三角形中位线定理的证明.doc

备课偶得——
三角形中位线定理的再证明
王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313
三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
图1
B
C
A
D
E
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，求证：DE∥BC且
证法一、（构造法）如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、CF、
DC
图2
B
C
A
D
E
F
∵E为AC中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴CF AD ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF为平行四边形
∴DF BC ∴DE=EF ∴DE∥BC且
证法二、（构造法）如图3，过CF作CF∥AB交DE的延长线于F，则
图3
B
C
A
D
E
F
∠A=∠ACF ∵E为AC中点 ∴AE=CF
∴△ADE≌△CFE（ASA） ∴CF=AD ∵D为AB中点
∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF∥BD ∴CF BD
∴四边形DBCF为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE≌△CFE ∴DE=EF ∴DE∥BC且
C
图4
B
A
D
E
F
E′
证法三、（同一法）如图4，过D作DE′∥BC，交AC于E′，过E′作E′F∥AB，交BC于F，则
图5
B
C
A
D
E
∠B=∠ADE′=∠E′FC，∠AE′D=∠C 四边形DBFE′是平行四边形 ∴E′F=BD ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴E′F=AD∴△ADE′≌△E′FC（AAS） ∴AE′=CE′即E′为AC中点 ∵E为AC中点
∴E与E′重合即DE∥BC，△ADE≌△EFC，四边形DBFE为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF
即 ∴DE∥BC且

证法四、（相似法）如图5，
∵D、E分别为AB、AC中点 ∴ ∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B
∴DE∥BC且

图6
B
C
A
D
E
F
G
证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC的中点E为中心，将△ABC绕点E旋转180°得△ACF，取CF中点G，连结EG、DG，则四边形ABCF为平行四边形
∴AF BC ∵D、G分别为AB、CF的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF为平行四边形
∴DG AF BC ∵CF∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE≌△CGE（SAS）
∴∠AED=∠CEG ∴D、E、G在一条直线上 ∴DE∥BC ∵△ADE≌△CGE
H
G
图7
B
C
F
M
A
D
E
∴DE=EG ∴ ∴DE∥BC且
证法六、（面积法）如图7，取BC中点F，连结AF、EF，分别过A、E作
AH⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为H、G，过D作DM⊥BC于M，则
∴ ∵F为BC中点 ∴
同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE为矩形
O
（B）
C
A
D
E
图8
∴DE∥BC 同理 EF∥AB ∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE=BF ∵ ∴DE∥BC且
证法七、（解析法）如图8，以点B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A（a，b）C（c，0）（c＞0）则，D（ ），E（ ）
则DE∥x轴，DE= ∵BC=c ∴DE∥BC且
证法八、（三角法）如图9，取BC中点F，连结EF，设AB=2c，AC=2b
BC=2a，∠A=α则AD=c，AE=b，在△ADE中，

在△ABC中，

图9
B
C
A
D
E
F
∴ ∴BC=2DE ∵F为BC的中点
∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE∥BF 即DE∥BC且