三角形中位线定理的证明.doc

备课偶得三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。图1BCADE关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。已知：如图1，ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，求证：DEBC且 证法一、（构造法）如图2，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、CF、DC图2BCADEFE为AC中点 AE=CE EF=DE 四边形ADCF为平行四边形 CF AD D为AB中点 AD=BD BD CF 四边形DBCF为平行四边形 DF BC DE=EF DEBC且 证法二、（构造法）如图3，过CF作CFAB交DE的延长线于F，则图3BCADEFA=ACF E为AC中点 AE=CFADECFE（ASA） CF=AD D为AB中点AD=BD CF=BD CFBD CF BD 四边形DBCF为平行四边形 DF BC ADECFE DE=EF DEBC且 C图4BADEFE证法三、（同一法）如图4，过D作DEBC，交AC于E，过E作EFAB，交BC于F，则图5BCADEB=ADE=EFC，AED=C 四边形DBFE是平行四边形 EF=BD D为AB中点 AD=BD EF=ADADEEFC（AAS） AE=CE即E为AC中点 E为AC中点 E与E重合即DEBC，ADEEFC，四边形DBFE为平行四边形 DE=CF DE=BF即 DEBC且 证法四、（相似法）如图5，D、E分别为AB、AC中点 A=AADEABC ADE=BDEBC且 图6BCADEFG证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC的中点E为中心，将ABC绕点E旋转180得ACF，取CF中点G，连结EG、DG，则四边形ABCF为平行四边形AF BC D、G分别为AB、CF的中点 AD FG 四边形ADGF为平行四边形DG AF BC CFAB DAE=GCE ADECGE（SAS）AED=CEG D、E、G在一条直线上 DEBC ADECGEHG图7BCFMADEDE=EG DEBC且 证法六、（面积法）如图7，取BC中点F，连结AF、EF，分别过A、E作AHBC，EGBC，垂足分别为H、G，过D作DMBC于M，则 F为BC中点 同理 DM EG 四边形DMGE为矩形 O（B）CADE图8DEBC 同理 EFAB 四边形DBFE为平行四边形 DE=BF DEBC且 证法七、（解析法）如图8，以点B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A（a，b）C（c，0）（c0）则，D（ ），E（ ）则DEx轴，DE= BC=c DEBC且 证法八、（三角法）如图9，取BC中点F，连结EF，设AB=2c，AC=2bBC=2a，A=则AD=c，AE=b，在ADE中， 在ABC中， 图9BCADEF BC=2DE F为BC的中点DE=BF 同理 EF=BD 四边形DBFE为平行四边形DEBF 即DEBC且