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数学基础知识数学基础知识理论力学之理论力学之第1页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 2许杰第2页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 3微积分微积分矢量矢量正交曲线坐标系正交曲线坐标系线性代数线性代数第3页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 4微微 积积 分分第4页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 5基本初等函数求导基本初等函数求导函数基础求导方法函数基础求导方法函数最值函数最值曲率与曲率半径曲率与曲率半径级数级数微分微分常系数微分方程常系数微分方程积分积分微微 积积 分分第5页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 6基本初等函数求导基本初等函数求导函数函数说明：说明：极限定义极限定义极限极限（i），但不等于，但不等于越来越靠近越来越靠近（ii）极限存在极限存在极限唯一极限唯一左极限右极限左极限右极限反之成立反之成立 左、右极限存在且相等左、右极限存在且相等极限唯一极限唯一（iii）不一定等于不一定等于连续（无断点）时，连续（无断点）时，第6页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 7函数函数极限极限Given any，there exist()Such thatwhenever第7页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 8连续函数连续函数函数函数在在连续连续在在没有断点没有断点Given any，there exist()Such thatwhenever断点断点JumpInfiniteremovable第8页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 9，则导数定义为：，则导数定义为：注注:若若导数符号记为：导数符号记为：导数信息完整，但不够简练导数信息完整，但不够简练导数定义导数定义简练但求导信息不完整，复合函数求导易错简练但求导信息不完整，复合函数求导易错第9页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 10若若f(x)在在 a,b 连续，在连续，在(a,b)可导，则称可导，则称f(x)在在 a,b 曲线平滑曲线平滑函数函数在在可导：可导：（i）（ii）（iii）在在无间断点无间断点在在无转角无转角在在无急转弯无急转弯（iv）在在无猛烈振荡无猛烈振荡不存在不存在函数可导函数可导当当时，必须有时，必须有所以有：所以有：第10页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 11导数导数导数几何意义导数几何意义描述函数改变快慢描述函数改变快慢在几何上表示：在几何上表示：N点无限靠近点无限靠近M点时，割线变切线点时，割线变切线横轴到切线到角正切（斜率）横轴到切线到角正切（斜率）第11页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 12有限次四则运算求导法则有限次四则运算求导法则:(C为常数为常数)第12页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 13常数和基本初等函数导数常数和基本初等函数导数:第13页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 14函数基础求导方法函数基础求导方法函数基础求导方法：函数基础求导方法：需切记和深刻了解基本初等函数求导公式需切记和深刻了解基本初等函数求导公式链式法则链式法则替换法替换法盒子法盒子法第14页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 15盒子法（盒子法（）所谓所谓“盒子盒子”，就是指，就是指“表示式表示式”“”“封装封装”，含有，含有“整体性整体性”盒子相同盒子相同（替换法替换法）：）：表示式一样表示式一样由基本初等函数组成由基本初等函数组成由基本初等函数组成由基本初等函数组成盒子盒子函数函数如：如：第15页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 16基本初等函数求导公式用盒子法记忆基本初等函数求导公式用盒子法记忆比如比如记成记成再如再如记成记成其它如法炮制其它如法炮制第16页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 17盒子不一样盒子不一样（链式法则链式法则）：）：表示式不一样表示式不一样链式链式链式链式链式法则实质是乘以链式法则实质是乘以“1”复合函数求导复合函数求导 第17页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 18在求导计算中在求导计算中“1”含有十分主要地位含有十分主要地位导出链式法则导出链式法则第18页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 19比如对比如对x求导：求导：(替换替换)比如对比如对x求导：求导：(链式链式)(替换替换)(链式链式)第19页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 20微分微分dy几何意义几何意义:切线纵坐标增量切线纵坐标增量微分和导数运算基本相同微分和导数运算基本相同微分定义：微分定义：若若(A 为不依赖于为不依赖于x 常数常数),则则微微 分分差量差量y几何意义几何意义:割线纵坐标增量割线纵坐标增量differentialsInitial errorExact errorApproximate error时，时，第20页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 