圆锥曲线基础知识综合复习.doc

一、 椭圆重要结论：
1.准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.
2. 椭圆两焦半径与焦距构成三角形的面积:
。
3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到A，若l与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(    )
A.4b              B.2(a-c)               C.2(a+c)             D.4a

二、双曲线的重要结论：
（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)。
（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.
（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积.
（4）焦点到渐近线的距离总是.
三、抛物线的重要结论：

1、通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：
通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦。
2、若已知过焦点的直线倾斜角（识记这条结论）
则

3、常用结论：
和
和
4、 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，则。
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：
设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：

四、直线与圆锥曲线综合问题三步曲：
1． 联立方程组转化为一元二次方程，写出两根之和与两根之积；
特点：千篇一律，人人都会
2． 把题目中的条件或结论用两根之和与两根之积形式来表示；
特点：千变万化，精彩分呈
常见的几何形式和代数形式互化
几何条件（或结论） 代数化形式
垂直 数量积为0
角APB为锐角（钝角） （）且不共线
弦长 弦长公式
面积 面积公式或分割成几个小图形的面积
平行四边形OAPB
点P 在曲线 （f（x，y）=0）上 f（x，y）=0

3．最后转化为函数或方程问题
特点：统一转化，有章可循

复习总结：

名 称
椭 圆
双 曲 线

图 象

定 义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在

标准方 程

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系

，
渐近线

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

抛物线：
图形

方程

焦点

准线

典型例题：

1、求值问题：
例1．椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为以角O为直角的直角三角形，求的值.

2、存在性问题
例2、在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上
位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线
的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．

3．定点问题
例3．在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

4．定值问题
例4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.