四川省2017中考数学专题突破复习题型专项十二二次函数与几何图形的综合题试题.doc

专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1(2016安徽)如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入yax2bx.得解得(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别为点E，F.SOADODAD244，SACDADCE4(x2)2x4，SBCDBDCF4(x23x)x26x，则SSOADSACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x.S关于x的函数解析式为Sx28x(2x6)S(x4)216.当x4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.2(2016雅安中学一诊)如图，已知抛物线yax2xc与x轴相交于A，B两点，并与直线yx2交于B，C两点，其中点C是直线yx2与y轴的交点，连接AC.(1)求抛物线解析式；(2)求证：ABC为直角三角形；(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积解：(1)直线yx2交x轴，y轴于B，C两点，B(4，0)，C(0，2)yax2xc经过点B，C，解得yx2x2.(2)令x2x20，解得x11，x24.OA1，OB4.AB5.AC2OA2OC25，BC2OC2OB220，AB225.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形(3)连接CD，BD，过点P作PEAB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.设直线BC的解析式为ykxb.将B(4，0)，C(0，2)代入，得解得直线BC的解析式为yx2.设点D(a，a2)，则点P(a，a2a2)PDPEDEa2a2(a2)a22a，当a2时，PD有最大值，PD的最大值为2.S四边形ACPBSACBSCBPABOCOBDP524DP52PD.当PD最大时，四边形ACPB的面积最大当点P的坐标为(2，3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5229.3(2015攀枝花)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得解得抛物线解析式为yx22x3.(2)设D(t，t22t3)，过点D作DHx轴于点H，连接DC，DB.令x0，则y3，C(0，3)SBCDS梯形DCOHSBDHSBOC(t22t33)t(3t)(t22t3)33t2t.0，当t时，即点D坐标为(，)时，SBCD有最大值，且最大面积为.(3)存在P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，直线BC解析式为为yx3，过点P且与BC平行的直线为yx5.由解得Q1(2，3)直线PM的解析式为x1，直线BC的解析式yx3，M(1，2)设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E且与BC平行的直线为yx1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一联立解得Q2(，)，Q3(，)满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，)或(，)类型2探究线段的数量关系及最值问题4(2016成都青羊区二诊改编)已知抛物线yx2(1)x2(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点D(2，2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AECE最小，求出点E的坐标解：(1)抛物线过点D(2，2)，4(1)222，解得a4.(2)点A，B是抛物线与x轴的交点，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AECE最小的点a4，抛物线解析式为yx2x2.令y0，则x2x20，解得x12，x24.令x0，则y2.A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)，对称轴为直线x1.直线BC解析式为yx2.当x1时，y，E(1，)5(2015南充)已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x1.(1)求抛物线解析式；(2)直线ykx2(k0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，当|x1x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值解：(1)由题意，得1，b2.抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)，x2bxc0的解为m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.抛物线解析式为yx22x3.(2)联立得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.当k2时，(x1x2)2的最小值为4，即|x1x2|的最小值为2.解得x11，x21，则y10，y24.当|x1x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(1，0)，N(1，4)(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)LOBBPPCCO，又线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变，要使L最小，只需BPCO最短如图，平移线段OC到BC，四边形OBCC是矩形C(3，3)作点P关于x轴(或OB)的对称点P(1，4)，连接CP与x轴交于点B.设CP解析式为yaxn.解得yx.当y0时，x，B(，0)又3，故点B向左平移个单位，平移到B.