21线性迫近式线性迫近式例：例：求求令令，则，则，因因取取，所以所以同理求同理求时，时，令令时，时，令令用用值替换值替换值值要求要求第21页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 22微元微元非均匀非均匀均匀均匀实质：实质：比如：比如：非均匀电磁场时，取微元化成均匀场非均匀电磁场时，取微元化成均匀场受力曲线运动做功，取微元，化受力曲线运动做功，取微元，化“曲曲”为为“直直”运动学角度看，就是运动学角度看，就是“挪挪”了一个位置了一个位置第22页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 23曲率就是针对曲线上某个点切线方向角对弧长转动率曲率就是针对曲线上某个点切线方向角对弧长转动率弧线段弧线段曲线上曲线上P点点曲率曲率平均曲率平均曲率曲率与曲率半径曲率与曲率半径若若，则，则曲率半径曲率半径曲率半径几何意义：曲率半径几何意义：化化“曲曲”为为“圆圆”第23页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 24曲率曲率向量定义法：向量定义法：若曲线若曲线，位矢，位矢曲率可写为：曲率可写为：弧线切向量弧线切向量第24页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 25证：证：第25页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 26Frenet-serret公式公式满足一阶微分方程满足一阶微分方程是弧长是弧长是曲率是曲率(curvature)是扭率是扭率(torsion)是弧切向是弧切向是弧主法向是弧主法向是弧副法向是弧副法向第26页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 27利用利用Frenet-serret公式，公式，曲率和扭率曲率和扭率(弧长为参数弧长为参数)：曲线曲线C：曲率曲率扭率扭率第27页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 28级级 数数一元泰勒一元泰勒(Taylor)级数：级数：若若在在存在幂级数，存在幂级数，且且，当当时，一元泰勒级数称为时，一元泰勒级数称为Maclaurin级数级数，且，且则则第28页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 29不是一定等于泰勒展开式不是一定等于泰勒展开式例例因因同理同理泰勒展开式为泰勒展开式为0于是于是所以所以第29页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 30函数展开时，经常借用几个中学学过准确展开式函数展开时，经常借用几个中学学过准确展开式第30页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 31应用举例应用举例直接型：直接型：间接型间接型微分（可屡次）微分（可屡次）积分（可屡次）积分（可屡次）时时又又第31页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 32级数间增加快慢程度：级数间增加快慢程度：Sterling 公式公式第32页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 33二元泰勒二元泰勒(Taylor)级数：级数：若若在点在点某一邻域内连续且有直到某一邻域内连续且有直到阶连续偏导数阶连续偏导数,为此邻域内任一点为此邻域内任一点,则有则有第33页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 34Laulrent 级数：级数：若复数若复数是函数是函数孤立奇点孤立奇点，以，以为圆心，为圆心，在，在闭合曲线闭合曲线，那么，那么间区域是解析，满足：间区域是解析，满足：距离距离R为半径作圆为半径作圆且且任意小半径作圆任意小半径作圆，以，以跟最近奇点跟最近奇点之间之间和和之间任作一之间任作一第34页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 35周期为周期为 2 2 三角函数形式三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：式中式中周期延拓（周期延拓（-，）傅里叶展开傅里叶展开f(x)是周期为是周期为 2 2 周期函数周期函数第35页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 36式中式中周期为周期为 2 2l 三角函数形式三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：f(x)是周期为是周期为 2 2l 周期函数周期函数周期延拓（周期延拓（-l，l）傅里叶展开傅里叶展开第36页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 37式中式中周期为周期为 2 2l 复数形式复数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：f(x)是周期为是周期为 2 2l 周期函数周期函数周期延拓（周期延拓（-l，l）傅里叶展开傅里叶展开第37页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 38函数最值函数最值(Absolut extreme)函数单调性函数单调性若在区间若在区间，恒有，恒有，则则单调递增单调递增若在区间若在区间，恒有，恒有，则则单调递减单调递减，则则单调递增，单调递增，则则单调递减，单调递减，凹向上凹向上凸向上凸向上f(x)弧线在切线上方弧线在切线上方f(x)弧线在切线下方弧线在切线下方第38页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 39若恒有若恒有则则呈凹形呈凹形OROR若恒有若恒有则则呈凸形呈凸形OROR若二阶导数为若二阶导数为 