四边形复习提纲经典题型解析汇总.doc

四边形复习提纲
【知识要点】
1、四边形的内角和等于1800， n边形的内角和等于(n-2)·1800，任意多边形
的外角和等于3600，n边形的对角线条数为n(n-3)/2.
2、平行四边形
性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；
（2）平行四边形是中心对称图形.
判定：（1）定义判定； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3、矩形
性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）； （4）既是中心对称图形，又是轴对称图形； （5）其面积等于两条邻边的乘积.
判定：（1）定义判定； （2）有三个角是直角的四边形； （3）对角线相等的平行四边形.
4、菱形
性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）.
判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.
5、正方形
性质：具有矩形、菱形的一切性质.
判定：（1）定义判定； （2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形； （3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.
6、等腰梯形
性质：（1）两腰相等； （2）两条对角线相等； （3）同一底上的两个底角相等； （4）是轴对称图形.
判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （2）对角线相等的梯形是等腰梯形.
7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
8、两个中位线定理
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）.
9、中心对称
定义：强调必须旋转180 °重合。
定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）.
10、各种四边形之间的相互关系。

【方法总结】
与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。
2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。
3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。
4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：
（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线；
（4）延长两腰相交； （5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交.
梯形常用的辅助线如下图:

5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.
6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。
7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.
8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种.
9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。
【典型例题剖析】
【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.
剖析：设此凸多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于3600”的推论，列方程，得
(n - 2)·1800 =3600.
解得 n=4.
【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是 （ ）
A. B. C. D.
剖析：由“方法总结”第7条，易知选A.
【例3】下列命题中，真命题是( )
A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了 “两邻边”、“平行四边形”、“对角线互相平分”等条件；C中四边形的四个角相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.
【例4】如图，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4 cm B．6cm C．8cm D．10cm
剖析：由题意知，AD+CD=8cm。□ABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA。
因此，△DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选C.
【例5】如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F，
求证：四边形AFCE是菱形.
剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用.
∵□ABCD中，AE∥CF，∴∠1=∠2.　　　　　　　
又∠AOE=∠COF，AO=CO.
∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.　　　
∴四边形AFCE是平行四边形 .
又EF⊥AC，∴□AFCE是菱形.
【例6】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EH⊥AC，垂足为H．求证：EH＝FC．

剖析：容易证得，四边形HOBE是矩形，则EH = BO = BD = AC = FC.
【例7】探究规律：如图1，已知直线∥，A、B为直线上的两点，C、P为直线上的两点。
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与△ABC的面积相等；
理由是：
。
图1 图2 图3

如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由。
剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念——“创新”与“应用”两大主旋律。
（1）△ABC和△ABP, △AOC和△BOP, △CPA和△CPB分别面积相等。
（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等.
A
B
C
D
E
F
M
N
解决问题：（1）画法如图.
连结EC, 过点D作DF//EC, 交CM于点F, 连结EF, EF即为所求直路的位置.
（2）设EF交CD于点H,
由上面得到的结论，可知：
S△ECF=S△ECD, S△HCF=S△EDH.
∴S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,
S五边形EDCMN= S四边形EFMN.
【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM(图中EF,FN,EM为折痕)，使得点A与B、C与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.

提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。

基础题型
1．如图在平行四边形中，，求这个平行四边形各内角的度数

解：四边形是平行四边形
，
由于
故设，则
即
解得　因此，
　　平行四边形各内角度数分别是，，，
２．已知平行四边形的周长为，，相交于，且的周长比的周长小于，如图，求平行四边形各边的长
解：四边形为平行四边形
　　，，
的周长＝
　的周长＝
且的周长比的周长小于

　又平行四边形的周长为

，
，
３．如图，已知：在平行四边形中，是对角线，于，于
　　求证：

证明：方法一：四边形是平行四边形
　　　　　，

　　　　　，

方法二：连接，交于
四边形是平行四边形
，又，
，而
（）
４．如图所示，在平行四边形中，，分别是，延长线上的点，且，则与具有怎么样的位置关系？试说明理由

解：
证明：方法一：在平行四边形中，，，

，

又　
方法二．连接，交于
在平行四边形中，，

　（）

方法三．连接，交于，连接，
由方法二知．，
四边形为平行四边形

５．如图，已知是平行四边形对角线的交点，，，，那么的周长为＿＿＿＿＿

解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知
，，
的周长为
６．如图平行四边形中，，，与交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（　　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

