湖北省襄阳四中高三冲刺模拟一数学理解析版.doc

湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一
理科数学试题
命题人：程孟良 审题人：张念国
【试卷综析】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，同时稳中出新。特别注意数学的思辨性的考查，角度新巧，能力立意的命题思想不变，但测试能力的角度则往往变幻无穷。突出对考生数学运算能力、数学应用意识的考查。兼具预测。模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．在复平面内复数对应的点在第一象限 B．复数的共轭复数
C．若复数为纯虚数，则 D．复数的模
【知识点】复数代数形式的乘除运算．
【答案解析】C 解析 ：解：=,复数z对应的点为在第四象限，故排除A；
复数z的共轭复数，故排除B；
∵复数z1=z+b=是纯虚数，则,解得b=，故C正确；
复数z的模|z|==，故排除D；故选C．
【思路点拨】先化简复数z，然后根据复数有关概念及代数运算逐项判断即可．
2、设全集 ，则（ ）
A． B. C. D.
【知识点】分式不等式的解法；集合的交集、补集的运算.
【答案解析】A 解析 ：解：,解得，又，.
即集合M,N中都有元素1,2. 说明集合M,N中没有元素0.或者=，即中有元素4,5，故.
【思路点拨】先通过解分式不等式得到全集，然后利用已知条件依次判断即可.
3、如果满足，，的△恰有一个，那么的取值范围是 ( )
A．　　　B.　　　C.　　D.或
【知识点】三角形解个数的问题; 分类讨论．
【答案解析】D 解析 ：解：：（1）当AC＜BC•sin∠ABC，即12＜k•sin60°，即k＞时，三角形无解；
（2）当AC=BC•sin∠ABC，即12=k•sin60°，即k= 时，三角形有1解；
（3）当BCsin∠ABC＜AC＜BC，即ksin60°＜12＜k，即12＜k＜时，三角形有2个解；
（4）当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有1个解．
综上所述：当0＜k≤12或k= 时，三角形恰有一个解．故选D．
【思路点拨】要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k满足的条件．
4、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )
A. B.
C. D.

【知识点】由三视图求面积、体积．
【答案解析】C 解析 ：解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
，球的表面积4πr2=4π×= ．故答案是C．
【思路点拨】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．
【典型总结】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．
5、如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B. C．1 D.3
【知识点】向量的加减法，向量共线定理，平面向量基本定理.
【答案解析】A 解析 ：解：由B、P、M三点共线可得向量共线，故可设，若把看作 所在平面的一组基底，由向量的加减法可将化为,即,由平面向量基本定理可得方程组解得，故选A.
【思路点拨】由三点共线得向量共线，由向量共线定理得等式求m值
6、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】定积分．
【答案解析】C 解析 ：解：令v（t）=7-3t+＝0，化为3t2-4t-32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．
【思路点拨】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=解出即可
7、2013年11月24日，伊朗与伊朗核谈判六国（美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国）在瑞士日内瓦达成阶段性协议，会后六国外长合影留念，若中俄两国外长表示友好要相邻排列，且均不与美国外长相邻，则不同的站位种数为（　　）
A. B. C. D.
【知识点】乘法原理；捆绑法，插空法.
【答案解析】C 解析 ：解：中俄两国外长要相邻,则看成一个整体站法种数为,然后站美英法德产生的5个空位置的3个，有3种站法；美英法德四国外长有种站法，依据乘法原理，不同的站位种数为3=144.
【思路点拨】解决站位问题时，相邻用捆绑法，不相邻用插空法.
8、将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成1000个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值为 （　　）
A. B. C. D.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差．
【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下8个，一共有8×12=96个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；
③每个表面去掉四条棱上的36个小正方形，还剩下64个小正方形，因此一共有64×6=384个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．
④由以上可知：还剩下1000-（8+96+384）=512个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ．
X
0
1
2
3
P

