杨浦区九年级上学期期中质量调研数学试题.doc

2016-2017学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（　　）

A． B．DE：BC=1：3 　C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：2
4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（　　）
A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=
6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．
7．已知，则的值为　　．
8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距　　米．
9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为　　．
10．如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC=　　．

11．如图，点G为△ABC的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=　　．

12．已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是　　．
13．如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=　　．

14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=　　．

15．在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=　　度．
16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=　　．
17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=　　．
18．如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为　　．

三、解答题：本大题共7题，共46分．
19．（5分）计算：．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．
（1）求AC的长；
（2）求cotB的值．

21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）

22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．

23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．
（1）求证：△ADP∽△ABE；
（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．

24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．
（1）求证：AH•AB=AC•BC；
（2）求证：HM•AB=CH•AM．

25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．
（1）若PD⊥AB，求BP的长；
（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．

2016-2017学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和2ax=bc是否相等即可．
【解答】解：A、∵=，
∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；
B、∵=，
∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc相同，故本选项正确；
C、∵=，
∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；
D、∵=，
∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc不同，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．

2．（2016秋•浦东新区期中）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】常规题型．
【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．
【解答】解：如图，
可假设DE∥BC，则可得==，==，
但若只有==，并不能得出线段DE∥BC．
故选D．

【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．

3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（　　）

A． 　B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 　D．DE：BC=1：2
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，由已知得S△ADE=S△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比．
【解答】解：∵S△ADE=S四边形BCED，
∴S△ADE=S△ABC，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴（）2==，
∴DE：BC=1：．
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题．

4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】*平面向量；比较线段的长短．
【专题】数形结合．
【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．
【解答】解：A、=，故本选项错误；
B、=，故本选项正确；
C、+=，故本选项错误；
D、+=，故本选项错误．
故选B．

【点评】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．

5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（　　）
A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1解答即可．
【解答】解：∵直角顶点不确定，
∴tanB不确定，
∵tanA=，
∴=，
解得，sinA=，
故选：D．
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．

6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；
②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
【解答】解：①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；
故选：C．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．
7．已知，则的值为　　．
【考点】比例的性质．
【分析】设x=7a，则y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解．
【解答】解：∵，
∴设x=7a，则y=4a，
则===．
故答案是：．
【点评】本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键．

8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距　20000　米．
【考点】比例线段．
【分析】设两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案．
【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，
∵比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为2厘米，
∴，
解得：x=2000000，
∵2000000厘米=20千米，
∴两地间的实际距离是20000米．
故答案为：20000
【点评】此题考查了比例尺的性质．解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位．

9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为　　．
【考点】比例线段．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
【解答】解：根据题意知，点P是线段AB的黄金分割点，则①，
又∵AB=4，②
BP=AB﹣AP，③
由①②③，解得AP=；
故答案是：；
【点评】本题考查了比例线段．解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．

10．如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC=　4　．

【考点】平行线分线段成比例；梯形．
【分析】由AD∥EF∥BC，得==，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AD∥EF∥BC，
∴==
∵DF=8，
∴CF=4，
故答案为4．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度适中，解题的关键是注意比例变形与数形结合思想的应用．

11．如图，点G为△ABC的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=　　．

【考点】三角形的重心．
【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得△ABD的面积与△ACD的面积相等；根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得△CDG的面积等于△ACD面积的三分之一．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴△ABD的面积与△ACD的面积相等，且DG=AD，
∴△CDG的面积等于△ACD面积的，
∴△CDG的面积等于△ABD面积的，即S△CDG：S△ABD=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

12．（2013•黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是　16　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：两个相似三角形周长的比为2：3，
则相似比是2：3，
因而面积的比是4：9，
设小三角形的面积是4a，
则大三角形的面积是9a，
则9a=36，
解得a=4，
因而较小的三角形的面积是16．
故答案为：16．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

13．如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=　12　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据∠EAC=∠DAB可得出∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，再由∠C=∠D即可得出△ADE∽△ACB，故可得出=，再由AD=4，AE=6，AC=8即可得出AB的长．
【解答】解：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
∵∠C=∠D，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∵AD=4，AE=6，AC=8，
∴=，解得AB=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键．

14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=　﹣　．

【考点】*平面向量；平行线的性质．
【分析】由AD=DE=EB，=，可求得与，然后由三角形法则，求得，继而求得，又由△ADF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵AD=DE=EB，
∴=3=3，=2=2，
∴=+=2+，
∴=﹣=﹣，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴DF：BC=AD：AB=1：3，
∴==﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．

