上海市中考数学试题分类解析汇编专题7平面几何基础.doc

2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编
专题7：平面几何基础和向量
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一、 选择题
1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】
　　（A）正多边形都是轴对称图形；
　　（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
　　（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
　　（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
【答案】A，C。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：
A、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；
B、正多边形一个内角的大小=(n－2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误；
C、正多边形的外角和为360°，每个外角=，随着n的增大，度数将变小，故正确；
D、正五边形的对角线就不相等，故错误。
故选A，C。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算的结果是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：。故选B。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形中，如果，，那么等于【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，。故选B。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 C．正三边形
【答案】C。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正边形的内角和可以表示成，则它的内角是等于，边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于的方程：，解这个方程得=4，即这个多边形是正四边形。故选C。
5.（上海市2009年4分）如图1，已知，那么下列结论正确的是【 】
A． B．
C． D．
【答案】A。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，得。故选A。
二、填空题
1. 上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝ ▲ ．
【答案】12。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得AE的长：
∵DE∥BC，∴。
∵AD=8，DB=6，CE=9，∴。
2.（上海市2002年2分）在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 ▲ 度．
【答案】30。
【考点】翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案：
在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，
∴∠A=∠ACM。
将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，设∠A=∠ACM=x度，
∴∠A+∠ACM=∠CMB。∴∠CMB=2x。
又根据折叠的性质可知∠MCG =∠ACM=x，
如果CD恰好与AB垂直，则在Rt△CMG中，∠MCG+∠CMB=90°，
即3x=90°，x=30°，即∠A等于30°。
3.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有 ▲ 条对称轴。
【答案】6。
【考点】轴对称的性质。
【分析】根据轴对称图形的特点，知正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线，
∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴。
4.（上海市2005年3分）在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，
DB＝4，AE＝3，那么EC＝ ▲
【答案】6。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到EC的长：
∵DE∥BC，∴CE：AE=BD：AD。
∵AD=2，DB=4，AE=3，∴EC=6。
5,（上海市2005年3分）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为 ▲
【答案】1。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，
∴。
又∵△BDE是△ADE翻折而成，DE为折痕，
∴DE⊥AB，，
∴在Rt△ADE中，。
6.（上海市2006年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。
【答案】
【考点】用旋转设计图案，中心对称图形。
【分析】通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可。
7.（上海市2007年3分）图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
【答案】。
【考点】利用旋转设计图案，中心对称图形。
【分析】图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转180°后将在左下方。
8.（上海市2008年4分）如图，已知，，那么的度数等于 ▲ 0．
【答案】40。
【考点】平行线的性质，对顶角的性质。
【分析】∵，∴∠2等于∠1的对顶角，∴。
9.（上海市2009年4分）如图，在中，是边上的中线，设向量，，如果用向量，表示向量，那么= ▲ ．
【答案】。
【考点】向量的计算。
【分析】∵，，∴根据平行四边形法则，。
又∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，∴。
∴用向量，表示向量为。
10.（上海市2009年4分）在中，为边上的点，联结（如图所示）．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 ▲ ．
【答案】2。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】∵沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，假设这个点是′。作，垂足分别为。
∵在中，，
∴′=3，，′=′=3，。
∴，即。
∴，即。
所以点M到AC的距离是2。
11.（上海市2010年4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量， ，则向量 ▲ .（结果用、表示）
【答案】。
【考点】平面向量，平行四边形的性质。
【分析】根据平行四边形的性质，可知，则，所以。
12.（上海市2010年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1
（如图所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C
两点的距离为 ▲ .
【答案】1或5。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】旋转两种情况如图所示：
顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC =1。
逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2B＋BC=5。
13.（上海市2011年4分）如图，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量 ▲ （结果用、表示）．
【答案】 。
【考点】平面向量。
【分析】∵AM是△ABC的中线，，∴ 。又∵，∴ 。
14.（上海市2011年4分） 如图， 点B、C、D在同一条直线上，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°， 那么∠A＝ ▲ ．
【答案】54°。
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理。
【分析】由CE∥AB，，根据平行线同位角相等的性质，得∠B＝∠ECD＝36°，从而根据三角形内角和定理，得∠A＝180°－∠ACB－∠B＝180°－90°－36°＝54°。
15.（上海市2011年4分）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上， 那么m＝ ▲ ．
【答案】80°或120°。
【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。
【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°＜m＜180°，故点B可落在AB边上和AC边上两种情况。
当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE是等腰三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得m＝∠BDE＝80°。
当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在Rt△CDH中，由已知BD＝2CD，即DH＝2CD，得∠CDH的余弦等于，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据邻补角定义得m＝∠BDH＝120°。
三、解答题
1.（上海市2004年10分）如图所示，在△ABC中，，延长BA到点D，使，点E、F分别为BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG//BC，交DF于点G，求证：AG=DG。
【答案】证明：（1）过点F作。
∵点E、F分别为BC、AC的中点，
∴，点H是AB的中点。
∴。
∴。
又∵，∴是的垂直平分线。∴。
（2）画出线段AG
∵，
∴。
由（1）知，∴。
【考点】三角形中位线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质。
【分析】（1）过点F作，由点E、F分别为BC、AC的中点，根据三角形中位线的判定和性质证明是的垂直平分线即可得出结论。
（2）由（1）的结论，根据三角形中位线的判定和性质即可得出结论。
2.（上海市2005年8分）（1）在图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两
个三角形的编号为　　　　　　　　；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为　　　　　　　　；
（2）在图4中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1

【答案】解：（1）：①，②；①，③；
（2）如图，△A1B1C1即为所求：

【考点】作图（轴对称变换），中心对称。
【分析】（1）根据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等，可知1，2两个图形是轴对称图形，根据中心对称的性质，对应点到原点的距离相等可知1，3是中心对称图形。
（2）从三角形三个顶点向x轴引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接。
O
C
A（上海市2008年10分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．

（1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整（3分）；
（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值（7分）．
【答案】解：（1）图形补画如下：

（2）由已知，垂足为点，则．
∵，∴。
在中，．设，，
又∵，得，解得。∴，。
∴，，。
在中，，∴，解得。
【考点】轴对称图形，解直角三角形的应用，勾股定理。
【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形。
（2）在和中分别应用勾股定理求解即可。

D
E
H
图2
3.（上海市2008年10分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．
图1

（1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整（3分）；
（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值（7分）．
【答案】解：（1）图形补画如下：

（2）由已知，垂足为点，则．
∵，∴。
在中，．设，，
又∵，得，解得。∴，。
∴，，。
在中，，∴，解得。
【考点】轴对称图形，解直角三角形的应用，勾股定理。
【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形。
（2）在和中分别应用勾股定理求解即可。