0,0,两侧二阶导数不变号，凹凸性不变两侧二阶导数不变号，凹凸性不变 若某点二阶导数为若某点二阶导数为 0 0或不存在或不存在,两侧二阶导数异号，此点为拐点两侧二阶导数异号，此点为拐点第39页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 40函数极值函数极值(local extremum)为函数为函数f(x)关键点关键点(critical point)若若或或不存在，不存在，函数函数f(x)极值点一定是极值点一定是关键点关键点但函数但函数f(x)关键点关键点却不一定是极值点却不一定是极值点如：如：但但非极值非极值不存在，不存在，非极值非极值则称则称第40页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 41多元函数条件极值（多元函数条件极值（Lagrange Multipliers）无条件极值只有函数本身定义域限制无条件极值只有函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制+条件限制条件限制若函数若函数限制条件为：限制条件为：想法：想法：把函数把函数看成改变等高曲线簇看成改变等高曲线簇而限制条件而限制条件则为固定等高曲线则为固定等高曲线极值必定取在两曲线相切地方极值必定取在两曲线相切地方函数垂直于其等高曲线梯度函数垂直于其等高曲线梯度第41页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 42一样想法可得函数一样想法可得函数在限制条件在限制条件极值极值几何上就是几何上就是位于位于所在平面所在平面也可利用线性空间基底线性无关概念：也可利用线性空间基底线性无关概念：函数函数有两个限制条件有两个限制条件函数取极值时函数取极值时从而有：从而有：这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解此方法称为此方法称为Lagrange Multipliers可推广：可推广：在限制条件在限制条件第42页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 43函数最值函数最值一维函数一维函数函数在闭区间连续，函数才有最值函数在闭区间连续，函数才有最值无最大值无最大值无最小值无最小值最值求法：最值求法：（i）（ii）找出关键点找出关键点比较函数在关键点和闭区间端点函数值比较函数在关键点和闭区间端点函数值最值最值或或不存在不存在查看关键点二阶导数查看关键点二阶导数极小值极小值极大值极大值（iii）第43页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 44若若，且，且方向导数方向导数第44页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 45设设则则又又所以所以于是于是第45页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 46二元函数最值二元函数最值(i)找出关键点找出关键点或或不存在不存在(ii)查看关键点二阶导数查看关键点二阶导数若若函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值第46页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 47若若，另觅方法判断，另觅方法判断若若，则有：，则有：(1)(2)正定（正定（），），(3)为鞍点为鞍点为极小值为极小值，为极大值为极大值，X轴方向上凹向上轴方向上凹向上全部方向上凹向上全部方向上凹向上比较函数在关键点和定义域边界点函数值比较函数在关键点和定义域边界点函数值（iii）第47页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 48所以所以时，时，第48页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 49积积 分分n等分，等分，Riemannn sum若若表示小长方形表示小长方形面积面积和和，则，则对于连续函数对于连续函数第49页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 50对于连续函数对于连续函数假如假如，那么，那么全微分应用全微分应用第50页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 51积分中值定理积分中值定理离散型求和离散型求和连续型求和连续型求和定积分：定积分：定积分代数意义：定积分代数意义：求和求和与与平均平均定积分几何意义：定积分几何意义：曲线与积分区间变量轴所围成曲线与积分区间变量轴所围成面积面积(有正负有正负)右手螺旋右手螺旋第51页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 52定积分性质：定积分性质：若在若在，有，有，则，则，则，则，则，则若若若若，则为偶函数，且，则为偶函数，且，则为奇函数，且，则为奇函数，且线性算符线性算符第52页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 53计算计算n维物体维物体“体积体积”2Dn维物体体积维物体体积n-1维截面体积维截面体积剩下剩下1维方向维方向n-1维维1维维例：右图面积为：例：右图面积为：第53页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 543D例：求球体积例：求球体积常取常取为：为：旋转体旋转体水平截环状水平截环状竖直截柱状竖直截柱状第54页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 55积分是导数逆运算，盒子法很方便积分是导数逆运算，盒子法很方便（C为任意常数）为任意常数）不定积分不定积分曲线簇不定积分性质：不定积分性质：且有且有第55页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 56常数和初等函数不定积分常数和初等函数不定积分:(k 