故X的分布列为
因此E（X）=0×+1×+2×+3×=．故选D．
【思路点拨】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下8个，一共有8×12=96个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的36个小正方形，还剩下64个小正方形，因此一共有64×6=384个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下1000-（8+96+384）=512个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
9、过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
【答案解析】D 解析 ：解：设P（x1，y1），Q（x，y），
因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为（3，y）．
又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1），所以，
∴由定比分点公式，可得，，
代入椭圆方程，得Q点轨迹方程为∴离心率.故选：D．
【思路点拨】先确定P，Q坐标之间的关系，利用椭圆方程，可得Q点轨迹方程，从而可求离心率的取值范围．
10．若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数()使得
对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”． 有下列关于“—伴随函数”的结论：
①是常数函数中唯一个“—伴随函数”； ②不是“—伴随函数”；
③是一个“—伴随函数”； ④“—伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点】函数的概念及构成要素，函数的零点， f（x）是λ-伴随函数的定义，反证法。
【答案解析】B 解析 ：解：：①设f（x）=C是一个“-伴随函数”，则（1+）C=0，当=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“-伴随函数”，故①不正确；
②∵f（x）=x，∴f（x+）+f（x）=x++x，当=-1时，f（x+）+f（x）=-1≠0；≠-1时，f（x+）+f（x）=0有唯一解，∴不存在常数（∈R）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，∴（x）=x不是“-伴随函数”，故②正确；
③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+）2+x2=0，即（1+）x2+2x+2=0对任意实数x成立，所以+1=2=2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“-伴随函数”，故③不正确；
④令x=0，得所以，
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在上必有实数根．因此任意的“-伴随函数”必有根，即任意“-伴随函数”至少有一个零点，故④正确
【思路点拨】①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”；
②根据f（x）=x，可得f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，故不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立；
③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，从而有λ+1=2λ=λ2=0，此式无解；
④令x=0，可得所以，
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，由此可得结论．
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）
（一）必考题（11-14题）
11．直线的倾斜角为，则的
值为 ．
【知识点】斜率与倾斜角；三角式的化简.
【答案解析】 解析 ：解：因为直线的倾斜角为，所以tan=2,
则=，故答案为：.
【思路点拨】先由直线的倾斜角为，求出tan=2,代入即可.

12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
【知识点】循环结构的程序框图，.
【答案解析】10 解析 ：解：由程序框图知：程序第一次运行S=2，i=2×1+1=3；
第二次运行S=2+2=4，i=2×3+1=7；
第三次运行S=2+2+2=6，i=2×7+1=15；
第四次运行S=2+2+2+2=8，i=2×15+1=31；
第五次运行S=2+2+2+2+2=10，i=2×31+1=63．
满足条件i＞32，程序运行终止，输出S=10．
故答案为：10．
【思路点拨】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞32，计算输出S的值．

13. ，，，当取得最大值时，，，则实数的取值范围是 .
【知识点】简单线性规划的应用．
【答案解析】 解析 ：解：如图，M、N表示的区域如图所示，
显然最优解在C处取得，
过点（5，0）作斜率为-2的直线交直线BC：x=3于F，
则C应在点F上方，可求得F（3，4），∴t＞4．
【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出何时目标函数z=2x+y在线性约束条（x，y）∈M∪N 下取得最大值时，从而得到实数t的取值范围即可．
【典型总结】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
14. 数列的前项组成集合，从集合中任取（）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记．例如：
当时，；
当时，．
则（1） ；（2） ．
【知识点】等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理．
【答案解析】（1）（2）解析 ：解：当n=3时，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以
由=
猜想Sn＝，下面证明：
（1）易知n=1时成立；
（2）假设n=k时Sk＝，
则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）Tk′]（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），
=（T1′+T2′+T3′+…Tk′）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（T1′+T2′+T3′+…Tk′）
=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk
=2k+1（）+（2k+1-1）
=2k+1•=，即n=k时Sk+1＝也成立，
综合（1）（2）知对n∈N*Sn＝成立．
所以Sn＝．
【思路点拨】根据Sn=T1+T2+…+Tn的意义即可求得n=3时S3．根据S1，S2，S3，猜想然后利用数学归纳法证明即可．
（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答）
15．（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝ ．

【知识点】切线的性质；勾股定理；相交弦定理．
【答案解析】24 解析 ：解：连接AD，BC．
设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x
∵AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，
∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．
又∵D为Rt△AEF的斜边EF的中点，
∴DA=DE=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴AF＝AC＝．
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF2=AE2+AF2，即36x2=y2+320．
设BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x2，
∴y2+320=3yz①
又∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，从而BC=BE=z．
在Rt△ACB中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即（y+z）2=320+z2，
∴y2+2yz=320．②
联立①②，解得y=8，z=16．
∴AB=AE+BE=24．
【思路点拨】首先连接AD，BC，设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x．利用圆的切线的性质，可得△EAF为直角三角形，由勾股定理得：EF2=AE2+AF2，建立关于x，y的关系式，再设BE=z，由相交弦定理得到y，z的关系式，从而能求出x，y，z的值，问题得解．
16．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线与曲线（为参数）有两个不同的交点，则实数的取值范围为 .
【知识点】极坐标方程、参数方程都转化为普通方程；一元二次方程的根的分布.
【答案解析】 解析 ：解：极坐标方程转化为普通方程为，参数方程转化为普通方程为，联立即在有两个不相等的实数根，所以即，故实数的取值范围为.
【思路点拨】把极坐标方程、参数方程都转化为普通方程，然后联立，再转化为在有两个不相等的实数根的问题即可.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17.（本小题满分12分）
已知函数，钝角⊿ABC（角A、B、C所对的边长分别为 a、b、c）的角满足.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；]
（2）若，求、.[
【知识点】三角函数的单调区间的求法；余弦定理.
【答案解析】（1） （2）；.
解析 ：解：（1）..................................................................3分
由
所以函数f(x)的单调递增区间.......................................6分
（2）由..............................8分
又因为，所以，由余弦定理，
解得或...................................................................................................10分
又因为是⊿ABC 钝角三角形，所以...............................................................12分
【思路点拨】（1）先把原函数式化简为，再利用正弦函数的单调性求出单调区间. （2）利用余弦定理即可.
18.（本小题满分12分）
将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为的等差数列（第3行的3个数构成公差为的等差数列；第4行的4个数构成公差为的等差数列，……），，，。
（1）求数阵中第行、第列的数（用、表示）。
（2）求的值；

