平行四边形判定专项练习30题.doc

平行四边形的判定专项练习30题（有答案）

1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．

2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．
求证：四边形ABCD为平行四边形．

3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．
（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________　．
（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．

4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．

5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论．

7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
求证：（1）AD是△ABC的中线；
（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．

8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF是平行四边形．

9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．
求证：四边形ABED是平行四边形．

10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．

11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．

12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
求证：（1）△ABC≌△EAF；
（2）四边形ADFE是平行四边形．

13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．

14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．
（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长
（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．

15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．

16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，
求证：四边形MNEF是平行四边形．

17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．
（1）证明：△AGE≌△CFE；
（2）说明四边形ABFG是平行四边形；
（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．

18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．

19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．

20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
求证：四边形AFBD是平行四边形．

21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．

22． 求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．
求证：四边形EBFC是平行四边形．

24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE是平行四边形吗？为什么？

25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．

26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．

27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

28． 已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．

30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．
求证：四边形ABCD为平行四边形．

平行四边形的判定30题参考答案：

1．∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵ED∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中：
∵∠DAE=∠BCF，
∠AED=∠CFB，
AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD=CB，
即：AD∥CB，AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．
∴（11﹣x）2+42=52，
解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），
当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；
故答案是：①④、③④；
（2）以①④为例进行证明．
如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO．
∴在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD=BC，
∴在四边形ABCD中，ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形．

4．选择①，
∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，
∴△ABE≌△CDF（sss），
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5. BE=DF，BE∥DF
因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，
因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，
所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF　
6．四边形ADEF是平行四边形．
连接ED、EF，
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=∠ABC．
∴△ABC≌△DBE．
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，AC=DE．
∵AB=AD，AC=AF，
∴AD=EF，DE=AF．
∴四边形ADEF是平行四边形

7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD．
∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，
∴△BED≌△CFD．
∴BD=CD．
∴AD是△ABC的中线．
（2）四边形BECF是平行四边形，
由（1）得：BD=CD，ED=FD．
∴四边形BECF是平行四边形
8．∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OB﹣BE=OD﹣DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形　
9．∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵DE=AB，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C，
∴∠DEC=∠B，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
10．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴CE=BE，
∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，
∴△ABE≌△FCE；

（2）四边形ABFC是平行四边形；
理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，
∴EF=AE，
∵CE=BE，
∴四边形ABFC是平行四边形　
11．连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，
∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
，
∴△FAB≌△DAC（SAS），
∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形．

12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形
13．在△ABC中，
∵AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形
14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．
3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．
（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．　
15．：连接BD，
∵E、F为AD，AB中点，∴FEBD．
又∵G、H为BC，CD中点，
∴GHBD，
故GHFE．
同理可证，EHFG．
∴四边形FGHE是平行四边形

16．∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF∥BC且EF=BC，
∵M是BO的中点，N是CO的中点，
∴MN∥BC且MN=BC，
∴EF∥MN且EF=MN，
∴四边形MNEF是平行四边形．
17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）
∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）
∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）
∴△AGE≌△CFE（AAS）；

（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）
∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；

（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，
理由：由（1）可知△AGE≌△CFE
∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），
∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）
∴DE为三角形ABC的中位线，
∴DE=BC，DE∥BC，
即DE∥BF，DE∥FC，
由（2）可知四边形ABFG是平行四边形
∴AG=BF，
∴BF=FC=BC，
∴DE=BF=FC，
即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．

18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，
即：∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，
又∵BF=DC，
∴BE=BF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∴△BEF为等边三角形．
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥BC，即EF∥DC，
∵EF=BF，BF=DC，
∴EF=DC，
∴四边形EFCD是平行四边形
19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：
（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，．
又∵EF=DE，
∴DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；

（2）在四边形ADCF中，
∵EF=DE，
又∵E是AC边的中点，
∴EA=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形
20．∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形
21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．
∵，
∴AD=BE，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．　
22． 已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，

求证：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
同理AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，
∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥FC，
∵BE=FC，
∴四边形EBFC是平行四边形
24．∵CE∥BF，BD=CD，
∴△BDF≌△CDE，
∴BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形．

25．四边形EFGH是平行四边形
证明：连接AC、BD
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点
∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC
∴EH=FG，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形．

26．∵∠B=∠EAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．　
27．∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠FCB，
又ED∥BF，
∴∠FED=∠EFB，
∠AED=180°﹣∠FED，
∠CFB=180°﹣∠EFB，
∴∠AED=∠CFB，
又已知AE=CF，
∴△AED≌△CFB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
28．
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠FCB，
又ED∥BF，
∴∠FED=∠EFB，
∠AED=180°﹣∠FED，
∠CFB=180°﹣∠EFB，
∴∠AED=∠CFB，
又已知AE=CF，
∴△AED≌△CFB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

29．
∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠FBE=∠CBA，
在△FBE和△CBA中，
，
∴△FBE≌△CBA（SAS）．
∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形
30．∵AB=5，AC=4，BC=3
∴AB2=AC2+BC2
∴∠BCA=90°
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA=90°
∵DC=5，AC=4，
∴AD2=DC2﹣AC2=9
∴AD=BC=3
∴四边形ABCD为平行四边形．