为常数为常数)第56页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 57续续第57页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 58续续第58页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 59第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法盒子法盒子法分部积分法：分部积分法：OROR第59页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 60第一类换元法第一类换元法(所谓所谓配元法配元法或或凑微分法凑微分法）若有若有初等函数积分：初等函数积分：求求则则，自然会想到，自然会想到，自然会想到，自然会想到第60页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 61惯用配元形式惯用配元形式:第61页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 62第二类换元法第二类换元法(所谓所谓参数法参数法)若有若有初等函数积分：初等函数积分：若若难求，而化成另一个形式难求，而化成另一个形式时，易求时，易求求求则则，自然会想到，自然会想到，自然会想到，自然会想到第62页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 63常系数微分方程常系数微分方程解图象解图象:微分方程积分曲线微分方程积分曲线.通解图象通解图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数条件用来确定任意常数条件.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件解问题求微分方程满足初始条件解问题.一阶微分方程一阶微分方程 确定任意常数条件：已知一点确定任意常数条件：已知一点二阶微分方程二阶微分方程 确定任意常数条件：确定任意常数条件：解微分方程解微分方程实质实质是是降阶降阶第63页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 64分类分类3:3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4:4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.分类分类1:1:常微分方程常微分方程,偏常微分方程偏常微分方程.分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n n)微分方程微分方程第64页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 65一阶微分方程有时也写成以下对称形式一阶微分方程有时也写成以下对称形式（x与与y对称）对称）可分离变量微分方程可分离变量微分方程能化为能化为积分后得积分后得求显式解只需解方程求显式解只需解方程或或称为隐式称为隐式(通通)解解表示成表示成第65页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 66若若，则称这方程为，则称这方程为齐次方程齐次方程分离变量分离变量 两端积分两端积分 还原变量还原变量 令令，即，即，则，则求出积分后，求出积分后，代替代替u齐次方程齐次方程再用再用第66页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 67标准形式标准形式:，上方程称为，上方程称为齐次齐次，上方程称为，上方程称为非齐次非齐次一阶线性微分方程一阶线性微分方程当当当当1.1.线性齐次方程线性齐次方程分离变量法分离变量法齐次方程通解为齐次方程通解为第67页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 682.2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比设设为为，则，则即即第68页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 69常数变易法常数变易法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法实质实质:未知函数变量代换未知函数变量代换作变换作变换用新未知函数用新未知函数可推出原未知函数可推出原未知函数第69页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 70积分得积分得一阶线性非齐次微分方程通解为一阶线性非齐次微分方程通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解将将y和和y代入原方程得代入原方程得即即 非齐通解非齐通解 =齐通解齐通解 +非齐特解非齐特解第70页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 71伯努利方程伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程标准形式方程标准形式解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程当当n0n0，1 1 时，方程为非线性微分方程时，方程为非线性微分方程当当n=0=0，1 1 时，方程为线性微分方程时，方程为线性微分方程第71页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 72代入上式可得代入上式可得求出通解后，将求出通解后，将令令，则，则两端除以两端除以，得，得代入可得代入可得第72页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 73 