、是焦点，为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.7. 双曲线（）与直线有公共点的充要条件是：.8. 已知双曲线（ba 0），为坐标原点，、为双曲线上两动点，且.（1）;（2）的最小值为;（3）的最小值是.9. 过双曲线（）的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.10. 已知双曲线（）,是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则或.11. 设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点, 、是焦点，记，则：(1).(2) .12. 设是双曲线（）的长轴两端点，是双曲线上的一点，, ,，分别是双曲线的半焦距离心率，则有：(1).(2) .(3) .13. 已知双曲线（）的右准线与轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.19. 已知椭圆上一点，以直线与椭圆交于两点，恒有，则直线横过证明19. 已知椭圆，不再椭圆上的一点，过做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于四点，则四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (不同时为0)的形式。3、知直线横截距，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)，与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线，间的距离为。5、若直线与直线平行，则（斜率）且（在轴上截距） （充要条件）6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且。7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：，；，（）；8、为直径端点的圆方程；切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为：（）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。抛物线焦点弦性质总结30条1. 以为直径的圆与准线相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7.;8. 三点共线；9. 三点共线；10. ；11.（定值）；12. ；13. 垂直平分；14. 垂直平分；15. ；16. ；17.；18. ；19.;20. ;21. .22. 切线方程 23、是抛物线焦点弦，是的中点，是抛物线的准线，过的切线相交于，与抛物线交于点则有结论6 结论7 结论8 平分结论9 平分，平分结论10 结论11 二)非焦点弦与切线思考：当弦不过焦点，切线交于点时，也有与上述结论类似结果：结论12 ，结论13 平分，同理平分结论14 结论15 点平分结论16