轴对称图形与中心对称学生doc.doc

第十六讲 轴对称图形与中心对称图形
知识点拨
轴对称的定义
　　在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形（axial symmetric figure)，这条直线叫做对称轴(axis of symetric)，并且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形与这条直线对称。比如说圆、正方形、等腰梯形等。
性质
　　1.对称轴是一条直线。
　　2.垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
　　3.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
　　4.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
　　5.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
定理及其逆定理
　　定理1： 关于某条直线对称的两个图形是全等形。（全等形不一定关于某条直线对称）
　　定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
　　定理3：两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。
　　定理3的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

中心对称图形
定义
　　在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形（Central symmetry figure），这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对应点。
性质
　　①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分。
　　②成中心对称的两个图形全等。
　　③中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。
　　区分：中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形
轴对称图形与中心对称图形的区别
区分这两个概念要注意：轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形．现将小学课本中常见的图形归类如下：
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：长方形，正方形，圆，菱形等．
　　只是轴对称图形的有：角，五角星，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．
　　只是中心对称图形的有：平行四边形．
　　既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．

例题分析
1.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．

3．下列各图是选择自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是
B.
A.
C.
D.

4.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）

（A） （B） （C） （D）
5．下列图形中，中心对称图形有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．
7．对右图的对称性表述，正确的是（ ）．
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
8．下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰梯形 D．正方形
9有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；
第二步：如图②，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP.

A
D

C
B
E
F
G
A
D

C
B
E
F
图①
图②
图③

D
F
C
A
E
N
P
B

M
Q
G
这样，就可以折出一个五边形.

（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段（写出一组即可）；

10.在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.

y
B
O
D
C
A
x
E

y
B
O
D
C
A
x
（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

11.如图在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB>BC，∠BAC=∠DCE=∠，点B、C、D在直线l上，按下列要求画图（保留画图痕迹）；
（1）画出点E关于直线l的对称点E’，连接CE’ 、DE’；
（2）以点C为旋转中心，将（1）中所得△CDE’ 按逆时针方向旋转，使得CE’与CA重合，得到△CD’E’’（A）.画出△CD’E’’（A）.解决下面问题：
①线段AB和线段CD’的位置关系是 .理由是：
②求∠的度数.