同时，点O向左平移个单位，平移到O(，0)，即线段OB向左平移个单位时，周长L最短此时，线段BP，CO之和最短为PC，OBOB3，CP.当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O(，0)，点B平移到B(，0)时，周长L最短为3.类型3探究特殊三角形的存在性问题6如图，已知抛物线E1：yx2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A，B.(1)求m的值；(2)求抛物线E2的函数解析式；(3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线E1经过点A(1，m)，m121.(2)抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为yax2(a0)，又点B(2，2)在抛物线E2上，2a22.解得a.抛物线E2的函数解析式为yx2.(3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形当点B为直角顶点时，过点B作Q1BBB交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2.将x2代入yx2，得y4.点Q1(2，4)；当点Q2为直角顶点时，则有Q2B2Q2B2BB2，过点Q2作Q2GBB于点G.设点Q2的坐标为(t，t2)(t0)，则有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得t43t20.t0，t230，解得t1，t2(舍去)点Q2(，3)综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)7(2016雅安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x22x80的两个根(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及CQE的面积的最大值；(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)解方程x22x80，得x14，x22.A(4，0)，B(2，0)设抛物线解析式为ya(x4)(x2)将C(0，4)代入，解得a.抛物线解析式为yx2x4.(2)由Q(x，0)，可得BQx2，AQ4x，过点E作EHAB于点H.EHCO.又QEAC，.，即EH(x2)SCQESCBQSEBQ(x2)4(x2)(x2)，y关于x的函数关系式为yx2x(x1)23(2x4)CQE的面积的最大值为3.(3)存在点F使得OMF是等腰三角形设AC的解析式为ykxb.直线AC过点A(4，0)和C(0，4)，解得直线AC的解析式为yx4.点F在AC上，设F(x，x4)，OF，MF，OM2.若OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：如图1，当OFFM时，F的横坐标应为1，F(1，3)；当OMOF2时，2，化简得x24x60.80这种情况不存在；如图2，当OMMF时，4，化简得x26x80，解得x12，x24(舍去)F(2，2)综上所述，当OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)8(2016凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB1.(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时OAP的面积为2，请求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点Q，使AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)设抛物线的解析式是yax2bxc，根据题意，得解得抛物线的解析式是y2x24x.(2)当OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或2.当2x24x2时，解得x1，点P的坐标是(1，2)；当2x24x2时，解得x1，此时点P的坐标是(1，2)或(1，2)综上，点P的坐标为(1，2)，(1，2)或(1，2)(3)AFABBF213，OA2.则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF，若点Q存在，则Q的坐标是(，)将Q(，)代入抛物线解析式成立抛物线上存在点Q(，)使AFQ是等腰直角三角形类型4探究特殊四边形的存在性问题9(2016雅安中学三诊)如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2，1)，B(0，7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为点F，E.当矩形CDEF为正方形时，求点C的坐标解：(1)把A(2，1)，B(0，7)两点的坐标代入yx2bxc，得解得该抛物线的解析式为yx22x7.yx22x7(x1)28，对称轴为直线x1.(2)当y0时，x22x70，解得x12，由图象知12x12时，y0.(3)设C点的坐标为(m，n)，矩形CDEF为正方形，nm22m7，即CFm22m7.C，D两点的纵坐标相等，C，D两点关于对称轴x1对称设点D的横坐标为p，则1mp1，p2m，CD(2m)m22m.CDCF，22mm22m7.解得m11，m25.点C在对称轴的左侧，m只能取1.当m1时，nm22m7(1)22(1)74.点C的坐标为(1，4)10(2016德阳旌阳区一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线顶点为E，根据题意OA4，OC3，得E(2，3)设抛物线解析式为ya(x2)23.将A(4，0)代入，得04a3，解得a.抛物线解析式为y(x2)23x23x.(2)设直线AC解析式为ykxb(k0)将A(4，0)与C(0，3)代入，得解得直线AC解析式为yx3.