15．（2016秋•浦东新区期中）在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=　75　度．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】探究型．
【分析】先根据，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=　　．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据正弦与余弦之间的关系求出cosα，根据cotα=计算即可．
【解答】解：∵sinα=，
∴cosα==，
∴cotα==，
故答案为：．
【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握cotα=是解题的关键．

17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=　24或18　．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】根据△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，分两种情况讨论：△ABC∽△EFD，△ABC∽△EDF，分别根据对应边成比例，求得BC的长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，
∴当△ABC∽△EFD时，=，
即=，
解得BC=24；
当△ABC∽△EDF时，=，
即=，
解得BC=18．
故答案为：24或18．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

18．（2015•滨湖区一模）如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为　或　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，
∴AC=5，
∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，
设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，
在Rt△A′BC中，A′C=，
∵△A′EC是直角三角形，
∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD=；
②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2=（x）2，
解得x1=4（不合题意舍去），x2=．
故AD长为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．

三、解答题：本大题共7题，共46分．
19．（5分）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式===7+4．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．
（1）求AC的长；
（2）求cotB的值．

【考点】解直角三角形．
【分析】（1）根据sinA的值求出AB，根据勾股定理求出AC即可；
（2）把BC和AC的值代入cotB=求出即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA==，BC=6，
∴AB=8，
由勾股定理得：AC===2；

（2）cotB===．
【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中．

21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）

【考点】*平面向量．
【分析】根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为1，即可求得答案．

【解答】解：∵﹣2（﹣）=3﹣，
∴﹣2﹣2=3﹣，
∴﹣2=﹣2，
解得：=﹣+．

【点评】此题考查了向量的运算以及画法．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键．

22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先利用AB∥CD，得出△BEM∽△CDM，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴=，
∵CM2=EM•FM．
∴=，
∴=，
∴AD∥BC．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出△BEM∽△CDM是解题关键．

23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．
（1）求证：△ADP∽△ABE；
（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）延长AD、EP交于点M．设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由AM∥EB，得=，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，
∴△ADP∽△ABE．
（2）解：如图，延长AD、EP交于点M．
∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，
∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，
∵△ADP∽△ABE，
∴=，∴=，∴EB=3a，
∵DM∥EC，∴=，∴=，
∴DM=a，AM=a，∵AM∥EB，
∴===．

【点评】本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等 知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．
（1）求证：AH•AB=AC•BC；
（2）求证：HM•AB=CH•AM．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明AH•AB=AC•BC，只要证明△CAH∽△ABC即可．
（2）由S△ACM=•AM•CH=•AC•CM，推出AM•CH=AC•CM，再证明△MCH∽△ABC，得到=，推出MC•AC=AB•MH，由此即可证明．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，∴∠CAD=∠ACD，
∵CH⊥AM，∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴△CAH∽△ABC，
∴=，
∴AH•AB=AC•BC．
（2）∵S△ACM=•AM•CH=•AC•CM，
∴AM•CH=AC•CM，
∵CD=BD，∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，
∴△MCH∽△ABC，
∴=，
∴MC•AC=AB•MH，
∴HM•AB=CH•AM．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．
（1）若PD⊥AB，求BP的长；
（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．

【考点】三角形综合题．
【分析】（1）设AP=4k，根据正切的定义用k表示出BP，根据勾股定理求出AB，根据题意计算即可；
（2）作AE⊥BC于E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y关于x的函数关系式；
（3）分点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，∴∠APB=90°，
设AP=4k，∵tanB=，∴BP=3k，
由勾股定理得，AB=5k，
∵AB=5，∴k=1，则BP=3k=3；
（2）作AE⊥BC于E，
∵AB=5，tanB=，∴AE=4，BE=3，则PE=x﹣3，
由勾股定理得，AP==，
∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，∴△APD∽△ABP，
∴=，即（x﹣3）2+16=（5﹣y）×5，
整理得，y=﹣x2+x（0＜x＜6）；
（3）当点D在线段AB上，BP=BD时，x=y，
即x=﹣x2+x，解得，x=1；
DP=BD时，作DG⊥BP于G，
则BG=BP=x，∴=，则y=x，
由题意得，x=﹣x2+x，解得，x1=0（舍去），x2=；
当DP=BP时，=，解得，y=x，
则x=﹣x2+x，解得，x=0；
如图3，当点D在线段AB的延长线上时，
作PQ⊥AB交BA的延长线于Q，
设PQ=4k，则QB=3k，
由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k﹣5，
∵∴△APD∽△ABP，
∴=，即AP2=AD•AB，
∴（4k）2+（3k﹣5）2=5×（5+5k），
解得，k=，
则PB=5k=11，
综上所述，当BP=1、、时，△BDP是等腰三角形．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．