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离方程或化利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离方程或化为已知其求解步骤方程是求解微分方程一个最惯用思想为已知其求解步骤方程是求解微分方程一个最惯用思想方法方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli Bernoulli 方程等都是经过变量代换来求解方程方程等都是经过变量代换来求解方程将将变换为变换为 也常能够考虑也常能够考虑齐次方程齐次方程线性非齐次方程线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程可令可令可令可令可令可令第73页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 74步骤步骤:从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数高阶常系数线性微分方程只含有一个未知函数高阶常系数线性微分方程解此高阶微分方程解此高阶微分方程,求出满足该方程未知函数求出满足该方程未知函数.把已求得函数带入原方程组把已求得函数带入原方程组,普通说来，无须经过积普通说来，无须经过积分就可求出其余未知函数分就可求出其余未知函数常系数线性微分方程组解法常系数线性微分方程组解法第74页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 751 1、积分积分n次次 可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程，2 2、特点：特点：右端不含右端不含 仅是仅是 x 函数函数 特点：特点：型微分方程型微分方程不显含未知函数不显含未知函数y及及令令则则那么原微分方程化为关于那么原微分方程化为关于pn-k阶方程阶方程于是可解得于是可解得p，将将连续积分连续积分k次可得通解。次可得通解。型微分方程型微分方程第75页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 76特点：特点：3 3、型微分方程型微分方程右端不显含自变量右端不显含自变量x及及设设则则代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数n-1-1阶微分方程阶微分方程可求其解为可求其解为分离变量便可求出其通解分离变量便可求出其通解第76页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 77若一方程既属于不含若一方程既属于不含 x 型又属于不含型又属于不含 y 型型普通而言若两边可消去普通而言若两边可消去 p作为不含作为不含 x 型（类型型（类型3 3）解较简单）解较简单若两边不可消去若两边不可消去p 作为不含作为不含 y 型（类型型（类型2 2）解较简单）解较简单4 4、型微分方程型微分方程特点：特点：方程一端恰好可化为某一函数方程一端恰好可化为某一函数降阶求解降阶求解把方程一端化为某一函数时，含有很强技巧，需积累把方程一端化为某一函数时，含有很强技巧，需积累第77页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 785 5、型微分方程型微分方程特点：特点：k阶齐次函数阶齐次函数令令则则，代入原方程并消去代入原方程并消去可得到关于可得到关于n-1阶方程阶方程于是化为类型于是化为类型2第78页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 79例：例：解：解：，代入原方程，代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为求方程求方程 通解通解求得通解为求得通解为例：例：求方程求方程 通解通解解：解：设设，代入原方程，得，代入原方程，得求得通解为求得通解为原方程通解为原方程通解为设设第79页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 80高阶线性微分方程高阶线性微分方程二阶线性微分方程普通形式为二阶线性微分方程普通形式为若方程右端若方程右端 f(x)0时时 方程称为齐次方程称为齐次 不然称为非齐次不然称为非齐次线性微分方程解结构线性微分方程解结构高阶线性微分方程高阶线性微分方程定理定理1(1(齐次方程解叠加原理齐次方程解叠加原理)假如函数假如函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0两个解两个解 那么那么y C1y1(x)C2y2(x)也是方程解也是方程解 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 第80页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 81对对于于两两个个函函数数 假假如如它它们们比比恒恒为为常常数数 那那么么它它们们就就线线性性相相关关 不不然就线性无关然就线性无关 判别两个函数线性相关性方法判别两个函数线性相关性方法 函数线性相关与线性无关函数线性相关与线性无关 设设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间为定义在区间I上上n个函数个函数 假如存假如存在在n个不全为零常数个不全为零常数k1 k2 kn 使得当使得当x I 时有恒等式时有恒等式 k1 y1(x)k2 y2(x)kn yn(x)0 那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I上线性相关上线性相关 不然称为线性无关不然称为线性无关 第81页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 82假如假如y1(x)y2(x)yn(x)是方程是方程y(n)a1(x)y(n 1)an 1(x)y an(x)y 0 n个线性无关解个线性无关解 那么那么 此方程通解为此方程通解为 y C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中其中C1 C2 