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宝安中学2015—2016学年第一学期期末考试
高一数学试题
命题：许世清 审题：陶金娥 2016.01.25
选择题（1—12题，每小题5分，共60分）
1. 角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于
A. B. C．－ D．－
2.已知向量，则与
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
3.
A B C D
4.函数的零点所在的大致区间是
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
5.在△ABC中，D是AB上一点，若=2，=+，则=
A B C D
6．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝
A．5 B．4 C．3 D．2
7.设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则
A． B． C． D．
8.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象,则函数的解析式是
A． B.
C. D.
9.设向量的夹角为，定义的向量积：是一个向量，它的模||= ，若，，则||=
A. B. C. 2 D. 4
10.下列函数中，在上为减函数的是
A. B. C. D.
11．函数y＝sin x||(0<x<π)的图象大致是
12．已知函数实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是
A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c
填空题（13—16题，每小题5分，共20分）
13. 函数的单调递减区间是_______________．
14．若，则
15.设是常数，且，
则
16.给出下列命题:①若,则;
②已知AB,则
③已知是三个非零向量,若,则;
④已知,是一组基底,则与不共线,与也不共线;
⑤若与共线,则.其中正确命题的序号是 .
解答与证明题（17—22题，共70分）
17.(本小题满分10分)
已知，与的夹角为120°，
求： ⑴； ⑵.
18.（本题12分）
设函数的最大值为，最小值为.
(1)求，的值(用表示)；
(2)若角的终边经过点，求的值.
19.(本小题满分12分)
已知α∈(0，)，且cos2α＝.
(Ⅰ)求sinα＋cosα的值；
(Ⅱ)若b∈(，π)，且5sin(2α＋β)＝sinβ，求角β的大小 ．
20.（本题12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
0
0
0
0
请写出上表的、、，并直接写出函数的解析式；
（2）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小；
(3)求的面积.
21.（本题12分）
由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为。只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用。
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.
22.（本题12分）
设a为实数，记函数的最大值为g（a）.
（1）求函数的定义域；
（2）设t＝，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（3）求g（a）；
高一数学试题答案
选择题（1—12题，每小题5分，共60分）
BDDB ABCB CABD
填空题（13—16题，每小题5分，共20分）
13. 14． 15.3 16.①③④
解答与证明题（17—21题，共70分）
17.(本小题满分10分)
解：⑴ …5分
⑵ …10分
18.（本题12分）
解：(1)可得，而，
∴，；………………………………………………6分
由(1)知角的终边经过点，，所以，
原式=，
分子分母同时除以得原式=……………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(I)由cos2α＝，得1－2sin2α＝. ……2分
所以sin2α＝，又α∈，所以sinα＝. ……3分
因为cos2α＝1－sin2α，所以cos2α＝1－＝.
又α∈，所以cosα＝ ……5分
所以sinα＋cosα＝＋＝. ……6分
(Ⅱ)因为α∈，所以2α∈，
由已知cos2α＝，所以sin2α＝＝ ＝ ……7分
由5sin(2α+β)＝sinβ，得5(sin2αcosβ＋cos2αsinβ)＝sinβ. ……9分
所以5(cosβ＋sinβ)＝sinβ，即3cosβ＝－3sinβ，所以tanβ＝－1. ……11分
因为β∈， 所以β＝. ……13分
20.（本题12分）
解：（1），， ………………4分
（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数
因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以
M
所以，
所以.…………………………8分
根据函数图像的对称性可知线段
PQ必过点M(如图)
…………………………………………12分
21.（本题12分）
解：（1）函数在上单调递增，在上单调递减；……………………2分
（2）--------4分
………………………………………………………………5分
综上，得………………………………………………………………6分
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为………………………………………………………7分
（3）由（1）知，当时，单调递增
当时，单调递减
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，
即时，
…………………………10分
记，下面用单调函数的定义证明在上单调递减，上单调递增。
对任意满足，，
，所以，在上单调递减，同理可证，在上单调递增。
故当且仅当时，，
所以有最大值。……………………………………………………………12分
22.（本题12分）
（1）依题得：，解得：。函数的定义域为；
………………………………2分
（2）∵，∴要使有意义，必须且，即
∵，且……① ∴的取值范围是。
…………………………………4分
由①得：，∴，。
…………………………………………………6分
（3）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；……7分
2）当时，，，有=2；………………………………8分
3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．………………11分
综上所述，有=．…………………………………………12分
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