圆锥曲线的经典结论.doc

有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点处的切线平分在点处的外角. （椭圆的光学性质）
2. 平分在点处的外角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线）
3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）
4. 以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）
5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.（求导或用联立方程组法）
6. 若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是
7. 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.（余弦定理+面积公式+半角公式）
8. 椭圆（）的焦半径公式：
，( , ，).（第二定义）
9. 设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点，则.
证明：，
，
，
，，
易得：
10. 过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（其实就在准线上，下面证明他在准线上）
证明：首先证明准线，和公共点，
设，，不妨设，
，，
由，
得交点，由，
得，令，
，，，，
，，则，
再根据上一条性质可得结论。

11. 是椭圆的不平行于对称轴的弦， 为的中点，则，
即。 （点差法）
12. 若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是.
（点差法）
13. 若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是.
（点差法）

二、双曲线
1. 点处的切线平分△在点处的内角. （同上）
2. 平分△在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （同上）
3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交. （同上）
4. 以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：在右支；外切：在左支）
（同上）
5. 若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是：.（同上）
6. 若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.（同上）
7. 双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点：，则双曲线的焦点角形的面积为.（同上）
8. 双曲线（）的焦半径公式： ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,（同上）
9. 设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则.（同上）
10. 过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（同上）
11. 是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。（同上）
12. 若在双曲线（）内，则被所平分的中点弦的方程是：.同上）
13. 若在双曲线（）内，则过的弦中点的轨迹方程是：.（同上）

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1. 椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是.
证明：，，交点，由，得，
又，则

2. 过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.
证明：

3. 若为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点, , ，则.
证法1（代数）

证法二（几何）

4. 设椭圆的两个焦点为、, （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△中，记, ,，则有.
（上条已证）
5 若椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.
6. 为椭圆上任一点，、是焦点，为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知椭圆，O为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;
（3）的最小值是.
证明

9. 过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.
证明

10. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则.
11. 设点是椭圆上异于长轴端点的任一点, 、是焦点，记，则(1) . (2) .
12. 设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，, ,，分别是椭圆的半焦距离心率，则有：
(1).
(2) .
(3) .
13. 已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.
证明

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
证

16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).
（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
（角分线定理+合比公式）
17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.（角分线定理）
18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）

双曲线
1. 双曲线（）的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时，与交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线（）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）.
3. 若为双曲线（）右（或左）支上除顶点外的任一点, 、是焦点, , ，则（或）.
4. 设双曲线（）的两个焦点为、, （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△中，记, ,，则有：.
5. 若双曲线（）的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在双曲线上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.
6. 为双曲线（）上任一点, 、是焦点，为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线（）与直线有公共点的充要条件是：.
8. 已知双曲线（b＞a ＞0），为坐标原点，、为双曲线上两动点，且.
（1）;
（2）的最小值为;
（3）的最小值是.
9. 过双曲线（）的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.
10. 已知双曲线（）,是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则或.
11. 设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点, 、是焦点，记，则：
(1).
(2) .
12. 设是双曲线（）的长轴两端点，是双曲线上的一点，, ,，分别是双曲线的半焦距离心率，则有：
(1).
(2) .
(3) .
13. 已知双曲线（）的右准线与轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）
16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
19. 已知椭圆上一点，以直线与椭圆交于两点，恒有，则直线横过
证明

19. 已知椭圆，不再椭圆上的一点，过做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于四点，则四点共圆
证明

其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (不同时为0)的形式。
3、知直线横截距，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)，
与直线垂直的直线可表示为。
4、两平行线，间的距离为。
5、若直线与直线平行，
则（斜率）且（在轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且。
7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：，；
，（）；
8、为直径端点的圆方程；
切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为：（）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

抛物线焦点弦性质总结30条

1. 以为直径的圆与准线相切；
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7.;
8. 三点共线；
9. 三点共线；
10. ；
11.（定值）；
12. ；；
13. 垂直平分；
14. 垂直平分；
15. ；
16. ；
17.；
18. ；
19.;
20. ;
21. .
22. 切线方程
23、是抛物线焦点弦，是的中点，是抛物线的准线，，，过的切线相交于，与抛物线交于点．则有
结论6
结论7 ．
结论8 平分．
结论9 平分，平分．
结论10
结论11
二)非焦点弦与切线
思考：当弦不过焦点，切线交于点时，
也有与上述结论类似结果：
结论12 ①，
结论13 平分，同理平分．
结论14
结论15 点平分
结论16