Cn为任意常数为任意常数 推论推论假假如如函函数数y1(x)与与y2(x)是是方方程程y+P(x)y+Q(x)y=0两两个个线线性性无无关关解解 那么那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程通解是方程通解 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 定理定理2 2(齐次方程通解结构齐次方程通解结构)第82页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 83定理定理3 3(非齐次方程通解结构非齐次方程通解结构)设设y*(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y f(x)一个特解一个特解 Y(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0通解通解 那么那么y Y(x)y*(x)是方是方程程yP(x)y Q(x)y f(x)通解通解 定理定理4(非齐次方程解叠加原理非齐次方程解叠加原理)设设y1*(x)与与y2*(x)分别是方程分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与与 y P(x)y Q(x)y f2(x)特解特解 那么那么y1*(x)y2*(x)是方程是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)特解特解 第83页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 84二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中其中p、q均为常数均为常数 把此特解代入二阶常系数微分方程把此特解代入二阶常系数微分方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根特点特点:未知函数与其各阶导数线性组合等于未知函数与其各阶导数线性组合等于0 0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜测猜测有特解有特解因因第84页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 85有两个不相等实根有两个不相等实根 r1、r2 有一对共轭复根有一对共轭复根 r1,2 i 方程方程y y py py qyqy 0 0通解通解方程方程r2 pr q 0根情况根情况有两个相等实根有两个相等实根 r1 r2 特征方程根与通解关系特征方程根与通解关系第85页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 86n阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程 方程方程 y(n)p1y(n 1)p2 y(n 2)pn 1y pny 0称为称为n 阶阶常常系数齐次线性微分方程系数齐次线性微分方程 其中其中 p1 p2 pn 1 pn都是常数都是常数 引入微分算子引入微分算子D及微分算子及微分算子n次多项式次多项式 L(D)Dn p1Dn 1 p2 Dn 2 pn 1D pn则则n阶常系数齐次线性微分方程可记作阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn p1Dn 1 p2 Dn 2 pn 1D pn)y 0 或或 L(D)y 0注注 D0y y，Dy y ，D2y y ，D3y y ，Dny y(n)第86页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 87一样令一样令y erx 则则 L(D)y L(D)e rx (rn p1rn 1 p2 rn 2 pn 1r pn)erx L(r)erx 故有故有特征方程特征方程因因L(r)=(rn p1rn 1 p2 rn 2 pn 1r pn)erx=0单实根单实根rn n阶微分方程通解阶微分方程通解方程方程L(r)0根情况根情况一对单复根一对单复根r1 2 i n n阶微分方程特征方程根与通解关系阶微分方程特征方程根与通解关系e x(C1cos x C2sin x)k重实根重实根r erx(C1 C2x Ckxk 1)一一对对k重复根重复根r1 2 i e x(C1 C2x Ck xk 1)cos x (D1 D2x Dkxk 1)sin x第87页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 88n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程每一个根都对应着而特征方程每一个根都对应着通解中一项通解中一项,且每一项各含一个任意常数且每一项各含一个任意常数.实重根实重根复单根复单根复重根复重根实单根实单根几个情况几个情况每个根对应通解中一项每个根对应通解中一项其写法与二阶方程情形完全类似其写法与二阶方程情形完全类似详细分为详细分为小结小结:常系数齐次微分方程求通解普通步骤常系数齐次微分方程求通解普通步骤:（1 1）写出对应特征方程）写出对应特征方程（2 2）求出特征根）求出特征根（3 3）依据特征根不一样情况）依据特征根不一样情况,得到对应通解得到对应通解 第88页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 89二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程常见类型常见类型难点：难点：怎样求特解？怎样求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.