南充高中考试数学试题及答案.doc

南充高中2015年面向省内外自主招生考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
第Ⅰ卷（选择.填空题）
一、选择题（每小题5分，共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）
1、二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值可为
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定
A．都不大于2 B.都不小于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个小于2
3、已知，则直线一定过
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
4、如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数的图象经过点B，则的值是
A. 1 B. 2 C. D.
5、如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是
A. B. C. 13 D. 16
6、在同一平面直角坐标系内直线、双曲线、抛物线共有多少个交点
A．5个 B.6个 C.7个 D.8个
7、已知，则
A． B． C． D．
8、如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、.已知，，且.则四边形的面积为
A．10 B．15 C． D．
9、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是（）米
A. 176 B.376 C. 576 D. 776
10.已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积为
A. 4 B.6 C. D.
二、填空题（每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）
11、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率为
12、设是方程的两根，则的值为
13、已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
14、已知在中，边的长为12，且这边上的高的长为3，则的周长的最小值为
15、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是
16. 某校举办数学竞赛，A,B,C，D,E五位同学分获前5名.发奖前，老师请他们猜一猜各人名次排列情况.A说：“B第三名，C第五名” ；B说：“E第四名，D第五名”； C说：“A第一名，E第四名”；D说：“C第一名，B第二名”； E说：“A第三名，D第四名”.结果，每个名次都有人猜对.请将五位同学名次按第一到第五依次排列为：
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)
17、（1）（本小题5分）解方程

（2）（本小题5分）当时化简
18、（本小题12分）已知抛物线与动直线有公共点，且
（1） 求实数的取值范围
（2）当为何值时，取到最小值，并求出的最小值

19、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配
个乒乓球.已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球
拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商
品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑
购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算？
（2）当时，请设计最省钱的购买方案

20、（本小题12分）如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
图2
图1
② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．

,
21、（本小题12分）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的的取值范围．

22、（本小题12分）如图，已知抛物线经过点C(－2，6)，
与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点D．
(1)求点A的坐标；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：是等腰直角三角形;
(3)连接AD交BC于点F，试问当时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一、选择题答案：(每小题5分，共计50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
C
A
A
C
A
D

二、填空题答案：(每小题5分，共计30分)
11．_______________ 12．__ （即4024036）___
13．_________2或3.5_______ 14．___________________
15．_________6____________ 16．____ CBAED ______________
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)
17、（1）（本小题5分）解方程

（2）（本小题5分）当时化简

解：（1）原方程整理得，设
则原方程化为即，解得，，又
，故，解得或
故原方程的解为

（2）

又当时 ，当时
18、（本小题12分）已知抛物线与动直线有公共点，且
（2） 求实数的取值范围
（2）当为何值时，取到最小值，并求出的最小值
解：（1）联立与，消去得二次方程 ①有实根，则，所以②，把②代入方程①得③，的取值应满足④，且使方程③有实根，即⑤，解不等式④得或，解不等式⑤得，所以的取值范围为⑥
（2）由②式知，由于，在是递增的，所以当时，
19、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球
已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，
每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算？
（2）当时，请设计最省钱的购买方案
解：（1）由题意，去A超市购买副球拍和个乒乓球的费用为元，去B超市购买副球拍和个乒乓球的费用为元，
由，解得；
由，解得；
由，解得，
当时，去A超市购买更合算；当时，去A,B两家超市购买都一样；当时，去时，去B超市购买更合算
（2）当时，购买副球拍应配个乒乓球
若只在A超市购买，则费用为 元
若只在B超市购买，则费用为元
若在B超市购买副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，则费用为
显然所以最省钱的购买方案是在B超市购买副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球
20、（本小题12分）如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．
图2
图1

（1）证明：∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∵CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．-------------4分
（2）解：①由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，sinA=
∴，
∴，---------------------6分
∵△ABC∽△ACD
∴
∴
∴---------------------------8分
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
（i）若点D在线段AP上
PD=AP-AD=4-
（ii）若点D在射线PY上
PD=AD-AP=-4
又当点D与点P重合，即时，PD=0，
故在题设条件下，总有PD=---------------------------12分
21、（本小题12分）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设BO=x，AE=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．

解：（1）∵以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E，
∴OB=OE，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°， ∴AO2+AE2=OE2，即（8-x）2+y2=x2，
∵y＞0， ∴ —————— 3分
（2）△EFD的周长不变．—————— 4分
理由如下：
∵EF⊥OE， ∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，∴∠AEO+∠AOE=90°——————5分，
∴∠DEF=∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，—————— 6分
,,
。。。。。。。。。7分
（3）设⊙O的半径R1=x，则⊙A的半径R2=8-x，圆心距d=OA=8-x，
∵4＜x＜8， ∴R1＞R2，
因为点A始终在⊙O内，所以外离和外切都不可能；
①_x0001_ 当⊙O与⊙A相交时，R1-R2＜d＜R1+R2，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，——————8分
解得： —————— 9分
故可得此时：
②当⊙O与⊙A内切时，d=R1-R2，即8-x=x-8+x，
解得：———— 10分
③当⊙O与⊙A内含时，0＜d＜R1-R2，即0＜8-x＜x-8+x，解得：—— 12分
22、（本小题12分）如图，已知抛物线经过点C(－2，6)，
与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点D．
(1)求点A的坐标；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：是等腰直角三角形;
(3)连接AD交BC于点F，试问当时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线经过点C(－2，6)
∴
∴
∴
∴当，
,
。。。。。。。。3分
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得： ，解得：。
∴直线BC的解析式为y=－2x+2． —————— 5分
∴点E的坐标为（0，2）。
∴。
∴AE=CE。—————— 7分
又∵

∴ —————— 6分
∴△AEC为等腰直角三角形——————7分
（3）在抛物线上存在点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似。—————— 8分
理由如下：
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。
∴直线AD的解析式为y=x+4。
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。
∴点F的坐标为（ ）。
则。
又∵AB=5，，
∴。 ∴。
又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。
∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与相似。——————10分
又∵抛物线关于直线对称
当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与相似。
∴当点P的坐标为（-2，6）或（-时，以A、B、P为顶点的三角形也与相似。
—————— 12分