9月高三摸底考试理科数学试题.docx

珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 ， ，则 （　　） A. B. C. D. 2.复数 （　　） A. B. C. D. 3.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为（　　） A． B． C． D． 4.在 中，“ ”是“ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.如图，在 中，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （　　） A． 　 B． 　 C． 　　 D． 6 .已知 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A . B. C. D. 7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ）则该组合体的体积为（　　） A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000 8. 对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在 内是单调的；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和谐区间”．若函数 存在“和谐区间”，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，考生做答6小题，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式 的解集是 ．
10.在二项式 的展开式中，含 项的系数是 ，则实数 的值为 ． 11.设等比数列 的公比 ，则 ． 12.直线 是函数 的切线，则实数 ． 13.在 中， ， ， ，则 ． 14．（几何证明选讲选做题） 如图， 圆 的直径 . 15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线 上的点到直线 的距离的最大值是 . 三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数 . （1）求 的最小正周期和最小值； （2）若 且 ，求 的值.
17. （本小题满分12分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4
（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； （2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是 ，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
18. （本小题满分14分）在边长为 的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为 ,构成一个三棱锥． （1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明； （2）证明 平面 ； （3）求二面角 的余弦值． 19. （本小题满分14分）若正数项数列 的前 项和为 ，首项 ，点 在曲线 上. （1）求 ； （2）求数列 的通项公式 ； （3）设 , 表示数列 的前项和,若 恒成立，求 及实数 的取值范围. 20. （本小题满分14分）已知点 的坐标分别是 、 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ． (1)求点 轨迹 的方程； (2)若过点 的直线 与(1)中的轨迹 交于不同的两点 ，试求 面积的取值范围（ 为坐标原点）．
21.（本小题满分14分）已知函数 （ ）． （1）当 时，求 在 上的最小值； （2）若函数 在 上为增函数，求正实数 的取值范围； （3）若关于 的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，求实数 的取值范围．
珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学 试题与参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.（集合）已知集合 ， ，则 （　　） A. B. C. D. 2.（复数的除法）复数 （　　） A. B. C. D. 3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为（　　） A． B． C． D． 4.（充要条件）在 中，“ ”是“ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件K$s5u
5.（向量）如图，在 中，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （　　） A． 　　 B． 　 C． 　　 D． 6.（线性规划）已知 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A . B. C. D. 7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ）则该组合体的体积为（　　） A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000
8.（信息题）对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在 内是单调的；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和谐区间”．若函数 存在“和谐区间”，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.（绝对值不等式）不等式 的解集是 ． 10.（二项展开式）在二项式 的展开式中，含 项的系数是 ，则实数 的值为 ． 11.（等比数列）设等比数列 的公比 ，则 ． 12.（导数）直线 是函数 的切线，则实数 ． 13.（解三角形）在 中， ， ， ，则 4 ． 14．（几何证明选讲选做题） 如图， 圆 的直径 . 15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线 上的点到直线 的距离的最大值是 . 三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分． 16.（三角函数）已知函数 （1）求 的最小正周期和最小值； （2）若 且 ，求 的值. 解：（1） ，……………4分 所以 ，当 时， 有最小值 …………………………6分 （2） ， 所以 ……………………………………………………………………………………10分 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ……………………………………………………………………………12分
17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4
（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率． （2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选择A、B两个软件学习的概率每个都是 ，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为 ，求 的分布列和数学期望。 解：(1)设“从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级”的事件为 则 …………………………………………………………………3分 答：从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级的概率是 …………………………4分 (2) …………………………………………………………………………………………5分 由题设知，每个人选软件C概率均为 …………………………………………………………………6分 ……………………………………………………………………………………10分 的分布列如下
的期望是 …………………………………12分
18.（立几）在边长为 的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为 ,构成一个三棱锥． （1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明； （2）证明 平面 ； （3）求二面角 的余弦值． 解：（1） 平行平面 ……………………………………………………………………1分 证明：由题意可知点 在折叠前后都分别是 的中点（折叠后 两点重合） 所以 平行 …………………………………………………………………………………2分 因为 ，所以 平行平面 ………………………………………………4分 （2）证明：由题意可知 的关系在折叠前后都没有改变 因为在折叠前 ，由于折叠后 ，点 ，所以 …5分 因为 ，所以 平面 ……………………………………………………8分 （3）解： 所以 是二面角 的平面角. …………………………………10分 因为 ⊥ ，所以 . 在 中， ，由于 ，所以 ， 于是 ……………………………………………………13分 所以，二面角 的余弦值为 ………………………………14分
19.（数列）若正数项数列 的前 项和为 ，首项 ，点 在曲线 上. （1）求 ； （2）求数列 的通项公式 ； （3）设 , 表示数列 的前项和,若 恒成立，求 及实数 的取值范围. 解：（1）因为点 在曲线 上，所以 . 分别取 和 ，得到 ， 由 解得 ， .…………………………………………………………………4分 （2）由 得 . 所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列 所以 ， 即 …………………………………………………………6分 由公式 ，得 所以 …………………………………………………………………………………………8分 （3）因为 ，所以 ， ……………………………………………………………………10分 显然 是关于 的增函数， 所以 有最小值 ，…………………………………12分 由于 恒成立，所以 ，…………………………………………………………………13分 于是 的取值范围为 .……………………………14分
20．（圆锥曲线）已知点 的坐标分别是 、 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ． (1)求点 轨迹 的方程； (2)若过点 的直线 与(1)中的轨迹 交于不同的两点 ，试求 面积的取值范围（ 为坐标原点）．
解：（1）设点 的坐标为 ， ∵ ，∴ …………………………………………………………2分 整理，得 ，这就是动点 的轨迹方程．……………………………………4分 （2）由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为 ①………………………………………5分 将①代入 得：K$s5u
…………………………………………6分 由 ，解得 ……………………………………………7分 设 ， ，则 ② ……………………………………………………8分 …………10分 ……………11分 令 ,所以 所以 13分 所以 ………………………………………………………………………14分
21.（导数）已知函数 （1）当 时，求 在 上的最小值； （2）若函数 在 上为增函数，求正实数 的取值范围； （3）若关于 的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，求实数 的取值范围． 解：（1）当 ， ，……………………………………2分 于是，当 在 上变化时， 的变化情况如下表： （ ，1） 1 （1,2） 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值0 单调递增
由上表可得，当 时函数 取得最小值0. …………………………………………………4分
（2） ，因为 为正实数，由定义域知 ，所以函数的单调递增区间为 ，因为函数 在 上为增函数，所以 ，所以 …………8分
（3）方程 在区间 内恰有两个相异的实根 方程 在区间 内恰有两个相异的实根 方程 在区间 内恰有两个相异的实根 函数 的图象与函数 的图象在区间 内恰有两个交点……………10分 考察函数 ， ，在 为减函数，在 为增函数 …………………………………………………………………………………………………12分 ………………………………………………13分 画函数 ， 的草图，要使函数 的图象与函数 的图象在区间 内恰有两个交点，则要满足
所以 的取值范围为 ……………………………………14分

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