由题意可知图中的平行四边形分别是：，，，，，，，，所以共有个
７.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，，交于，交延长线于，垂足为，试证明：

证明：四边形为平行四边形
　　　，，
　　　，，
　　　，
　　　平分，
　　　　（）
　　　，，
　　　，

８．如图，已知：，，分别在的各边上，，，延长到，使．求证：与互相平分．

证明：连接，
　　　，
　　　四边形是平行四边形
　　　，
又

　，而
　四边形为平行四边形
　与互相平分
９．如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：与互相平分

证明：连接，
，
四边形为平行四边形，
是中点

，　四边形为平行四边形
与互相平分
．如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，垂足分别为，，求证：与互相平分

证明：连接，
四边形是平行四边形
，
，

四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
与互相平分
．如图，与互相平分，交点为，与互相平分，交点为，那么，四边形是平行四边形么？你是怎么判定的？

解：四边形是平行四边形
证明：连接，，，，
与互相平分
四边形是平行四边形
，
与互相平分
四边形是平行四边形
，
，
四边形是平行四边形
.如图，已知,是的高，是的中点．求证：

证明：，是的高，
　　　，均为直角三角形
　　　是的中点
　　　是斜边上的中线，是斜边上的中线
　　　，

.如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为，求度数的大小

提示：根据题意得
过点作，垂足为
则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）
.过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为的中点，若，求证：

证明：连接
四边形是矩形

是线段的垂直平分线

　，　
是中点

.在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长

解：,　由勾股定理可得
根据题意有，设，
由勾股定理，即　解得

，
　（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
．已知：如图，是矩形对角线的交点，平分，，求的度数
答案：提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形 ，，
.如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，，为的中点，求证：

证明：连接
为直角三角形，为斜边的中点

，
，
，又
（）

，，为的中点

，即
又，　（）
总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线
．如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于，求证：与互相平分

证明：四边形是菱形
　　　　，　（）

　（）
，　　即与互相平分
方法二：连接，
由，得，则
且四边形为平行四边形　与互相平分
．如图，在中，，是的平分线，交于点，是边上的高，交于，于．求证：四边形是菱形

证明：是的平分线

　　　，
　　　，

　　　是的平分线，，

　　　，

　　　四边形是平行四边形
　　　　平行四边形是菱形
．菱形中，，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长
　解：

若对角线，
如图四边形为菱形，且则为等边三角形
菱形的边长为
若对角线，
如图四边形为菱形，且则为等边三角形
又　设，，
由勾股定理可得，解得，
综上所述：菱形的边长为或
．如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且
求证：

证明：连接，设，则
　　　四边形是正方形　，
　　　为中点　
　　　在中，
　在中，
　在中，
　　　则，是直角三角形

（到初三的时候此题还有额外的证明方法）
．如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，连接，．求证：，

证明：连接，延长交于点
四边形是正方形
，
　（）
，
，，
四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）

，
（）

，　　

．如图正方形中，是的中点，，平分，交于
求证：

证明：取线段的中点，连接
　　　四边形为正方形
　　　，
　　　为中点，为中点

　　　平分　

　　　在与中

思考：若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？

请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了
．如图，在梯形中，，，，分别是，的中点，且，求证：梯形为等腰梯形

证明：过分别作，的平行线交于，，易知四边形和四边形　都是平行四边形
　　　，，，
，分别是，的中点
，

　　是线段的垂直平分线

故梯形是等腰梯形
．已知等腰梯形中，，，，，求它的腰长

解：方法一：过点作，交于点
　　　　四边形为平行四边形
，
　　　四边形为等边三角形
　，　

方法二

过点作，垂足为，过点作，垂足为
四边形为等腰梯形
，

（）

四边形为矩形　　
，

．如图，在中，，平分，，点是的中点
求证：①　②

证明：①延长交于点
　　　，
　　　平分　

（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）
，
点是的中点
是三角形的中位线
，
②

．如图，在梯形中，，，是中点
　　求证：

证明：取中点，连接
　由梯形中位线性质可知
且

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结 ⑵
⑶证明：连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，
，，那么的取值范围是（ ）
A B C D
解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中, ,,
∴，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形
求证：
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：
证明：延长交的延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴ 又∵, ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长与的延长线相交于，则有
∽,∽,∽

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,,
交于，求
解：连结交于点,连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。