与抛物线解析式联立，得解得点D坐标为(1，)(3)假设存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如图1所示四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DMAN，由对称性得到M(3，)，即DM2，故AN2，N1(2，0)，N2(6，0)；当点M在x轴下方时，如图2所示过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MPDQ，NPAQ3，将yM代入抛物线解析式得x23x，解得xM2或xM2，xNxM31或1，N3(1，0)，N4(1，0)假设成立综上所述，满足条件的点N有4个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(1，0)，N4(1，0)11(2016成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧(1)求a的值及点A，B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为37的两部分时，求直线l的函数解析式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由解：(1)抛物线ya(x1)23与y轴交于点C(0，)a3，解得a.y(x1)23.当y0时，有(x1)230，x12，x24.A(4，0)，B(2，0)(2)A(4，0)，B(2，0)，C(0，)，D(1，3)，S四边形ABCDSAHDS梯形OCDHSBOC33(3)1210.从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：当直线l与边AD相交于点M1时，则SAHM1103，3(yM1)3.yM12，点M1(2，2)，过点H(1，0)和M1(2，2)的直线l的解析式为y2x2；当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(，2)，过点H(1，0)和M2(，2)的直线l的解析式为yx.综上：直线l的函数解析式为y2x2或yx.(3)假设以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且过点H(1，0)的直线PQ的解析式为ykxb.kb0，ykxk.联立得x2(k)xk0.x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2.点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式得点M(k1，k2)假设存在这样的N点如图所示，直线DNPQ.设直线DN的解析式为ykxk3.联立解得x11，x23k1.N(3k1，3k23)四边形DMPN是菱形，DNDM.(3k)2(3k2)2()2(k23)2.整理得3k4k240，(k21)(3k24)0.k210，3k240.解得k.k0，k.P(31，6)，M(1，2)，N(21，1)PMDN2.PMDN，四边形DMPN为菱形假设成立，即以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(21，1)类型5探究三角形相似问题12已知直线yx1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线yax2bxc过点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P，(1)求抛物线的解析式；(2)求POC的正切值；(3)若点M在x轴上，且ABM与APD相似，求点M的坐标解：(1)当y0时，x10，解得x2.当x0时，y1，A(2，0)，B(0，1)AOB顺时针旋转90得到COD，C(0，2)，D(1，0)抛物线yax2bxc过点A，D，C，解得抛物线解析式为yx2x2.(2)根据(1)，抛物线对称轴为x，()1，点P的坐标为(，)过点P作PQx轴于点Q，则PQy轴，POCOPQ.tanOPQ，tanPOC.(3)点M在x轴上，且ABM与APD相似，点M必在点A的右侧，AP2，AB，AD1(2)123.AA，AP和AB是对应边时，即，解得AM4.设点M坐标为(x，0)，则x(2)4，解得x2.点M的坐标为(2，0)；AP和AM是对应边时，即，解得AM.设点M坐标为(x，0)，则x(2)，解得x.点M的坐标为(，0)综上所述，当点M(2，0)或(，0)时，ABM与APD相似13(2016大邑县一诊改编)如图，二次函数yax24ax的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线ykx3k(k)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；(2)过点B作BDAC交AC于点D，若M(0，3)且Q点是直线AC上的一个动点求出当DBQ与AOM相似时点Q的坐标解：(1)设y0，即kx3k0，解得x3.A(3，0)A(3，0)在yax24ax的图象上，09a12a，解得a.该二次函数的解析式为yx2x.(2)在RtAOM中，OA3，OM3tanOAM，OAM60.如图1中，当Q在DA的延长线上时，BQD30，BQDAOM，在RtABD中，BDBAsin60.在RtBQD中，BDBQsin30，解得BQ2.过点Q作QQx轴于点Q.BAD60BQAQBA，BQD30，QBQ30.在RtBQQ中，QBQ30，BQ2，QQ，BQ3.Q(4，)；当点Q与点A重合时，BQD60，DQBOAM，此时点Q(3，0)；如图2中，当点Q在线段DC上时，BQD60，DQBOAM，在AQB中，BAQAQB60，得BQAB2.Q(2，)；如图3中，当BQD30时，DQBOMA，此时BQOM.设Q(1，y)在直线yx3上，解得y2.Q(1，2)综上所述，Q(4，)或Q(3，0)或Q(2，)或Q(1，2)14(2016攀枝花)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得抛物线解析式为yx22x3.(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.在yx22x3中，令y0，则0x22x3，解得x1或x3.A点坐标为(1，0)AB3(1)4，且OC3.SABCABOC436.B(3，0)，C(0，3)，直线BC解析式为yx3.