…
…
…

…
…
【知识点】等比数列的基本性质；数阵的规律.
【答案解析】（1） （2）
解析 ：解：（1）设的公比为。
依题意，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数。
∴ ，，，。…………… 3分
∴ ，，。
∴ 。 ………………… 6分
（2）由，，知，
为数阵中第63行，第61列的数。
∴ 。 ………………… 12分
【思路点拨】（1）先利用的公比为，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数，求出，然后写出.（2）先确定为数阵中第63行，第61列的数，再代入公式即可.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一点， P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且∥平面．
（1）求证：CD=C1D
（2）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（3）求点C到平面B1DP的距离
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；
空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．
【答案解析】（1）略（2） （3）
解析 ：解：（1）连接交于,
,
,又为的中点，中点，,
,D为的中点。…………4分
（2）由题意,过B 作,连接，
则,为二面角的平面角。
在中，,
则…………8分
（3）因为，所以,
,
在中，，
………………… 12分

【思路点拨】（1）由题意利用∥平面，然后即可.
（2）由题意找出为二面角的平面角；在三角形中求出其余弦值.
（3）利用体积转化法即可．
20.（本小题满分12分）
某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型： ，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：，）
【知识点】函数模型的选择与应用．
【答案解析】只有满足题意
解析 ：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5不满足公司要求；…2分
（2）y=1.003x，易知满足①，但当x>600时，y>6不满足公司要求；…4分
（3）易知满足①，
当x∈[10，1000]时，，满足②，……… 7分
对于③，设，，，满足条件③。…………11分
所以，只有满足题意。…………12分
【思路点拨】由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
21.（本小题满分13分）
已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中且．线段的垂直平分线与轴交于点.
（1）试证直线的垂直平分线经过定点。
（2）设中点为，求⊿ABC面积的表达式，要求用 表示。
（3）求⊿ABC面积的最大值。
【知识点】斜率公式；直线过定点；弦长公式；韦达定理；两点间距离公式；基本不等式.
【答案解析】（1）定点坐标为.
（2）
（3）
解析 ：解：（1）设线段的中点为，则 ，
.
线段的垂直平分线的方程是. （1）
易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.………4分
（2）由（1）知直线的方程为，即 . （2）
代入得，即. （3）
依题意，是方程（3）的两个实根，且，
所以,
.

.
定点到线段的距离
.
…………8分
（3）………………11分
当且仅当，即,
或
时等号成立.
所以，面积的最大值为.……………13分
【思路点拨】（1）设线段的中点为，则可求线段的垂直平分线的方程，
易知是方程的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.
（2）由已知得，
所以.
（3）借助于基本不等式求出最大值.
22.（本小题满分14分）
已知，函数，．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：
【知识点】利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值；分类讨论的思想方法；裂项法求和.
【答案解析】（1）（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.（3）略
解析 ：解：（1）函数的定义域为
∵　　　∴　 令　
① 若，则，在区间上单调递增，此时，无最小值；
② 若，则当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，有最小值；
③ 若，则，在区间上单调递减，
∴当时，有最小值．
综上：…………4分
（2） ∵ ∴
由（1）可知：当时，在区间上有最小值
∴∴当时，
∵曲线在点处的切线与轴垂直等价于：方程有实数解，
而 即方程无实数解，
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直。……8分
（3）由（1）可知：当时， 对恒成立，
即 当时，恒有　．．．．．．．．（＊）
取，得
∴
故(n∈N*)
又 在（*）式中，取(k∈N*)，得：

∴
故(n∈N*)
或：又 在（＊）式中，取，
得：
∴
故(n∈N*)………14分
【思路点拨】(1)借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．（2）曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直，等价于g′（x0）=0有实数根．其中括号内部分正好为当a=1时，，利用（1）的结论，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x0）=0无实数根，故不存在．（3）由（1）可知：当时， 对恒成立，
即 当时，恒有　．．．．．．．．（＊）
取，得
∴
故(n∈N*)
在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N*），然后利用裂项法进行求和可得结论．