四边形复习提纲经典题型解析汇总.doc

四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于1800， n边形的内角和等于(n-2)1800，任意多边形的外角和等于3600，n边形的对角线条数为n(n-3)/2.2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形.判定：（1）定义判定； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3、矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）； （4）既是中心对称图形，又是轴对称图形； （5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：（1）定义判定； （2）有三个角是直角的四边形； （3）对角线相等的平行四边形.4、菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）. 判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定：（1）定义判定； （2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形； （3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：（1）两腰相等； （2）两条对角线相等； （3）同一底上的两个底角相等； （4）是轴对称图形.判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）.9、中心对称定义：强调必须旋转180 重合。定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）.10、各种四边形之间的相互关系。【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线；（4）延长两腰相交； （5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交.梯形常用的辅助线如下图:5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种.9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。【典型例题剖析】【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_.剖析：设此凸多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于3600”的推论，列方程，得(n - 2)1800 =3600.解得 n=4.【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是 （ ） A. B. C. D.剖析：由“方法总结”第7条，易知选A.【例3】下列命题中，真命题是( )A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了 “两邻边”、“平行四边形”、“对角线互相平分”等条件；C中四边形的四个角相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.【例4】如图，ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OEAC交AD于E，则DCE的周长为（ ） A4 cm B6cm C8cm D10cm剖析：由题意知，AD+CD=8cm。ABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA。因此，DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选C.【例5】如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用.ABCD中，AECF，1=2. 又AOE=COF，AO=CO.AOECOF，EO=FO. 四边形AFCE是平行四边形 . 又EFAC，AFCE是菱形.【例6】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EHAC，垂足为H求证：EHFC剖析：容易证得，四边形HOBE是矩形，则EH = BO = BD = AC = FC.【例7】探究规律：如图1，已知直线，A、B为直线上的两点，C、P为直线上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。（2）如果A、B、C为三个定点，点P在上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与ABC的面积相等； 理由是： 。图1 图2 图3如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念“创新”与“应用”两大主旋律。（1）ABC和ABP, AOC和BOP, CPA和CPB分别面积相等。（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与ABC同底等高，因此，它们的面积总相等. ABCDEFMN解决问题：（1）画法如图.连结EC, 过点D作DF/EC, 交CM于点F, 连结EF, EF即为所求直路的位置. （2）设EF交CD于点H,由上面得到的结论，可知：SECF=SECD, SHCF=SEDH.S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,S五边形EDCMN= S四边形EFMN.【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM(图中EF,FN,EM为折痕)，使得点A与B、C与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型1如图在平行四边形中，求这个平行四边形各内角的度数解：四边形是平行四边形，由于故设，则即解得因此，平行四边形各内角度数分别是，已知平行四边形的周长为，相交于，且的周长比的周长小于，如图，求平行四边形各边的长解：四边形为平行四边形，的周长的周长且的周长比的周长小于又平行四边形的周长为，如图，已知：在平行四边形中，是对角线，于，于求证：证明：方法一：四边形是平行四边形，方法二：连接，交于四边形是平行四边形，又，而（）如图所示，在平行四边形中，分别是，延长线上的点，且，则与具有怎么样的位置关系？试说明理由解：证明：方法一：在平行四边形中，又方法二连接，交于在平行四边形中，（）方法三连接，交于，连接，由方法二知，四边形为平行四边形如图，已知是平行四边形对角线的交点，那么的周长为解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知，的周长为 如图平行四边形中，与交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（） 由题意可知图中的平行四边形分别是：，所以共有个.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，交于，交延长线于，垂足为，试证明：证明：四边形为平行四边形，平分，（），如图，已知：，分别在的各边上，延长到，使求证：与互相平分证明：连接，四边形是平行四边形，又，而四边形为平行四边形与互相平分如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：与互相平分 证明：连接，四边形为平行四边形，是中点，四边形为平行四边形与互相平分如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，垂足分别为，求证：与互相平分证明：连接，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与互相平分如图，与互相平分，交点为，与互相平分，交点为，那么，四边形是平行四边形么？你是怎么判定的？解：四边形是平行四边形证明：连接，与互相平分四边形是平行四边形，与互相平分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形.如图，已知,是的高，是的中点求证：证明：，是的高，均为直角三角形 是的中点是斜边上的中线，是斜边上的中线，.如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为，求度数的大小提示：根据题意得过点作，垂足为则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）.过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为的中点，若，求证：证明：连接四边形是矩形是线段的垂直平分线，是中点.在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长解：,由勾股定理可得根据题意有，设，由勾股定理，即解得，（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）已知：如图，是矩形对角线的交点，平分，求的度数答案：提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形 ，.如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，为的中点，求证：证明：连接为直角三角形，为斜边的中点，又（），为的中点，即又，（）总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于，求证：与互相平分证明：四边形是菱形，（）（），即与互相平分方法二：连接，由，得，则且四边形为平行四边形与互相平分如图，在中，是的平分线，交于点，是边上的高，交于，于求证：四边形是菱形证明：是的平分线，是的平分线，四边形是平行四边形平行四边形是菱形菱形中，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长解：若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又设，由勾股定理可得，解得，综上所述：菱形的边长为或如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且求证：证明：连接，设，则四边形是正方形，为中点在中，在中，在中，则，是直角三角形（到初三的时候此题还有额外的证明方法）如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，连接，求证：， 证明：连接，延长交于点四边形是正方形，（），四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形），（），如图正方形中，是的中点，平分，交于求证： 证明：取线段的中点，连接四边形为正方形，为中点，为中点平分在与中思考：若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了如图，在梯形中，分别是，的中点，且，求证：梯形为等腰梯形证明：过分别作，的平行线交于，易知四边形和四边形都是平行四边形，分别是，的中点，是线段的垂直平分线故梯形是等腰梯形已知等腰梯形中，求它的腰长 解：方法一：过点作，交于点四边形为平行四边形，四边形为等边三角形，方法二过点作，垂足为，过点作，垂足为四边形为等腰梯形，（）四边形为矩形，如图，在中，平分，点是的中点求证： 证明：延长交于点，平分（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”），点是的中点是三角形的中位线，如图，在梯形中，是中点求证： 证明：取中点，连接由梯形中位线性质可知且与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 证明：连结,设交于点O四边形为平行四边形 即四边形为平行四边形 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，那么的取值范围是（ ）A B C D解：将线段沿方向平移，使得,则有四边形为平行四边形,在中, ,，即 解得 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形 求证： 证明：过分别作于点，的延长线于点F 则四边形为平行四边形 且, 第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：证明：延长交的延长线于点四边形为正方形 且, 又, ,则第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长与的延长线相交于，则有,第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,交于，求解：连结交于点,连结四边形为平行四边形 且 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。