自由项自由项f(x)为以下四种形式为以下四种形式:二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,通解为：通解为：齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程特解非齐次方程特解(同幂系数比较法同幂系数比较法)欧拉公式：欧拉公式：第89页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 90自由项自由项f(x)四种形式可归结为一个形式四种形式可归结为一个形式当当=0=0，=0=0时，时，当当=0=0时，时，当当=0=0时，时，取虚部为取虚部为取实部为取实部为所以所以f(x)四种形式归结为求四种形式归结为求第90页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 91设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程可得：代入原方程可得：型型(1)(1)若若r r不是特征方程根不是特征方程根可设可设，考查考查其中其中，系数可经过系数可经过*式比较同幂系数相等而全部取得式比较同幂系数相等而全部取得*式左端最高次幂由式左端最高次幂由决定，与决定，与最高次幂相同最高次幂相同第91页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 92(2)(2)若若r r是特征方程单根是特征方程单根可设可设,，系数可经过系数可经过*式比较同幂系数相等而全部取得式比较同幂系数相等而全部取得*式左端最高次幂由式左端最高次幂由决定，要保持与决定，要保持与最高次幂相同，就必须设最高次幂相同，就必须设可设可设，(3)(3)若若是特征方程重根是特征方程重根可推广到可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数是重根次数)可设可设，第92页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 93由非齐次方程解叠加原理可知，对于二阶常微分方程由非齐次方程解叠加原理可知，对于二阶常微分方程 设设y1*(x)与与y2*(x)分别是方程分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与与 y P(x)y Q(x)y f2(x)特解特解 那么那么y1*(x)y2*(x)是方程是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)特解特解 不论不论采取下面哪四种形式采取下面哪四种形式,或是它们叠加形式，求法都是一样，是叠加，分开求，或是它们叠加形式，求法都是一样，是叠加，分开求，利用解叠加，得到总通解即可利用解叠加，得到总通解即可非齐次方程解叠加原理非齐次方程解叠加原理第93页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 94矢矢 量量u加法加法u减法减法u数乘数乘u点乘点乘u叉乘叉乘u混合乘混合乘矢量相关一些量矢量相关一些量矢量计算矢量计算矢量导数矢量导数矢量积分矢量积分第94页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 95n标量（标量（scalarscalar）只用数值（包含大小与正负）即可描述量只用数值（包含大小与正负）即可描述量如：如：时间时间t、旅程、旅程s、质量、质量m、能量、能量E、电量、电量q 、电流电流I 等等n标量计算标量计算遵照各种数字运算法则，如：遵照各种数字运算法则，如：+-+-长度单位矢量相关一些量矢量相关一些量第95页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 96n矢量（矢量（vectorvector）含有大小和方向，而且加法遵从平行四边形法则量含有大小和方向，而且加法遵从平行四边形法则量如如:力力F F、速度、速度v v、加速度、加速度a a、角速度、角速度、电场强度、电场强度E E 等等长度单位矢端矢尾印刷体通惯用黑体字母，手写体通惯用字母并在头顶上一个箭头印刷体通惯用黑体字母，手写体通惯用字母并在头顶上一个箭头也称平行四边行法则为三角形法则也称平行四边行法则为三角形法则第96页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 97矢量模矢量模 矢量大小，矢量大小，模为模为0 0矢量，矢量，单位矢量单位矢量 矢量模为矢量模为1 1矢量，矢量，等表示等表示零矢量零矢量矢量相等矢量相等 矢量模相等且方向一致矢量模相等且方向一致矢量计算矢量计算化化标量计算标量计算主要依据主要依据或或负矢量负矢量与原矢量模相等，但方向相反与原矢量模相等，但方向相反表示为表示为惯用惯用记作记作第97页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 98矢量加法矢量加法号号是因平移造成角度为是因平移造成角度为补角补角关系关系矢量矢量满足满足，则，则平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则矢量计算矢量计算第98页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 99交换律交换律结合律结合律多边形法则多边形法则矢量加法性质：矢量加法性质：n边形亦是如此边形亦是如此封闭性封闭性第99页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 100矢量减法矢量减法矢量减法是加法逆运算矢量减法是加法逆运算为矢量为矢量第100页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 101矢量数乘矢量数乘矢量数乘后仍是一个矢量，矢量数乘后仍是一个矢量，同向同向模伸长模伸长为矢量，为矢量，为实数为实数矢量数乘：矢量数乘：与与反向反向与与零矢量零矢量较较模缩短模缩短较较与与模相同模相同且且第101页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 102矢量数乘性质：矢量数乘性质：分配律分配律结合律结合律单位元素单位元素为矢量为矢量为实数为实数第102页理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 103矢量点乘矢量点乘表示由表示由到到到角到角矢量点乘结