设P点坐标为(x，x22x3)，则M点坐标为(x，x3)P点在第四象限，PMx3(x22x3)x23x.SPBCPMOHPMHBPM(OHHB)PMOBPM.当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大PMx23x(x)2，当x时，PMmax，则SPBC.此时P点坐标为(，)，S四边形ABPCSABCSPBC6.即当P点坐标为(，)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.(3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGPGNCGCN.当AGB和NGC相似时，必有AGBCGB.又AGBCGB180，AGBCGB90.ACOOBN.在AOC和NOB中，AOCNOB(ASA)ONOA1.N点坐标为(0，1)设直线m解析式为ykxd.把B，N两点坐标代入，得解得直线m解析式为yx1.故存在满足条件的直线m，其解析式为yx1.拓展类型其他问题1(2016巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线ymx24mx5m(m0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线yx相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线yx上(不与原点重合)，连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF.(1)如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；(2)求A，B两点的坐标；(3)如图所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线yx上任意一点P(不与原点重合)，PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由解：(1)ymx24mx5m，ym(x24x5)m(x5)(x1)令y0，则m(x5)(x1)0.m0，x5或x1.A(5，0)，B(1，0)抛物线的对称轴为x2.抛物线的顶点坐标为(2，6)，9m6，即m.抛物线的解析式为yx2x.(2)由(1)可知：A(5，0)，B(1，0)(3)如图所示，OP的解析式为yx，AOP30.PBF60.PDPF，FOOD，DPFFOD90.DPFFOD180.点O，D，P，F共圆PDFPBF.PDF60.2如图，抛物线yax2bxc的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为yx2.(1)求b，c的值；(2)过点C作CEx轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得CDMCEA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)直线CD的解析式为yx2，C(0，2)c2.设直线CD交x轴于点A，A(2，0).OCA30，过点D作DMy轴于点M，DCM30，CMDM，设抛物线的顶点横坐标为h，则CMh，D(h，2h)ya(xh)22h.C(0，2)，2ah22h.解得h10(舍)，h2.ya(x)22hax22x2h.b2.(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，DCM30，CDB30，由抛物线的对称性，可得DCE为等边三角形CEx轴，DAF为等边三角形点B为AF中点A(2，0)，F(4，0)，B(1，0)抛物线对称轴为直线x1，1.1.a.D(1，3)y(x1)23x22x2.(3)存在过点C作CMDE于点N交抛物线于点M，此时，CDMCEM.CDE为等边三角形，CM为DE的中垂线，DMEM，CDMCEM，D(1，3)，E(2，2)，N(，)设yCNkxb，代入(0，2)，(，)，得yCNx2.联立解得M(，)3(2016南充模拟)如图，已知：抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是yx2，连接AC.(1)B，C两点坐标分别为B(4，0)，C(0，2)，抛物线的函数关系式为yx2x2；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)在ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D，E，F，G在ABC各边上)？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由解：(2)ABC是直角三角形理由：当y0时，x2x20，解得x11，x24，则A(1，0)，AC212225，BC2422220，AB25225，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形，ACB90.(3)能当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与点C重合，如图1，设CGx，DGBC，AGDACB.AG：ACDGBC，即(x)DG2，解得DG2(x)S矩形DEFGx(22x)2x22x2(x).此时x时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时，如图2，CO交GF于点H，设DGx，则OHx，CH2x，GFAB，CGFCAB，GFABCHCO，即GF5(2x)2，解得GF(2x)S矩形DEFGx(2x)x25x(x1)2，此时x1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为.综上所述，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时和当矩形DEFG一个顶点D在AB上最大面积相同，DG1，DE(21)，DGOC，ADGAOC，ADAODGOC，即AD112.解得AD.OD.OE2.D(，0)，E(2，0)当矩形一个顶点在AB上时，GD2(x)，AG，AD，ODADOA.D(，0)综上，在ABC内部能截出面积最大的矩形DEFC，当矩形两个顶点在A，B上时坐标为D(，0)，E(2，0)，当矩形只有一个顶点在AB上时，坐标为D(，0)